Desenvolvimento do produto triplo vetorial (muito opcional)

RKA - O que vamos fazer neste vídeo é obter o produto vetorial de três vetores: o vetor "a" produto vetorial com o vetor "b" produto vetorial com vetor "c". A ideia é simplificar essa expressão. Nós vamos chegar a uma situação que envolve produtos escalares, o que acaba sendo mais simples de ser obtido do que o produto vetorial. Para começar, vamos lembrar que cada vetor pode ser escrito da seguinte forma: por exemplo, o vetor "a" igual ao "ax", que é um número real multiplicando "i", que é o vetor unitário no eixo do "x", na direção do eixo do "x" + "ay", multiplicando "j", que indica o componente na direção do eixo "y" mais o "azk". A mesma coisa para o eixo "z". Analogamente, para o vetor "b" e para o vetor "c" desta forma. Pela definição de produto vetorial da maneira a usar determinantes, o "b" produto vetorial "c" é obtido através do determinante, que na primeira linha temos "i", "j" e "k". Depois, na segunda linha, temos o "bx", "by" "bz" e na terceira linha, "cx", "cy", "cz". Calculando este determinante, nós vamos ter: vamos multiplicar os elementos da diagonal principal "i" por "by" por "cz" mais, agora aqui né, o "j" com o "bz" multiplicando o "cx". E a mesma coisa aqui: "bx", "cy" e "k". Agora, subtraindo os produtos na direção da diagonal secundária, "cx" vezes "by" vezes "k" menos "bx" "j" "cz" menos "cy" "bz" "i". Vou organizar isto colocando em evidência, onde houver, o "i", o "j" e o "k", porque vou poder enxergar isso como um novo vetor. Colocando o "i" em evidência, vou ter "by" "cz", "by" "cz", o "i"e aparece novamente aqui no último. Então, -"cy" bz" menos, vou colocar o "b" primeiro, "bz" "cy". Agora o "j". Então, + o "j", parênteses, aqui eu tenho "bz" "cx" menos, estamos olhando para o "j" estamos aqui, "bx" "cz", "bx" "cz". Observe que existe uma regularidade aí. Mais o "k", que multiplica. Aqui temos "bx" "cy", "bx" "cy", menos o "k" que aparece aqui, "cx" "by". Vou por "by" "cx". Dessa maneira, obtemos um novo vetor. Aqui temos os componentes "i", "j" e "k" multiplicados por números reais, isso tudo é um número real e assim por diante, é um novo vetor, que é o resultado de produto vetorial de "b" por "c". Bem, fizemos até aqui "b" produto vetorial com "c", então agora vamos fazer "a" produto vetorial com o resultado que nós obtivemos. Ou seja, "a" produto vetorial com "b", produto vetorial com "c", que é onde nós queremos chegar. Pela definição, isso vai ser novamente um determinante. Só temos que tomar cuidado na hora de escrevê-lo. Temos aqui "i", "j" e "k", o componente do vetor "a" aqui é o "ax", aqui o "ay", aqui o "az". E aqui vou colocar os componentes em "ijk" do que nós obtivemos aqui no produto vetorial de "b" por "c". "by" "cz" menos "bz" "cy", "bzcx", "bz" "cx", menos "bx" "cz". E aqui, finalmente, "bx" "cy" menos "by" "cx", que eram as três componentes do resultado anterior. O que eu vou fazer agora é exatamente o que eu fiz acima, ou seja, calcular o determinante, este é de ordem 3, e vou colocar em evidência o "i", o "j" e o "k". Para facilitar um pouquinho, vou olhar primeiramente só para aquela parte do determinante que envolve "i". Vou fazer uma marquinha aqui. O "i" em evidência multiplicaria o "ay" "bx" "cy" menos "ay" "by" "cx" menos "az" "bz" "cx", mais "az" "bx" "cz". Esta seria a parte em que, desenvolvendo o determinante e colocando o "i" em evidência na parte que é possível, eu teria esta situação. Entretanto, vou fazer aqui uma coisa interessante. Vou adicionar e subtrair "ax" "bx" "cx", "ax" "bx" "cx" Vou adicionar e subtrair "ax" "bx" "cx" a essa expressão, de modo que não vamos alterá-la. Observe que "x", "y" e "z" são todos índices. Ficaram um pouco grandes, você pode confundir, preste atenção nisso. Olhando para esta expressão que está entre parênteses, eu vou escrevê-la colocando primeiro "bx" em evidência onde isso for possível. Aqui "bx" em evidência. Temos "ay" "cy" aqui, "ay" "cy", Aqui, "az" "cz" mais "az" "cz" e, finalmente, mais