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Álgebra linear
Curso: Álgebra linear > Unidade 1
Lição 6: Matrizes para resolução de sistemas por eliminaçãoComo usar a forma escalonada da matriz para mostrar que um sistema linear não tem soluções
E outro exemplo de resolução de um sistema de equações lineares colocando uma matriz aumentada em forma escalonada de linha reduzida. Versão original criada por Sal Khan.
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Transcrição de vídeo
RKA4JL - Eu tenho aqui um sistema
com três equações lineares e quatro incógnitas e, como vimos em outro vídeo onde eu falei sobre
a forma escalonada reduzida e a resolução de sistemas de
equações lineares usando matrizes aumentadas, a minha intuição me diz
que olhando para esse sistema onde eu tenho menos equações
do que variáveis eu posso,
com esse método, ser capaz de restringir
o conjunto solução, porque esse sistema, provavelmente,
vai ter um número infinito de soluções. Mas vamos ver
se estou certa. Vamos construir
a nossa matriz aumentada. Eu vou ter os coeficientes de x₁
na primeira coluna. Então serão 1, 1, 2. Aqui os coeficientes de x₂
serão 2, 2, 4. Agora para x₃
serão 1, 2, 0, porque a gente não tem o termo x₃
bem aqui nessa entrada e para x₄,
1, -1, 6. Agora as constantes
do lado direito das igualdades, 8, 12, 4. e aqui está
a minha matriz aumentada. Agora vamos colocar essa matriz
na forma escalonada reduzida por linha. A primeira coisa que eu vou querer fazer
é zerar esses dois elementos aqui. Então vamos ver o que eu posso fazer
para isso acontecer. A primeira linha não vai mudar,
então eu tenho que reescrevê-la, 1, 2, 1, 1, aqui é a linha que divide,
a linha da igualdade, e 8. Se nós analisarmos,
o que a gente pode fazer é pegar essa segunda linha
e diminuir da primeira. Se eu fizer a segunda
menos a primeira, eu vou ter
o que estou querendo aqui, que é zerar aquele elemento.
Então vamos fazer isso. 1 menos 1 é zero.
2 menos -2 também dará zero. 2 menos 1 vai dar 1
-1 menos 1 vai dar -2. e 12 menos 8 é 4. Observe que,
por enquanto, isso aqui não me parece ser
um resultado muito bom, porque essa coluna aqui
que representa a variável x₂ parece ter
a variável livre, mas ainda não temos
cem por cento de certeza. Vamos fazer todas
as nossas linhas primeiro. Vamos, então,
zerar esse elemento aqui. Para zerar esse elemento,
o que eu posso fazer é a terceira linha menos
duas vezes a primeira linha. Então vamos lá. Se eu fizer a terceira
menos duas vezes a primeira, eu vou ter
2 menos 2 vezes 1. 2 vezes 1 é 2,
2 menos 2, terei zero. 4 menos 2 vezes 2.
2 vezes 2 é 4, 4 menos 4
também dará zero. zero menos 2 vezes 1.
2 vezes 1 é 2, zero menos 2
dará -2. 6 menos 2 vezes 1. 2 vezes 1 é 2,
então 6 menos 2 será 4. 4 menos 2 vezes 8.
2 vezes 8 é 16. 4 menos 16,
esse resultado vai ser -12. Agora o que eu posso fazer? Posso tentar me livrar
desse -2 aqui. Primeiro vamos reescrever
a minha matriz aumentada. Essa segunda linha não vai mudar,
então vou reescrevê-la 0, 0, 1 e -2. Aqui a gente vai ter o traço,
a linha divisória, e 4. E agora vamos ver
o que eu posso fazer. Deixe-me primeiro
tornar esse elemento zero porque eu quero ficar com a matriz
na forma reduzida escalonada. Assim, qualquer uma
das minhas entradas principais, que serão sempre 1, devem ser as únicas da coluna
diferentes de zero. Vamos ver o que
posso fazer aqui. Eu posso substituir,
por exemplo, a linha um pela linha um
menos a linha dois. Então vamos lá. A gente vai ficar com
1 menos zero vai dar 1. 2 menos zero vai dar 2,
1 menos 1 vai dar zero, 1 menos -2 vai ficar 1 mais 2,
então vai ser 3 e 8 menos 4 vai dar 4. Agora vamos ver o que posso fazer
para zerar esse cara aqui. Eu posso fazer a linha três
mais duas vezes a linha dois, porque assim eu terei -2 mais 2 vezes 1,
que vai dar 2, -2 com 2 vai zerar. Então vamos lá. Aqui vai ficar zero mais
2 vezes zero dá zero. Zero mais zero, zero. Zero mais 2 vezes zero dá zero.
