Como usar a forma escalonada da matriz para mostrar que um sistema linear não tem soluções

RKA4JL - Eu tenho aqui um sistema com três equações lineares e quatro incógnitas e, como vimos em outro vídeo onde eu falei sobre a forma escalonada reduzida e a resolução de sistemas de equações lineares usando matrizes aumentadas, a minha intuição me diz que olhando para esse sistema onde eu tenho menos equações do que variáveis eu posso, com esse método, ser capaz de restringir o conjunto solução, porque esse sistema, provavelmente, vai ter um número infinito de soluções. Mas vamos ver se estou certa. Vamos construir a nossa matriz aumentada. Eu vou ter os coeficientes de x₁ na primeira coluna. Então serão 1, 1, 2. Aqui os coeficientes de x₂ serão 2, 2, 4. Agora para x₃ serão 1, 2, 0, porque a gente não tem o termo x₃ bem aqui nessa entrada e para x₄, 1, -1, 6. Agora as constantes do lado direito das igualdades, 8, 12, 4. e aqui está a minha matriz aumentada. Agora vamos colocar essa matriz na forma escalonada reduzida por linha. A primeira coisa que eu vou querer fazer é zerar esses dois elementos aqui. Então vamos ver o que eu posso fazer para isso acontecer. A primeira linha não vai mudar, então eu tenho que reescrevê-la, 1, 2, 1, 1, aqui é a linha que divide, a linha da igualdade, e 8. Se nós analisarmos, o que a gente pode fazer é pegar essa segunda linha e diminuir da primeira. Se eu fizer a segunda menos a primeira, eu vou ter o que estou querendo aqui, que é zerar aquele elemento. Então vamos fazer isso. 1 menos 1 é zero. 2 menos -2 também dará zero. 2 menos 1 vai dar 1 -1 menos 1 vai dar -2. e 12 menos 8 é 4. Observe que, por enquanto, isso aqui não me parece ser um resultado muito bom, porque essa coluna aqui que representa a variável x₂ parece ter a variável livre, mas ainda não temos cem por cento de certeza. Vamos fazer todas as nossas linhas primeiro. Vamos, então, zerar esse elemento aqui. Para zerar esse elemento, o que eu posso fazer é a terceira linha menos duas vezes a primeira linha. Então vamos lá. Se eu fizer a terceira menos duas vezes a primeira, eu vou ter 2 menos 2 vezes 1. 2 vezes 1 é 2, 2 menos 2, terei zero. 4 menos 2 vezes 2. 2 vezes 2 é 4, 4 menos 4 também dará zero. zero menos 2 vezes 1. 2 vezes 1 é 2, zero menos 2 dará -2. 6 menos 2 vezes 1. 2 vezes 1 é 2, então 6 menos 2 será 4. 4 menos 2 vezes 8. 2 vezes 8 é 16. 4 menos 16, esse resultado vai ser -12. Agora o que eu posso fazer? Posso tentar me livrar desse -2 aqui. Primeiro vamos reescrever a minha matriz aumentada. Essa segunda linha não vai mudar, então vou reescrevê-la 0, 0, 1 e -2. Aqui a gente vai ter o traço, a linha divisória, e 4. E agora vamos ver o que eu posso fazer. Deixe-me primeiro tornar esse elemento zero porque eu quero ficar com a matriz na forma reduzida escalonada. Assim, qualquer uma das minhas entradas principais, que serão sempre 1, devem ser as únicas da coluna diferentes de zero. Vamos ver o que posso fazer aqui. Eu posso substituir, por exemplo, a linha um pela linha um menos a linha dois. Então vamos lá. A gente vai ficar com 1 menos zero vai dar 1. 2 menos zero vai dar 2, 1 menos 1 vai dar zero, 1 menos -2 vai ficar 1 mais 2, então vai ser 3 e 8 menos 4 vai dar 4. Agora vamos ver o que posso fazer para zerar esse cara aqui. Eu posso fazer a linha três mais duas vezes a linha dois, porque assim eu terei -2 mais 2 vezes 1, que vai dar 2, -2 com 2 vai zerar. Então vamos lá. Aqui vai ficar zero mais 2 vezes zero dá zero. Zero mais zero, zero. Zero mais 2 vezes zero dá zero. Zero mais zero, zero. -2 vezes 2 vezes 1. 2 vezes 1 dá 2, vai ficar -2 mais 2, que dá zero, que é o que eu queria. 4 mais 2 vezes -2. 2 vezes -2 é -4 e 4 com -4 dá zero. E por último, -12 mais 2 vezes 4. 