o "ax" "cx", E agora vou colocar -"cx" em evidência onde for possível. Vamos ver. Temos aqui, vamos ficar com "ay", "by". Observe que o sinal de menos já está ali. "ay", "by". Agora aqui, onde temos o "az" "bz", então + "az" "bz" mais a "ax" "bx". "ax" "bx". O que eu escrevi aqui você pode ver que é uma coisa bastante interessante, essa expressão reescrita. Eu posso colocar na ordem que tem subíndice"x" primeiro, depois "y", depois "z". Mas você pode perceber, aqui está exatamente o produto escalar de "a" por "c". O produto escalar de "a" por "c" multiplicando a componente "x" do vetor "b". Menos, aqui é a mesma coisa só que é o vetor escalar de "a" por "b". "a" produto escalar por "b" multiplicando a componente "x" do vetor "c". Voltando aqui, esta expressão toda é equivalente ao produto escalar de "a" por "c" multiplicando a componente "x" do vetor "b" menos o produto escalar de "a" por "b" multiplicando a componente "x" do vetor "c", tudo isso multiplicando o vetor unitário "i". Isso que nós fizemos vale só para a componente no eixo "x" do produto vetorial em questão. Agora repetimos este mesmo procedimento para as outras componentes do produto triplo vetorial que estamos estudando e vamos chegar ao seguinte: para a componente "j", teremos aqui uma expressão multiplicando "j". O vetor unitário "j". Nós teremos aqui, em vez de "bx" seria "by", em vez de "cx" teríamos "cy", e aqui teremos novamente o produto escalar de "a" por "c" multiplicando "by" menos o produto escalar de "a" por "b" multiplicando "cy". Da mesma maneira, para a terceira componente que multiplica o vetor unitário "k", vamos ter o "a" escalar com "c", que multiplica agora "bz", menos "a" produto escalar com "b", que multiplica "cz". Você pode checar isso refazendo todos os cálculos exatamente como foram feitos até agora. Isso tudo nos diz que o produto vetorial de "a" por "b" produto vetorial com "c" é igual à somatória destas três expressões. Aqui está a primeira multiplicando vetor unitário "i", vamos colocar as outras. Aqui temos a segunda componente, que multiplica o vetor unitário "j" somando a primeira, e, finalmente, a terceira, que multiplica o vetor unitário "k". E agora vou distribuir a multiplicação dos setores unitários "i", "j" e "k" para dentro dos colchetes e teremos, então, cada parte multiplicada por "i", por "j" e por "k". Lembrando que o produto escalar é um número real, vou colocar em evidência o produto escalar de "a" por "c". Teremos entre parênteses o "bxi" mais "byj" mais "bzk" menos o produto escalar de "a" por "b". Também evidência, teremos a multiplicação por "cxi" "cyj" mais "czk". Agora aconteceu algo muito interessante. O que está entre os primeiros parênteses "bxi" mais "byj" mais "bzk" é nada mais, nada menos que o vetor "b". Do mesmo modo que nos outros parênteses, "cxi" +"cyj" + "czk" não era nada, nada mais nada menos, que o vetor "c". Escrevendo, teremos "a" produto escalar de "a" por "c" multiplicando o vetor "b" e depois o produto escalar de "a" por "b" multiplicando o vetor "c". Isso é o resultado daquilo que estávamos querendo, o triplo produto vetorial "a" vetor, "a" produto vetorial com "b" produto vetorial com "c" resulta nessa ideia. Se você precisa efetuar "a" vetor com "b" vetor "c", produto vetorial, você tem como resultado, considerando o primeiro vetor dos parênteses, que é "b", multiplicado pelo produto escalar dos outros dois, que é "a" e "c" menos o segundo vetor dos parênteses, que é o "c", multiplicado pelo produto escalar dos outros dois. Esta é uma maneira, o resultado simplificado para o produto vetorial triplo não é o resultado que necessariamente você precise memorizar, mas ele pode agilizar alguns casos. Naturalmente, se você tiver que efetuar o produto triplo, produto vetorial triplo de alguns vetores, você pode fazer manualmente com os dados fornecidos, mas a ideia da demonstração destas passagens abre caminho para uma série de outras ideias na matemática. Espero que você tenha achado isso útil. Até o próximo vídeo.