Dimensão do espaço nulo ou nulidade

RKA3JV - Vamos dizer que eu tenho uma matriz "B". Essa aqui é a minha matriz "B", e eu quero achar o espaço nulo dessa matriz "B". Já fizemos isso várias vezes em vídeos anteriores. Na verdade, o espaço nulo da matriz "B" a gente sabe que é o conjunto de todos os vetores "x", estes vetores têm que pertencer ao R₅, porque nós temos 1, 2, 3, 4, 5 colunas. Então, tem que pertencer ao R₅, onde a matriz "B" vezes este vetor "x" tem que ser igual a zero. Essa é a definição de espaço nulo. Eu estou apenas tentando encontrar o conjunto solução para essa equação aqui. E nós já vimos, anteriormente, que eu posso dizer que o espaço nulo da forma escalonada reduzida por linha, da minha matriz "B" é exatamente igual ao espaço nulo da matriz "B". Então, vamos ver agora qual seria a forma escalonada reduzida desta matriz "B". Na verdade, isso aqui é bem fácil! Vamos lá! Vamos começar substituindo a linha 2 pela diferença entre a linha 2 e a linha 1. Então, a primeira linha aqui não vai mudar, continua a mesma, então, eu vou continuar tendo 1, 1, 2, 3, 2. Já a segunda linha vai ser o resultado da segunda menos a primeira. Então, 1 - 1 = 0, 1 -1 = 0, 3 - 2 = 1, 1 - 3 = -2 e 4 - 2 = 2. Este é o primeiro resultado. A gente está quase lá, quase chegando na forma escalonada reduzida por linha. Aqui, nós temos a variável livre, porque eu tenho zero aqui. E aqui nós temos uma variável dinâmica, uma variável principal, por conta deste 1 aqui. O que eu tenho que fazer agora é me livrar deste cara aqui. Eu vou me livrar deste elemento substituindo a linha 1 pela linha 1, menos 2 vezes a linha 2. Então, vamos lá! Agora, quem não vai mudar é a linha 2, a linha 2 continua sendo a mesma. Vai ficar com 0, 0, 1, -2 e 2. Já a primeira linha, a gente sabe que vai ser a subtração da linha 1, menos 2 vezes a linha 2. Então, vamos lá! 1 - 2 vezes zero dá zero. 1 menos zero vai continuar dando 1. 1 menos 2 vezes zero é igual a zero, vai continuar dando 1. 2 menos 2 vezes 1 dá 2. 2 - 2 = 0. 3 menos 2 vezes - 2. Menos 2 vezes -2 dá 4, 3 + 4 vai dar 7. E 2 menos 2 vezes 2. 2 vezes 2 é 4. 2 - 4 aqui vai dar -2. Portanto, isso é onde a gente queria chegar. Essa matriz é a forma escalonada reduzida por linha da nossa matriz "B". Se eu quero descobrir o espaço nulo na matriz "B", então, eu vou fazer essa matriz aqui escalonada, vezes o meu vetor "x" que vai ser composto por x₁, x₂, x₃, x₄ e x₅. Isso aqui tem que ser igual ao meu o vetor zero, que vai ser representado pelo meu vetor [0, 0]. Eu posso colocar isso como um conjunto, um sistema de equações. Estas aqui vão ser as minhas duas variáveis fixas, as minhas variáveis principais, e as outras serão as minhas variáveis livres. Eu vou escrever as minhas variáveis fixas na cor verde. Então, eu vou fazer 1 vez x₁, eu vou ficar com o x₁, mais uma vez x₂. Uma vezes x₂, mais x₂, mais zero vezes x₃, mais 7 vezes x₄, e menos 2 vezes x₅, menos 2 vezes x₅. Isso aqui vai ter que ser igual a este zero aqui. Agora, nós vamos fazer a segunda linha. Vamos fazer zero vezes x₁ vai dar 0x₁, 1 vezes 0x₂ vai dar 0x₂, uma vezes x₃, x₃ também é uma variável fixa, uma vez x₃, menos 2 vezes x₄ e mais duas vezes x₅. Mais duas vezes x₅ vai ser igual a este zero, bem aqui. Estas aqui, então, são as minhas variáveis principais. Estas aqui são as variáveis livres que podem assumir qualquer valor. Vamos ver, então, o que a gente consegue se a gente resolver isso para as nossas variáveis principais, nossas variáveis fixas aqui. Nós podemos então dizer que x₁ é igual a -x₂, -7x₄ . Eu estou apenas subtraindo estes termos aqui de ambos os lados desta equação, e mais 2x₅. Da mesma maneira, nós vamos poder dizer que x₃ é igual a 2x₄ - 2x₅. Eu também estou subtraindo estes termos de ambos os lados desta equação. Agora, vamos lá! Vamos dizer, então, que este nosso vetor, que eu sei que tem 5 componentes: x₁, x₂, x₃, x₄ e x₅ vai ser igual ao que? Vamos ver, então. Bom, as variáveis dele, as variáveis livres são x₂, x₄ e x₅. Vamos dizer que vai ser