Zero mais zero, zero. -2 vezes 2 vezes 1. 2 vezes 1 dá 2,
vai ficar -2 mais 2, que dá zero, que é o que eu queria. 4 mais 2 vezes -2.
2 vezes -2 é -4 e 4 com -4 dá zero. E por último,
-12 mais 2 vezes 4. 2 vezes 4 é 8,
-12 com 8 vai dar -4. Agora isso aqui
ficou bastante interessante. Eu coloquei na forma
escalonada reduzida, eu tenho duas entradas principais
que são essa aqui e essa aqui. Por uma questão de convenção, a que está mais à direita
está na linha debaixo da anterior e elas são os únicos elementos
de suas respectivas colunas que são diferentes de zero. A segunda coluna
parece ter uma variável livre, já que não há
nenhuma entrada principal aqui. Mas vamos ver.
Vamos mapear isso fazendo a correspondência
para o nosso sistema de equações. Isso aqui para mim são apenas números
de uma maneira apenas mecânica. Quase como um computador, colocamos isso
na forma escalonada reduzida, quase como um computador mesmo. Mas deixe-me voltar aqui
para meu sistema de equações lineares para ver qual será
o nosso resultado. Da primeira linha eu tenho
1x₁ mais 2x₂, mais zero vezes x₃,
mais 3 vezes x₄ e isso tudo aqui
vai ser igual a 4. Na verdade,
esse termo aqui, 0x₃, não precisaria nem escrever,
eu poderia tirar daqui. Mas tudo bem,
não vou escrever novamente a equação. Agora na linha debaixo. Nessa segunda linha
eu tenho zero vez x₁, mais zero vez x₂,
mas nem preciso escrever isso, mais 1 vez x₃, então
1 vez x₃, menos 2 vezes x₄. Isso aqui é igual a 4. E na nossa última linha eu tenho
zero vez x₁, mais zero vez x₂, mais zero vez x₃,
mais zero vez x₄. Como todo mundo
está sendo multiplicado por zeros, isso tudo vai dar zero,
o produto final dará zero e também a soma das parcelas
vai dar zero. Então vou ter
que zero é igual a -4. Agora esse resultado aqui,
se a gente observar, não faz o menor sentido. zero ser igual a -4
é uma coisa impossível. Ele nunca será igual a -4. Então esse resultado
a que nós chegamos é um resultado impossível,
o que significa que é impossível encontrar a intersecção
desses três sistemas de equações ou um conjunto
que satisfaça todos eles. Então quando olhamos isso inicialmente,
no início do vídeo, eu disse que há apenas
três equações e quatro incógnitas e que provavelmente
haveria um número infinito de soluções. Mas acontece que essas três,
a gente pode chamar de três superfícies, elas nunca vão se encontrar no R⁴,
elas não se interceptam. Nós aqui estamos trabalhando no R⁴,
com quatro dimensões. Uma maneira de pensar sobre isso
é que cada um desses vetores seja quatro elementos,
quatro variáveis. Então até aqui
nós estamos trabalhando no R⁴, mas é sempre muito difícil
visualizar as coisas no R⁴. Então se nós trabalhássemos no R³,
poderíamos ter algumas situações nele. Imagine, então,
que a gente tenha dois planos e que esses planos sejam
completamente paralelos. Então vou ter um plano aqui e eu vou ter um outro plano
completamente paralelo a esse. Ambos vão estar no R³. Mesmo que esses dois planos
estejam no R³, vamos dar um exemplo
mais concreto. Vamos imaginar, então,
que esse primeiro plano seja representado pela equação
3x + 6y + 9z = 5. E que esse segundo plano
seja representado pela equação 3x + 6y + 9z = 2. Estes dois planos
que estão... Vamos colocar aqui
que estão no R³, eles são planos que evidentemente
nunca irão se cruzar porque, obviamente,
eles têm os mesmos coeficientes. Observe: 3x mais 6y mais 9z
vai ter de ser igual a 5 e a soma de 3x mais 6y mais 9z
tem que ser igual a 2. Então, obviamente,
eles nunca vão se cruzar. Se nós tivéssemos inicialmente
olhado apenas para as equações, a gente poderia pensar: "Ah, mas duas equações
com três incógnitas. Talvez tenha
um conjunto infinito de soluções." Mas aqui também
não é o caso. Você pode perceber isso subtraindo a primeira equação
da segunda equação. Vamos fazer isso. Vamos subtrair a equação de cima