2 vezes 4 é 8, -12 com 8 vai dar -4. Agora isso aqui ficou bastante interessante. Eu coloquei na forma escalonada reduzida, eu tenho duas entradas principais que são essa aqui e essa aqui. Por uma questão de convenção, a que está mais à direita está na linha debaixo da anterior e elas são os únicos elementos de suas respectivas colunas que são diferentes de zero. A segunda coluna parece ter uma variável livre, já que não há nenhuma entrada principal aqui. Mas vamos ver. Vamos mapear isso fazendo a correspondência para o nosso sistema de equações. Isso aqui para mim são apenas números de uma maneira apenas mecânica. Quase como um computador, colocamos isso na forma escalonada reduzida, quase como um computador mesmo. Mas deixe-me voltar aqui para meu sistema de equações lineares para ver qual será o nosso resultado. Da primeira linha eu tenho 1x₁ mais 2x₂, mais zero vezes x₃, mais 3 vezes x₄ e isso tudo aqui vai ser igual a 4. Na verdade, esse termo aqui, 0x₃, não precisaria nem escrever, eu poderia tirar daqui. Mas tudo bem, não vou escrever novamente a equação. Agora na linha debaixo. Nessa segunda linha eu tenho zero vez x₁, mais zero vez x₂, mas nem preciso escrever isso, mais 1 vez x₃, então 1 vez x₃, menos 2 vezes x₄. Isso aqui é igual a 4. E na nossa última linha eu tenho zero vez x₁, mais zero vez x₂, mais zero vez x₃, mais zero vez x₄. Como todo mundo está sendo multiplicado por zeros, isso tudo vai dar zero, o produto final dará zero e também a soma das parcelas vai dar zero. Então vou ter que zero é igual a -4. Agora esse resultado aqui, se a gente observar, não faz o menor sentido. zero ser igual a -4 é uma coisa impossível. Ele nunca será igual a -4. Então esse resultado a que nós chegamos é um resultado impossível, o que significa que é impossível encontrar a intersecção desses três sistemas de equações ou um conjunto que satisfaça todos eles. Então quando olhamos isso inicialmente, no início do vídeo, eu disse que há apenas três equações e quatro incógnitas e que provavelmente haveria um número infinito de soluções. Mas acontece que essas três, a gente pode chamar de três superfícies, elas nunca vão se encontrar no R⁴, elas não se interceptam. Nós aqui estamos trabalhando no R⁴, com quatro dimensões. Uma maneira de pensar sobre isso é que cada um desses vetores seja quatro elementos, quatro variáveis. Então até aqui nós estamos trabalhando no R⁴, mas é sempre muito difícil visualizar as coisas no R⁴. Então se nós trabalhássemos no R³, poderíamos ter algumas situações nele. Imagine, então, que a gente tenha dois planos e que esses planos sejam completamente paralelos. Então vou ter um plano aqui e eu vou ter um outro plano completamente paralelo a esse. Ambos vão estar no R³. Mesmo que esses dois planos estejam no R³, vamos dar um exemplo mais concreto. Vamos imaginar, então, que esse primeiro plano seja representado pela equação 3x + 6y + 9z = 5. E que esse segundo plano seja representado pela equação 3x + 6y + 9z = 2. Estes dois planos que estão... Vamos colocar aqui que estão no R³, eles são planos que evidentemente nunca irão se cruzar porque, obviamente, eles têm os mesmos coeficientes. Observe: 3x mais 6y mais 9z vai ter de ser igual a 5 e a soma de 3x mais 6y mais 9z tem que ser igual a 2. Então, obviamente, eles nunca vão se cruzar. Se nós tivéssemos inicialmente olhado apenas para as equações, a gente poderia pensar: "Ah, mas duas equações com três incógnitas. Talvez tenha um conjunto infinito de soluções." Mas aqui também não é o caso. Você pode perceber isso subtraindo a primeira equação da segunda equação. Vamos fazer isso. Vamos subtrair a equação de cima da equação de baixo. A gente vai ter 3x menos 3x, zero 6y menos 6y, zero 9z menos 9z, zero. A