igual a x₂ vezes algum elemento aqui, mais algum elemento aqui, mais x₄ vezes algum outro elemento, outra constante, e mais x₅ vezes um terceiro elemento aqui, que eu vou saber quem é, mais um terceiro elemento. Vamos começar, então, com x₁. x₁ é igual a menos uma vez x₂. Então, eu vou dizer que é x₂ vezes -1. -7 vezes x₄. Então, x₄ vezes -7. E mais 2 vezes x₅. Vamos fazer agora para x₃. x₃ é igual a x₄ vezes 2. Então, eu vou dizer que é x₄ vezes 2, menos 2 vezes x₅. Então, mais x₅ vezes -2. E não tem nenhum termo aqui x₂. Então, onde está o x₂ eu vou colocar zero. Agora, nós vamos fazer para as nossas variáveis livres. x₂ é igual apenas a x₂. Então, será x₂ igual a ele mesmo. Igual a 1 vezes x₂, ele não depende nem do x₄, nem do x₅. Então, vai ser zero. A mesma coisa aqui, isso foi para x₂, é a mesma coisa para x₄. x₄ vai ser 0x₂, mais uma vez x₄, mais zero vezes x₅. E x₅ vai ser zero vezes x₂, mais zero vezes x₄, mais uma vez x₅. Porque x₅ também não depende de ninguém, é uma variável livre. Então, agora nós temos todas as soluções que a gente quer para o nosso conjunto solução. Isto aqui são todas as nossas soluções da nossa equação da matriz "B" vezes o vetor "x" igual a zero, ou da nossa forma escalonada reduzida por linha da matriz "B" vezes o vetor "x" igual a zero. Elas serão desta forma, ou, então, serão combinações lineares destes três vetores. Vou chamá-los de vetor 1, vetor 2, e de vetor 3. Estes aqui serão apenas números aleatórios. Aqui, eu posso colocar qualquer valor, qualquer número real para encontrar essa solução definida. E aí, o que eu posso dizer, o que eu posso concluir é que o espaço nulo da minha matriz "B" que, obviamente, é igual ao espaço nulo da forma escalonada reduzida por linha da minha matriz "B", é igual a todas as combinações lineares possíveis, destes três vetores aqui, que, na verdade, é o espaço gerado por estes três vetores. Então, o espaço nulo dessa matriz vai ser o espaço gerado pelos vetores 1, que a gente chamou de vetor 1, vetor 2 e pelo vetor 3. E a razão pela qual eu passei este exercício, porque nós já fizemos isso várias vezes, é para pensarmos se estes caras aqui formam um conjunto linearmente independente. Então, minha pergunta é: estes caras aqui são linearmente independentes? Será que eles formam um conjunto linearmente independente? E o motivo para eu me preocupar com isso é porque se eles forem linearmente independentes, então, eles formam uma base para o espaço nulo, certo? Nós sabemos que eles geram um espaço nulo, então, se eles forem linearmente independente, eles vão atender as duas restrições de uma base. Você tem que gerar um subespaço e você tem que ser linearmente independente. Então, vamos estudar estes caras aqui. Este primeiro vetor aqui. Este vetor que a gente denominou de vetor 1. Se nós analisarmos, nesta segunda entrada nós temos o valor 1. 1 porque é justamente a variável independente, que x₂, ela é igual a ela mesma, e os outros termos contém zero, porque não depende de ninguém. Esta aqui é a variável livre, se ela está livre ela não vai depender nem de x₄, nem de x₅. O que eu quero saber é: eu consigo escrever este vetor como sendo uma combinação linear destes outros? Mesmo que a gente multiplique zero aqui, e zero aqui, depois, quando a gente somar, nunca isso aqui vai conseguir dar 1. Isto aqui sempre vai dar zero. Então, a gente não consegue escrever x₂ como sendo uma combinação linear destes outros dois vetores. Vamos analisar aqui o v₂. Da mesma forma, este segundo vetor aqui possui um número 1 na quarta posição. Está na quarta posição, porque corresponde ao x₄ e os outros componentes são zero. Porque x₄ é exatamente igual a x₄, ele é uma variável livre, também não depende nem deste cara, nem deste cara aqui. Como esta variável é zero e esta aqui é zero, também não há como nós escrevermos o número 1 como sendo uma combinação onde eu vou ter que ter [0, 0]. Eu posso somar ou subtrair, que eu só vou conseguir chegar no zero, eu não vou conseguir chegar no 1. Então, não existe