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Mais sobre independência linear

Mais exemplos de determinação da dependência ou independência linear. Versão original criada por Sal Khan.

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  • Avatar marcimus pink style do usuário Jacqueline Ramos
    Olá, quanto ao segundo exemplo que usou no vídeo, gostaria de saber se sempre teremos que "chutar" um numero para algum ci para obter que eles serão linearmente dependente? Como saberei? terei de chutar? Você acertou na primeira, mas como eu poderei fazer, se escalonar conseguirei achar?
    (3 votos)
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    • Avatar leaf red style do usuário Eduardo Lemos de Moraes
      Na verdade você não vai chutar, você vai encontrar os "c"s em função dos vetores, exemplo:
      Digamos que você tenha dois vetores quaisquer: V1 = (3,0) e V2 = (0,9) e quer encontrar o V3 = (x,y), você não sabe quem são c1 nem c2, pois os valores vão depender do x e do y que eu t der, então c1 e c2 vão ser encontrados em função do v3 = (x,y)
      c1 * v1 + c2 * v2 = v3
      c1*(3,0) + c2*(0,9) = (x,y)
      c1=x/3 e c2=y/9
      (c1 e c2 foram escritos em função de x,y)

      No sistema linear e na combinação linear, os c1 ou c2 ou "c" qualquer, não são "importantes", se eu digo que os escalares (os "c") pertencem aos Reais, então eu posso escolher o c1 e c2 quaisquer desde que pertençam aos reais. Eles são ferramentas no cálculo pra descobrir se é linear dependente ou independente.
      (3 votos)
  • Avatar blobby green style do usuário Flávio De Andrade
    L1 || 2c1 + 3c2 + c3 = 0
    l2 || c1 + 2c2 + 2c3 = 0

    multiplicando l2 por (-2)
    l1 || 2c1 + 3c2 + c3 = 0
    l2 || -2c1 - 4c2 - 4c3 = 0

    l1 + l2
    -c2 - 3c3 = 0 === > c2 = -3c3

    usando c2 = -3c3 na l1 = 2c1 + 3c2 + c3 = 0
    l1 || 2c1 + 3 * (-3c3) + c3 = 0
    2c1 - 8c3 ==> c1 = 4c3

    logo: (c1 = 4c3, c2 = -3c3)

    a pergunta é: se c1 e c2 são múltiplos de c3, para algum c = 0, logo o resultado seria a solução trivial. Com isso, os vetores seriam independentes lineares?
    (1 voto)
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  • Avatar leaf green style do usuário Vincenzo Primerano
    Na prática, qual é a importância de termos dois vetores independentes? Ou seja, em quais situações vou querer trabalhar com dois vetores independentes?
    Por outro lado, qual é a importância de termos dois vetores dependentes? Quais as situações em que é desejável ter vetores dependentes?
    (1 voto)
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    • Avatar male robot hal style do usuário Ariel Góes
      Saber identificar se um conjunto de vetores é Linearmente Dependente (LD), ou Linearmente Independente(LI) é importante por exemplo: para descobrir se esse conjunto forma ou não uma base vetorial, cuja definição exige que os vetores sejam LI. Pode-se fazer um teste para verificar isso, ao fazer o determinante com uma matriz formada pelos vetores. Caso o resultado dos vetores for diferente de zero, então os vetores serão LI e formarão uma base.

      Esse é uma das importâncias do estudo da Dependência Linear.
      (1 voto)
  • Avatar ohnoes default style do usuário Paulo Victor Pimentel Coelho
    Ser linearmente independente ou não, depende do valor dos C's? Porque às se C3=0, tornaria o C2 e o C1 independentes linearmente não?
    (1 voto)
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    • Avatar leaf red style do usuário Eduardo Lemos de Moraes
      Não, depende dos vetores dados: posso te dar 4 vetores L.D. (linear. dep.) e pedir pra você encontrar quais são os vetores "sobrando" para torna-los L.I., não importa qual escalar vai usar (posso definir que você só pode usar números reais, ou naturais, ou um conjuntinho mínimo que eu der na questão (2,3,4,5)), eles serão ferramentas, as estrelas do show são os vetores.