gente vai ter algo bem parecido com o que a gente achou aqui. Vai ficar: zero igual a 5 menos 2, que é 3. Bem parecido o resultado, bem semelhante ao que a gente achou naquele sistema ali. Então quando você tem dois planos paralelos, neste caso aqui no R³, ou qualquer tipo de duas equações paralelas ou um conjunto de equações paralelas, elas não vão se cruzar. E quando você colocar na forma escalonada reduzida ou fazer até pelo método tradicional de adição, que foi como a gente fez aqui, você sempre vai ter a seguinte solução: zero é igual a alguma outra coisa. O que, na verdade, é impossível. E isso vai significar que a equação, que esse sistema não tem solução. Agora, se você tiver um sistema onde o número de entradas principais, o número de variáveis dinâmicas é igual ao mesmo número de colunas, deixe-me escrever isso porque é bastante importante. A gente já viu que chegando à conclusão de que zero é igual a alguma coisa, isso aqui não tem solução, é uma coisa absurda. zero não pode ser igual a nenhum outro número. Zero só pode ser igual a zero. Então aqui não tem solução. E ainda significa que se nós estivermos trabalhando no R³ eles terão planos paralelos, se a gente estiver trabalhando no R² eles vão ter linhas paralelas. Agora, e se nós tivermos uma situação, por exemplo, como essa aqui, onde o número de entradas principais é o mesmo que o número de colunas? Por exemplo, a gente vai ter como entrada principal 1, 1, 1, 1, isso aqui será igual a "a", "b", "c", "d" e todas as outras entradas aqui serão zero, você já deve ter tido uma ideia do que eu estou falando. Aqui também, nós teremos para esse sistema uma única solução. Então a solução desse sistema é única. Teremos, por exemplo, x₁ será igual a "a", x₂ igual a "b", e então nós teremos uma única solução. Agora se eu tiver uma matriz onde eu tenha algumas variáveis livres, vamos montar aqui. Vou colocar 1, 1, 0, 0, e aqui nessa segunda linha vai entrar 1, 2, e esse monte de zero vou colocar aqui. Você pode se lembrar que se aqui não fosse zero, se todos esses zeros fossem iguais a uma constante, não teria solução. Aqui eu vou colocar 5 e aqui, 2. Nós podemos dizer, então, que aqui é um exemplo de uma matriz escalonada na forma reduzida que a gente, eventualmente, pode chegar. Aqui nós temos também algumas variáveis livres, a gente pode dizer que isso aqui é uma variável livre ou então que a gente tem uma coluna livre e, até certo ponto, essa aqui também é uma variável livre, porque não tem nenhuma entrada principal aqui, e aqui a gente também tem as variáveis fixas, as entradas principais, que são essa aqui e essa aqui. Portanto, as variáveis x₂ e x₄ são livres. Elas poderiam ser iguais a qualquer outra coisa, ou seja, aqui nós vamos ter infinitas soluções. Então a gente vai dizer que isso não tem uma única solução, o conjunto solução é infinito, ou seja, nesse caso aqui não vai haver solução única. Aqui estão os três casos que a gente pode ter e é bom você se familiarizar com ele para não ficar perplexo quando encontrar algo do tipo zero igual a -4, zero igual a -3 ou quando você tiver uma linha inteira só de zeros. Agora eu quero que você fique atento ao seguinte: Se você tiver um monte de zeros desse lado esquerdo da matriz aumentada, você pode dizer: "Então o sistema não tem uma única solução. É um conjunto infinito de soluções." Mas, ainda assim, você vai ter que olhar para essa entrada aqui. Se tiver toda essa linha zerada e variáveis livres, você terá um número infinito de soluções. Mas você tiver, por exemplo, tudo zerado aqui e aqui o número 7, então você não teria solução para isso e teria que trabalhar com superfícies paralelas. Enfim, espero que isso tenha sido útil para você. Até mais em um próximo vídeo!