como eu escrever este cara como uma combinação linear. Por último, nós vamos ter este terceiro vetor aqui, que, na quinta posição, corresponde ao x₅, e x₅ é exatamente igual a x₅. Então, aqui vai ser igual a 1, aqui vai ser zero e aqui vai ser zero. E eu também não consigo escrever como uma combinação linear deles. Ou seja, estes três vetores aqui são linearmente independentes, nós não podemos construir nenhum destes como uma combinação linear dos outros. Respondendo a esta pergunta aqui, a gente vai ter que os vetores, este conjunto é linearmente independente. Então, o que a gente pode escrever, é que o conjunto de vetores que a gente chamou de v₁, v₂ e v₃, este conjunto de vetores, nós podemos dizer que eles são uma base para o espaço nulo da nossa matriz "B". Agora, a gente está chamando de "B", na maioria das vezes a gente chamou de "A", mas é muito bom a gente mudar a notação para não ficar viciado. Estes vetores geram um subespaço e são linearmente independentes. Se eles geram um subespaço e são linearmente independentes, a gente pode afirmar que estes vetores são uma base para o espaço nulo da matriz "B" ou para o espaço nulo da forma escalonada reduzida da matriz "B". Agora, isso levanta uma questão bastante interessante. No último vídeo, eu defini o que é dimensão de um subespaço. Talvez você tenha perdido, porque o conteúdo do vídeo era uma espécie de demonstração mesmo. Mas, eu vou definir novamente aqui a dimensão de um subespaço. A gente diz que a dimensão de um subespaço é igual ao número de elementos de uma base para o subespaço. A dimensão de um subespaço é igual ao número de elementos que vai ter uma base para o subespaço. E neste último vídeo, eu me esforcei bastante para mostrar que todas as bases, para um determinado subespaço, terão sempre o mesmo número de elementos. Portanto, isso aqui é bem definido. Então, a minha questão agora para você é: qual vai ser a dimensão do espaço nulo da minha matriz "B"? Qual vai ser essa dimensão aqui? Bem, a dimensão é apenas o número de vetores de um conjunto de base para "B". Bem, aqui a gente tem uma base definida para este espaço nulo de "B". E aqui eu vou ter 1, 2, 3 vetores. Então, a dimensão do subespaço nulo de "B" é igual a 3. Outra maneira da gente pensar isso, outro nome para a dimensão do espaço nulo de "B" é dizer que a nulidade da matriz "B" também vai ser igual a 3. E vamos pensar sobre isso através deste exercício. O que é nulidade de qualquer matriz? Bem a nulidade de uma matriz vai ser a dimensão do espaço nulo. Então, o número de fatores que você vai ter aqui vai ser sempre o mesmo número da quantidade de variáveis livres que você tem aqui. Assim, no geral, a nulidade de qualquer matriz, vamos dizer aqui, vamos escrever aqui. A nulidade de qualquer matriz "A", vamos colocar aqui da matriz "A". vai ser igual, a gente pode dizer, que é igual ao número de colunas, o número de colunas ou número de variáveis livres que uma matriz "A" vai ter. Então, vai ser igual ao número de variáveis livres que a gente vai ter na forma escalonada reduzida por linha de uma matriz "A". Ou a gente também pode dizer que é o número de colunas não principais, colunas não fixas. A gente também pode dizer, vamos colocar que é o número de colunas não fixas de uma matriz "A", porque isso é basicamente dizer que é igual ao número de variáveis livres. Todas as nossas variáveis livres estão associadas a um vetor linearmente independente, cada uma delas. Portanto, o número de variáveis é o número de vetores que vamos ter em sua base do espaço nulo e o número de colunas não fixas na forma escalonada reduzida por linha. Se nós observarmos aqui, esta é uma coluna não fixa, esta aqui é uma coluna não fixa, e esta aqui é uma coluna não fixa. E elas estão associadas com as variáveis x₂, x₄ e x₅. Assim, a nulidade de uma matriz é, essencialmente, o número de colunas não principais na forma escalonada reduzida por linha desta matriz. Bom, eu espero que o que você tenha descoberto seja bastante útil. Até um próximo vídeo!