      Na verdade a independência linear é provada pela negação da dependência linear, como?
      Se eu conseguir encontrar pelo menos um escalar c1 (ou c2 nesse pequeno exemplo) que seja diferente de zero e resolva a equação: c1*V1+c2*V2=(0,0) então eu sei que os vetores v1 e v2 são LD entre si. Mas se eu não conseguir e precisar recorrer apenas ao zero para zerar a combinação, então eles são LI. Pra gravar melhor, esquece a definição de LI e foca na definição de LD, caso não seja LD será LI.
      Exemplo:
      v1 = (0,3) e v2 = (0,1) são LD porque:
      1 * v1 + -3 * v2 = 0 (c1= 1 e c2=-3 são diferentes de 0)
      E mais um detalhe legal, v1 gera v2!
      1/3 * v1 = v2
      Agora outro:
      v1 = (4,0) e v2=(0,6)
      c1 * v1 + c2 * v2 = 0
      Veja que não existe nenhum c1 ou c2 diferente de zero que resolva aquela questão.
      Então ela NÃO é LD, então só pode ser L.I.
      (E também v1 não gera v2 e vice-versa.)

      Os escalares são ferramentas no cálculo e não são "importantes", o que importa é se a equação é satisfeita de uma forma ou de outra, usando escalar diferente de zero ou somente zero.
      (5 votos)
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Transcrição de vídeo