da equação de baixo. A gente vai ter
3x menos 3x, zero 6y menos 6y, zero
9z menos 9z, zero. A gente vai ter algo bem parecido
com o que a gente achou aqui. Vai ficar: zero igual a
5 menos 2, que é 3. Bem parecido o resultado, bem semelhante ao que a gente achou
naquele sistema ali. Então quando você tem
dois planos paralelos, neste caso aqui no R³,
ou qualquer tipo de duas equações paralelas
ou um conjunto de equações paralelas, elas não vão se cruzar. E quando você colocar
na forma escalonada reduzida ou fazer até
pelo método tradicional de adição, que foi como a gente fez aqui, você sempre vai ter
a seguinte solução: zero é igual
a alguma outra coisa. O que, na verdade,
é impossível. E isso vai significar
que a equação, que esse sistema
não tem solução. Agora,
se você tiver um sistema onde o número de entradas principais,
o número de variáveis dinâmicas é igual ao mesmo número de colunas, deixe-me escrever isso
porque é bastante importante. A gente já viu que
chegando à conclusão de que zero é igual
a alguma coisa, isso aqui não tem solução,
é uma coisa absurda. zero não pode ser igual
a nenhum outro número. Zero só pode ser igual a zero.
Então aqui não tem solução. E ainda significa
que se nós estivermos trabalhando no R³ eles terão
planos paralelos, se a gente estiver trabalhando no R²
eles vão ter linhas paralelas. Agora, e se nós tivermos uma situação,
por exemplo, como essa aqui, onde o número de entradas principais
é o mesmo que o número de colunas? Por exemplo, a gente vai ter
como entrada principal 1, 1, 1, 1, isso aqui será igual a
"a", "b", "c", "d" e todas as outras entradas aqui
serão zero, você já deve ter tido uma ideia
do que eu estou falando. Aqui também, nós teremos para esse sistema
uma única solução. Então a solução
desse sistema é única. Teremos, por exemplo, x₁ será igual a "a",
x₂ igual a "b", e então nós teremos
uma única solução. Agora se eu tiver uma matriz
onde eu tenha algumas variáveis livres, vamos montar aqui.
Vou colocar 1, 1, 0, 0, e aqui nessa segunda linha
vai entrar 1, 2, e esse monte de zero
vou colocar aqui. Você pode se lembrar
que se aqui não fosse zero, se todos esses zeros
fossem iguais a uma constante, não teria solução. Aqui eu vou colocar 5 e aqui, 2. Nós podemos dizer, então,
que aqui é um exemplo de uma matriz escalonada
na forma reduzida que a gente, eventualmente,
pode chegar. Aqui nós temos também
algumas variáveis livres, a gente pode dizer
que isso aqui é uma variável livre ou então que a gente tem
uma coluna livre e, até certo ponto, essa
aqui também é uma variável livre, porque não tem
nenhuma entrada principal aqui, e aqui a gente também
tem as variáveis fixas, as entradas principais,
que são essa aqui e essa aqui. Portanto, as variáveis
x₂ e x₄ são livres. Elas poderiam ser iguais
a qualquer outra coisa, ou seja, aqui nós vamos ter
infinitas soluções. Então a gente vai dizer
que isso não tem uma única solução, o conjunto solução
é infinito, ou seja, nesse caso aqui
não vai haver solução única. Aqui estão os três casos
que a gente pode ter e é bom você
se familiarizar com ele para não ficar perplexo
quando encontrar algo do tipo zero igual a -4,
zero igual a -3 ou quando você tiver
uma linha inteira só de zeros. Agora eu quero que você fique atento
ao seguinte: Se você tiver um monte de zeros
desse lado esquerdo da matriz aumentada, você pode dizer: "Então o sistema não tem uma única solução. É um conjunto infinito de soluções." Mas, ainda assim, você vai ter que olhar
para essa entrada aqui. Se tiver toda essa linha zerada
e variáveis livres, você terá um número infinito
de soluções. Mas você tiver,
por exemplo, tudo zerado aqui
e aqui o número 7, então você não teria solução para isso e teria que trabalhar com superfícies paralelas. Enfim, espero que isso
tenha sido útil para você. Até mais
em um próximo vídeo!