Espaço coluna de uma matriz

RKA - A gente passou um bom tempo explorando a ideia de espaço nulo. Mas neste vídeo, vou apresentar para vocês um novo tipo de espaço que pode ser definido em torno de uma matriz e que eu vou chamar de espaço coluna. Provavelmente, você já conseguiu entender o significado se você se basear no nome dado ao espaço. Vamos dizer que eu tenho uma matriz "A" e que essa matriz "A" é uma matriz "m" por "n" que eu vou escrevê-la como sendo uma coleção de vetores coluna. Eu posso escrever como primeiro elemento sendo "v₁", o segundo elemento sendo "v₂", até chegarmos no "vₙ". Como eu sei que o último elemento vai se chamar "vₙ"? Bom, porque é uma matriz "m" por "n", ou seja, eu tenho "n" colunas. E cada um desses vetores aqui, eles vão ter quantos componentes? "v₁", "v₂" e todos esses vetores que formam a matriz "A" até chegar em "vₙ" vão ter "m" componentes, porque essa matriz tem "m" linhas. Então, todos esses vetores pertencem ao "Rᵐ". Assim, o espaço coluna é definido como todas as combinações lineares possíveis desses vetores colunas. Assim, a gente pode dizer que o espaço coluna da minha matriz "A", essa aqui é a minha matriz "A", vai ser todas as combinações lineares destes vetores colunas. E o que são todas as combinações lineares de um conjunto de vetores? É o espaço gerado por todos esses vetores. É o espaço gerado pelos vetores que a gente tem aqui, "v₁", "v₂", até o "vₙ". Nós já fizemos isso antes quando falamos primeiro sobre extensões, espaços gerais e subespaços. Mas é muito fácil mostrar que o espaço de qualquer conjunto de vetores é um subespaço legítimo. Ele definitivamente contém o vetor zero. Se você multiplicar todos esses caras aqui por zero, a combinação linear é válida. Você verá que a soma deles vai conter o zero. E se você pegar um vetor "a", o vetor "a" que pertence a esse espaço coluna "A", isso vai significar que você pode representar esse vetor "a" como alguma combinação linear. Por exemplo, posso dizer que esse vetor "a" é a combinação de "c₁" vezes o vetor 1, mais "c₂" vezes o vetor 2, até chegarmos à combinação de “cₙ" vezes o vetor "n". Agora, a pergunta é: ele é fechado para a multiplicação? Por exemplo, se eu multiplicar isso aqui por um escalar qualquer "s". Digamos que eu vou ter "s" vezes o vetor "a". Então, eu vou ter "s" vezes "c₁v₁", mais "s" vezes "c₂v₂", até a gente percorrer todo o caminho e chegar ao "scₙvₙ". Isso vai estar no meu espaço gerado? Claramente é uma combinação linear também desses vetores. Então, como o espaço gerado vai ser o conjunto de todas as combinações lineares, claramente "s" vezes o vetor "a" vai pertencer ao espaço coluna "A". E agora, basta a gente verificar se esse espaço coluna também é fechado para adição. Lembrando que isso é um requisito não só para esse espaço, para qualquer outro espaço. Na verdade, a gente está fazendo uma revisão do que a gente já estudou anteriormente. Vamos supor que eu tenha um vetor "b". Esse vetor "b" também pertence ao espaço coluna "A". Então, eu posso escrever esse vetor "b" como sendo uma combinação linear desses vetores. Posso escrever como sendo "b₁" vezes "v₁", mais "b₂" vezes "v₂" até chegarmos no "bₙ" vezes "vₙ". O que eu quero saber é: será que se nós tivermos o vetor "a" mais o vetor "b", a soma disso aqui vai pertencer ao espaço coluna "A"? Ou seja, essa soma vai estar entre as combinações do espaço gerado? Com certeza. O que seria "a" + "b"? Seria (c₁ + b₁) vezes "v₁", mais (c₂ + b₂) vezes "v₂". Eu estou somando esse cara com esse cara, esse cara aqui com esse cara, até nós chegarmos a (cₙ+ bₙ) vezes "vₙ". Isso, claramente, é uma combinação linear que vai estar dentro desse espaço. É mais uma entre tantas combinações que a gente vai fazer com esses vetores. Ou seja, "a" + "b" vai estar dentro desse subespaço gerado e a gente pode dizer, com certeza, que o espaço coluna "A" é um subespaço válido. Isso certamente é um subespaço válido. Vamos pensar agora em outras interpretações que podemos dar para essa ideia de espaço coluna. Vamos pensar no termo da expressão, vou trocar a cor aqui. Vamos pensar que eu tenho um conjunto de valores, eu quero um conjunto de todos os valores da minha matriz "A". A matriz "A" é uma matriz "m" por "n". E multiplicar essa matriz por um vetor "x", lembrando que esse vetor "x" tem que ter "n" componentes, já que a gente está tratando de uma matriz com "n" colunas. Então, a gente sabe que para essa multiplicação estar definida, o vetor "x" tem que pertencer ao "R ⁿ". Vamos pensar no significado disso. Eu posso tomar qualquer membro, qualquer vetor de "R ⁿ", e multiplicá-lo por "A". E eu quero saber quais são todos os produtos possíveis disso. Todos os valores possíveis da matriz "A" vezes o vetor "x". Quando eu escolho qualquer vetor de "x". Vamos representar esse vetor "x", vamos representar esse vetor "x" com os componentes "x₁", "x₂" até "xₙ". A gente sabe que tem que ser "xₙ" porque essa matriz "A" tem "n" colunas. Então, eu tenho esse vetor aqui. O que seria essa multiplicação, a multiplicação de "A" vezes o vetor "x"? Nós já fizemos isso outras vezes. Nós sabíamos que isso é igual a "x₁" vezes o vetor 1, mais "x₂" vezes o vetor 2, até somarmos todos os componentes. E a gente sabe que a última soma vai ser "xₙ" vezes o vetor "n". Nós já vimos isso antes, a gente sabe isso sai diretamente da nossa definição de produto entre matrizes e vetores. Se "A" vezes o vetor "x" é igual a isso aqui, eu estou dizendo que posso escolher qualquer vetor em "R ⁿ", posso pegar qualquer um desses valores, todas essas entradas, todos os valores possíveis e todas as combinações possíveis deles. Então, isso seria igual ao quê? O que é o conjunto de todas as combinações possíveis? Eu poderia reescrever essa declaração dizendo que isso é o conjunto de todos os possíveis "x₁v₁" + "x₂v₂" até chegarmos no "xₙvₙ", até lá no final chegarmos no "xₙvₙ", onde "x₁", "x₂" até o "xₙ" são membros do conjunto dos números reais. Eles pertencem ao conjunto dos números reais. Eu estou dizendo que o vetor "x" pode ser qualquer elemento de "R ⁿ". Então, seus componentes podem ser qualquer elemento do conjunto dos números reais. Se eu tomar o conjunto de todas as combinações desses vetores colunas, onde os seus coeficientes são números reais, eu estou dizendo o quê? Estou dizendo que essas são todas as possíveis combinações lineares dos vetores coluna de "A". Portanto, isso eu posso dizer que é igual ao espaço gerado pelos vetores, pelo "v₁", "v₂" até "vₙ", que é exatamente a mesma coisa que o espaço coluna de "A". Então, você pode dizer que o espaço coluna de "A" é o conjunto de todos os vetores possíveis, de todos os vetores que eu posso tomar das combinações lineares desses caras aqui. O espaço gerado por esses caras, por esses elementos. Ou, como você viu, o que são todos os valores possíveis da matriz "A" vezes o vetor "x", se você tomar "x" como sendo um elemento de "R ⁿ"? Vamos pensar nisso agora dessa forma. Vamos dizer que eu te desse a seguinte equação para resolver. Vamos falar que a matriz "A" vezes um vetor "x" é igual, bem, o convencional seria escolher o "b", o vetor "b". Mas eu vou pegar um vetor "b" especial. Vou dizer que isso é igual ao vetor "b₁". Então, eu tenho essa equação. "A" vezes "x" = "b₁". Esse daqui é o espaço coluna de "A" e eu posso te afirmar que "b₁", o vetor "b₁", não pertence ao espaço coluna de "A". Ele não pertence a esse espaço coluna de "A". E o que isso me diz? Isso me diz que essa equação nunca vai poder ser igual ao vetor "b₁" porque todos os valores que estão aqui pertenciam ao espaço coluna "A". Então, se o "b" não pertence ao espaço coluna "A", nunca vai poder ter esse resultado aqui. Então, "b₁" não poder estar aqui implica que essa equação, matriz "A" vezes o vetor "x" igual a "b₁" não possui solução. Isso aqui não possui solução alguma. Não possui solução. E se tivesse uma solução? Vamos dizer, por exemplo, que a matriz "A" vezes o vetor "x" igual a "b₂" tem pelo menos uma solução. Tem pelo menos uma solução. A gente vai dizer que tem uma solução no mínimo. O que isso significa? Isso significa que para um "x" particular ou talvez para muitos valores diferentes de "x", você pode atingir esse valor aqui, porque há alguns valores de "x" que quando você multiplica pela matriz "A", você obtém esse valor. E isso implica que o vetor "b₂" certamente é um elemento que pertence ao espaço coluna de "A". Certamente o vetor "b₂" pertence ao espaço coluna de "A". Algumas observações em alguns níveis são bastante óbvias, porque provém da definição de espaço coluna. O espaço coluna é formado por todas as combinações lineares de vetores colunas. Ou, outra interpretação que a gente pode ter, é que o espaço coluna são todos os valores que a matriz "A" vezes o vetor "x" pode assumir. Então, se você tentar definir "A" vezes "x" como sendo igual a um valor que ele não pode assumir, então não vai ter solução alguma. Mas se eu sou capaz de encontrar uma solução, encontrar algum valor para "x" = "b₂", então certamente "b₂" é um dos valores que "A" vezes "x" pode assumir. Bom, agora que você já tem pelo menos um entendimento abstrato do conceito de espaço coluna, eu vou deixar você pensar sobre isso. E nos próximos vídeos, vou tentar trabalhar com tudo o que sabemos sobre espaços colunas, espaços nulos e tudo que compreender uma matriz e um produto entre vetor e matriz, em todas as direções possíveis. Então, até o próximo vídeo.