RKA - Eu acredito que agora a gente tenha uma noção maior do que significa a dependência linear... E, então. o que a gente vai fazer é estudar isso aqui de uma maneira um pouquinho mais formal. Para isso, deixa eu definir aqui um conjunto de vetores. Eu vou chamar esse conjunto de vetores de "s". Então, s vai ser o meu conjunto de vetores que tem o vetor v₁, v₂... assim por diante, até o vetor vn. Então, eu vou que esses vetores aqui são linearmente... Deixa eu escrever isso aqui. Linearmente dependentes. Esses vetores são linearmente dependentes, é isso o que eu quero dizer. E isso só vai acontecer se, e somente se... E eu poderia fazer assim também, olha: eu poderia utilizar essa seta aqui. Essa seta quer dizer a mesma coisa, uma seta que tem bi-implicação. Então, esses vetores serão linearmente dependentes se, e somente se, eu conseguir achar uma combinação linear desses vetores. Ou seja, se eu conseguir fazer isso aqui: c₁ vezes v₁, mais c₂ vezes v₂, assim por diante, até cn vezes vn. E o resultado disso aqui tem que ser o vetor 0. Vamos fazer aqui o 0 bem em negrito. Isso aqui tem que ser igual ao vetor 0. Então, a gente vai ter um vetor aqui, que vai ser o vetor 0... Não sei exatamente qual a dimensão desse vetor, mas vamos dizer que ele tenha n dimensões. Aqui vai ter 0... até chegar à última dimensão, a dimensão n que vai dar 0 também. Então, esse aqui será o meu vetor nulo. Eu quero deixar bem claro aqui o seguinte: esses vetores aqui serão linearmente dependentes se, e somente se, eu conseguir satisfazer essa condição aqui. A condição de que a combinação linear desses vetores vai dar 0, vai dar o vetor nulo. Então, aqui é linearmente dependente, não é independente não. Dependente. Isso aqui só vai acontecer para alguns... Vamos escrever assim: para alguns "ceís", o ci aqui em si, onde nem todos são 0. Então, é isso que tem que acontecer. Até pode ter alguns que sejam 0, mas nem todos podem ser 0. Bom, eu poderia escrever isso aqui de uma forma diferente também. Eu poderia escrever... Onde pelo menos um não é 0. Isso aqui é a mesma coisa do que o que eu escrevi em cima aqui. Da mesma forma que nós fizemos aqui, nós dissemos no vídeo anterior, que o vetor é linearmente dependente quando ele pode ser escrito através da combinação de outros vetores. Deixa eu escrever aqui: um vetor pode ser... Bom, deixa eu escrever isso aqui de uma forma matemática. Deixa eu voltar aqui um pouquinho. Então, o que eu disse no último vídeo matematicamente é o seguinte: vamos pegar qualquer um desses vetores aqui. Por exemplo, o vetor v₁. Deixa eu escrever aqui: v₁. O vetor v₁ vai ser igual a quê? Isso aqui vai ser uma combinação linear dos outros vetores. Então, vamos colocar aqui: a₁... Opa, deixa eu voltar aqui. Na verdade, não é a₁. Tem que ter um pouquinho de cuidado. a₂v₂ mais a₃b₃ mais... Eu vou seguindo até anvn. Isso aqui é uma combinação linear do vetor v₁, e isso foi o que eu disse no último vídeo. Portanto, o que eu estou dizendo é: se isso é uma combinação linear, qualquer um desses caras pode ser escrito como a combinação linear dos outros vetores. Então, como essa afirmação aqui implica isso? Bom, quando eu falo aqui que é se, e somente se, então isso aqui tem que implicar isso. Da mesma forma, essa parte aqui também tem que implicar essa. Bom, e essa parte aqui implicar essa é moleza, né? Porque basta diminuir v₁ dos dois lados e eu vou ter exatamente 0. Veja só: v₁ menos v₁ vai dar 0. Subtraindo do outro lado também, eu tenho -1 vezes v₁. E aqui vai ter mais a₂v₂ mais a₃v₃ mais... Vou seguindo todos até anvn. E agora eu posso dizer que isso aqui dá 0. Então, é uma combinação linear de todos os meus vetores, onde tem constante multiplicando esses vetores. Isso dá 0. E, de forma que esse vetor aqui... eu tenho pelo menos um... Pelo menos um desses vetores não é 0. Então, aqui eu acabei de mostrar que, se eu posso escrever um vetor dessa forma aqui, a combinação linear vai dar 0. E agora o que eu quero mostrar é que se eu tenho a combinação linear dando 0, então eu vou ter o quê? Eu vou ter que esse vetor aqui é uma combinação linear de todos os outros vetores. É isso que a gente vai mostrar agora. Vamos pegar esse formato aqui. Estamos admitindo que isso aqui é verdadeiro. Nós temos que lembrar que pelo menos um não é 0. Então, vamos fazer o seguinte, olha só: vou fazer isso aqui com uma nova cor. Vamos dizer que pelo menos um desses cês aqui, um ci qualquer, não é 0. Vamos arbitrariamente escolher um c que não seja 0. Vamos dizer que seja o c₁. Vamos dizer, por exemplo, que o c₁ é diferente de 0. Isso aqui eu peguei arbitrariamente, poderia ter sido qualquer um, eu escolhi o c₁ para simplificar. Então, assumindo que pelo menos o c₁ aqui é diferente de 0, a gente pode dividir ambos os lados dessa equação aqui por c₁. Então, a gente vai ter o seguinte: v₁, mais c₂ sobre c₁, vezes v₂ mais... Vou seguindo aqui até cn sobre c₁, isso vezes vn... Aqui vai ser igual a 0. Eu poderia diminuir v₁ de ambos os lados. Diminuindo v₁ de ambos os lados a gente vai ter c₂ sobre ser C₁, vezes v₂ mais... Aí, vou tendo aqui: mais cn sobre c₁, vezes vn... Isso aqui é igual a -v₁. Então, o que eu posso fazer? Eu posso multiplicar toda essa equação por -1. Então, aqui vai ser: -c₂ sobre c₁, vezes v₂. Aqui vai ser menos... -cn sobre c₁, vezes vn. E aqui vai ser mais v₁. Então, o que eu acabei de mostrar aqui é o seguinte: se eu tenho toda essa combinação linear dando 0, e pelo menos uma dessas constantes não é 0, o que acontece é que eu tenho uma combinação linear de pelo menos um desses vetores. Logo, esses vetores aqui são linearmente dependentes. Então, acabei por mostrar que isso aqui é uma combinação linear do vetor v₁. E, por fim, eu acabei de mostrar que se eu tenho isso aqui nessa combinação linear dando 0, onde pelo menos um não é 0, vale que esses vetores são linearmente dependentes. Da mesma forma, mostrei que se esses vetores são linearmente dependentes, vale isso aqui. Vale que a combinação linear vai dar 0. Bom, espero que vocês tenham aprendido isso aí, e que a gente possa usar isso aqui um pouquinho mais para frente. E você até pode me dizer: "Bom, isso é uma coisa meio exagerada, talvez eu nem use isso." Mas, na verdade, a gente vai ver que isso aqui não é tão exagerado assim, porque isso aqui é muito usado para testar se vetores são linearmente dependentes ou não. Então, vamos fazer alguns problemas sobre isso logo aqui embaixo. Vamos dizer que nós temos o conjunto de vetores... Vou escrever aqui, porque eu quero maximizar o meu espaço. Vamos dizer que nós temos o conjunto de vetores 2,1, e o vetor 3,2. Então, esses são os meus dois vetores. E eu quero saber o seguinte: esses vetores são linearmente dependentes ou independentes? A fim de que esses vetores aqui sejam linearmente dependentes, a gente tem que ter que uma constante c₁ vezes o vetor 2,1, mais uma constante c₂ vezes o vetor 3,2 tem que ser igual ao vetor nulo, ou seja, o vetor 0. Mas, antes de a gente continuar, a gente tem que lembrar que... Bom, eu vou pegar aqui c₁ e c₂. Então, vamos dizer que eu pegue c₁ e c₂ e, para manter essa igualdade, ou o c₁ ou o c₂, eles não são 0. Então, não é zero. Eu consigo manter essa igualdade, e c₁ ou c₂ não é 0. Então, se isso acontece, nós temos que esses vetores aqui são linearmente dependentes. Vou escrever aqui: linearmente dependentes. Bom, e o que vai acontecer se c₁ e c₂ ambos forem 0? Então, os dois são 0 agora. O que vai acontecer? Para manter essa igualdade, c₁ e c₂ têm que ser 0. Então, esses vetores aqui são independentes. Vamos escrever isso: independentes. E agora nós podemos voltar ao nosso curso de álgebra básica. Vamos fazer o seguinte, vamos colocar aqui 2c₁ + 3c₂... Isso aqui tem que dar quanto? Isso aqui tem que dar 0. Vamos só colocar esse vetor aqui como sendo 0,0. Assim fica mais fácil. Então, isso aqui, 2c₁ + 3c₂, tem que ser igual a 0. E aqui embaixo também. 1 vezes c₁, que dá c₁. Mais 2c₂... Isso aqui também tem que ser 0. Bom, e o que a gente pode fazer aqui? A gente pode pegar essa primeira equação e multiplicar por 1/2. Então, se eu multiplicar essa equação por 1/2... 1/2 vezes 2, isso aqui vai dar 1. Então, aqui vai dar c₁. E aqui vai dar o quê? Vai dar 3/2. Então, 3 vezes 1/2c₂, isso aqui é igual a 0. Bom, agora nós podemos pegar essa equação de cima e subtrair com essa equação verde aqui embaixo. Fazendo isso, nós teremos: c₁ menos c₁ vai dar 0. Aqui: 2c₂, menos 3 vezes 1/2c₂, ou 1,5c₂... Isso vai dar 0,5c₂, que é 1/2c₂. E isso aqui vai ser igual a 0. E agora é moleza de resolver isso. Aqui dá c₂ igual a 0. E agora, o que a gente pode fazer? A gente pode substituir c₂ aqui. Então, olhando para essa segunda equação, eu coloco 0 aqui, vai ficar 2 vezes 0. Isso aqui, então, vai dar 0. c₁ + 0 = 0. Então, c₁ = 0. Logo, para resolver essa equação aqui, eu preciso que c₁ e c₂ sejam iguais a 0. Então, tanto c₁ como c₂ têm que ser iguais a 0. Estou nessa situação aqui. c₁ e c₂, ambos são 0. Então, esses vetores são linearmente independentes. Vamos escrever isso aqui. Linearmente independentes. Esses vetores são linearmente independentes. Essa foi uma maneira bem prática que a gente achou para dizer se os vetores são linearmente dependentes ou não. Nesse caso, a gente descobriu que eles são independentes. O que isso significa? Significa que um desses vetores não pode gerar o outro. Então, aqui nós temos dois vetores linearmente independentes... E qual vai ser o espaço gerado por esses dois vetores? Bom, o espaço gerado por esses dois vetores vai ser o R². Então, o R² vai ser todo o espaço gerado por esses dois vetores. Isso porque eles são independentes. Mas, se esses vetores fossem independentes, fossem múltiplos um do outro, eu ia ter apenas uma linha dentro do R². Mas aqui, nesse caso, não. Eu posso representar qualquer vetor dentro do R². Justamente porque esses vetores aqui são linearmente independentes. Então, eu consigo uma combinação deles que gere qualquer outro vetor. E agora deixem-me fazer um outro exemplo aqui. Deixa eu só passar essa tela um pouquinho para cá, subir um pouquinho essa tela aqui... Então, vamos lá. Porque, às vezes, eu fico um pouco sem espaço. Então, o meu próximo exemplo é: eu tenho um conjunto de vetores com o vetor 2,1, o vetor 3,2, e o vetor 1,2. Eu quero saber se esses três vetores são linearmente independentes ou não. Então, eu vou seguir a mesma ideia do exercício anterior. E, a fim de que esse conjunto de vetores seja linearmente dependente, eu tenho que ter c₁ vezes 2,1, mais c₂ vezes o vetor 3,2, mais c₃ vezes o vetor 1,2... Isso aqui vai dar o vetor nulo. Ou seja, vai dar o vetor 0,0. Então, basta que um desses números aqui, c₁, c₂ ou c₃, seja diferente de 0 para que sejam vetores linearmente dependentes. Da mesma forma, se todos forem 0, eles serão vetores independentes. Portanto, nós teremos aqui que: 2c₁ + 3c₂ + c₃ = 0. E, de outra forma aqui embaixo, nós temos também que: c₁ vezes 1... Dá c₁ + 2c₂ + 2c₃... Isso aqui também vai ser igual a 0. E sempre que você tiver três vetores, vai ter uma redundância. Porque, na melhor das hipóteses... Vamos dizer que esses dois vetores aqui sejam independentes. Se eu tenho dois vetores independentes, eles podem gerar todo o R². Inclusive esse vetor aqui, que também está no R². Esses vetores aqui com certeza serão linearmente dependentes. Então, sempre que você vir três vetores no espaço bidimensional, quer dizer que eles serão linearmente dependentes. Vamos escrever isso. E, aqui, eu vou dizer para você o seguinte: estou mostrando para você com essa ideia, mas eu vou mostrar também algebricamente. Então, vamos lá. Eu posso pegar qualquer um desses valores, aleatoriamente, e escolher um valor para eles. Por exemplo, c₃. Vamos dizer que c₃ seja -1. Estou dizendo aqui que c₃ é -1. O que vai acontecer com essas duas equações? Elas vão se reduzir a quê? Nós teremos: 2c₁ + 3c₂ - 1... Porque c₃ é -1. Então, -1... Igual a 0. E embaixo nós teremos c₁ + 2c₂ + 2c₃, só que 2c₃ dá -2... Então, isso aqui menos 2, igual a 0. Agora, para resolver isso aqui, a gente pode multiplicar, por exemplo, a equação de baixo por 2. Então, aqui vai ser 2 vezes c₁, aqui vai ser 4 vezes c₂, e aqui vai ser -4. Agora eu posso fazer a equação de cima menos a equação de baixo, isso aqui vai dar: 2c₁ - 2c₁ = 0. 3c₂ - 4c₂... isso aqui vai dar -c₂. -1 - (-4), fica -1 + 4. Isso dá +3... Igual a 0. Deixa eu só ver se isso aqui está certo. -1... Menos (-4), +4. Mais... É, +3. Está certo. Então, diminuindo c₃ dos dois lados, nós temos que: -c₂ = -3... E, por fim, c₂ = 3. Aqui em cima a gente pode dizer que c₃ = -1, e eu posso dizer agora também que c₂ = 3. Sabendo disso, nós podemos pegar qualquer uma dessas equações aqui para descobrir o valor de c₁. Aqui nós temos: c₁ mais 2c₂... 2 vezes 3 = 6. Mais 2 vezes c₃, que dá - 2... É igual a 0. Então, aqui a gente tem que: c₁ + 4 = 0. Portanto, nós temos aqui que c₁ = -4. Então, dei três valores a você: c₁, c₂ e c₃, de forma que, quando eu coloco esses valores aqui dentro dessa combinação linear, o meu resultado é o vetor nulo. Então, isso aqui dá 0,0. Bom, agora eu posso dizer que -4 vezes o vetor 2,1, que é o primeiro vetor... Aqui, mais 3. Porque c₂ é 3. Então, mais 3 vezes o vetor 3,2. Aqui, -1. Porque c₃ é -1. Vezes o vetor 1,2... Isso aqui vai ter que ser igual ao vetor 0,0. E vamos fazer essas contas aqui apenas para conferir. Vamos fazer isso por diversão. Então, a gente tem aqui -4 vezes 2 = -8. 3 vezes 3 = 9. 9 - 8 = +1. -1 vezes 1 = -1. E 1 + (-1) = 0. Então, está correto. Aqui: -4 vezes 1 = -4. 3 vezes 2 = 6. 6 - 4 = 2. -1 vezes 2 = -2. 2 + (-2) = 0, também. Isso nos mostra que os valores c₁, c₂ e c₃ estão corretos. Nesse caso aqui, todos esses valores são diferentes de 0, mas o que eu estou dizendo é que para eles serem linearmente dependentes, basta que um desses valores seja diferente de 0. Sendo todos esses aqui, c₁, c₂ e c₃ = 0, se todos forem 0, esses vetores se tornam linearmente independentes. Mas, no caso onde eu tenha pelo menos um número desses sendo diferente de 0, já faz com que esses vetores aqui não sejam linearmente independentes. Faz com que eles sejam dependentes. Então, essa combinação desses três valores mostra que esses vetores aqui são linearmente dependentes. E isso significa que um desses vetores aqui sempre vai poder ser representado pelos outros dois. E você não pode dizer: "Bom, esse cara aqui sempre vai ser aquele representado pelos outros dois." Não existe uma maçã podre dentro do grupo. Porque, se esses dois aqui representam esse, eu também tenho que esses dois podem representar esse aqui. Então, você não pode dizer que um deles é o vetor que causou o problema, que ele é a maçã podre do grupo. Não. Todos os três vetores são linearmente dependentes, porque os dois combinados sempre formam o terceiro. Eu espero que você tenha melhorado um pouco mais a sua intuição sobre vetores linearmente dependentes e independentes. Espero que você tenha gostado desse vídeo. E até o próximo vídeo.