Introdução ao espaço nulo de uma matriz

RKA - Vamos rever nossas noções de subespaços mais uma vez e vamos ver se a gente consegue definir alguns subespaços interessantes trabalhando com matriz e vetores. Então, vamos dizer que eu tenho um subespaço aqui. Vamos dizer que esse subespaço, vou denominá-lo de subespaço "s". Isso será um subespaço se acontecerem algumas coisas. Eu preciso de alguns pré requisitos. Eu preciso que o vetor zero pertença ao subespaço, ou seja, esse meu subespaço "s" tem que conter o meu vetor zero. Digamos que eu tenha dois vetores que eu vou denominar de vetor "v1" e vetor "v2". Se "v1" e "v2" forem vetores que pertencem o subespaço "s", então a soma de "v1" + "v2" vai me dar um outro vetor, que também será um membro de "s", também vai pertencer a "s". Isso quer dizer que esses subespaços são fechados para a adição. Ou seja, você pode tomar a soma de quaisquer dois vetores e terá um outro vetor do subespaço. O último requisito, você vai lembrar, é que subespaços são fechados para a multiplicação. Se "c" for o número real, a gente tem um escalar "c" qualquer e ele pertence ao conjunto os números reais. E o vetor "v1" pertencer ao subespaço "s", a gente sabe que a multiplicação entre esse número arbitrário "c" vezes esse vetor "v1" é um outro membro que também vai pertencer ao meu subespaço "s". Ou seja, ele é fechado para multiplicação. Isso é um subespaço. Essa é a nossa definição do um subespaço. Se você chamar alguma coisa de subespaço, esses requisitos precisam ser atendidos. Agora vamos ver se podemos tirar alguma coisa interessante entre o que a gente viu e o nosso entendimento sobre a multiplicação de matrizes e vetores. Digamos que eu tenho uma matriz "A". Vou tentar fazer uma matriz "A" em negrito. Uma matriz "A" "m" por "n". E eu estou interessado na seguinte situação: eu quero estabelecer a equação de forma homogênea, e eu vou te dizer em um segundo porque ela é homogênea. Digamos que eu tenha estabelecido a equação onde a matriz "a" vezes o vetor "x" é igual ao meu vetor zero, eu tenho esta equação aqui. Isto é uma equação homogênea porque temos o zero bem aqui. Por isso, eu digo que esta equação é uma equação homogênea. Eu quero fazer uma pergunta, já que estamos falando sobre subespaços. Se eu pegar todos os valores de "x", se eu pegar o mundo, o universo, o conjunto de todos os "x" que satisfazem essa equação. Eu quero todos os valores para esse "x". Eu tenho um subespaço válido? Vamos pensar sobre isso. Eu quero pegar, então, todos os valores para "x" que pertençam a "Rⁿ". Lembre que a gente definiu nossa matriz "A" como tendo "n" colunas. Então, com isso eu defini o nosso vetor de multiplicação dessa matriz. Se "x" for um membro de "R", ele tem que ter exatamente "n" componentes, senão ele não estará definido. Eu quero pegar esse conjunto aqui, todos os conjuntos de todos os vetores "x" que são membros de "Rⁿ" e que satisfazem a equação: Matriz "A" vezes o vetor "x" é igual ao vetor zero. E a minha pergunta é: isso é um subespaço? Isso aqui é um subespaço válido? Na verdade, para a gente responder isso, vamos ter que olhar para esses três requisitos. Vamos fazer a primeira pergunta. Esse subespaço contém o vetor zero? Para que contenha o vetor zero, o vetor zero precisa satisfazer essa equação. Então, vamos ver o que é a matriz "A" vezes o vetor zero. A gente sabe que a matriz "A" é uma matriz "m" por "n". Sendo assim, uma matriz com "m" linhas e "n" colunas. Então, eu vou dizer que esse elemento vai ser o meu elemento da primeira linha, primeira coluna, aí eu vou ter o elemento da primeira linha, da segunda coluna, até chegarmos ao elemento da primeira linha, enésima coluna. Vai acontecer a mesma coisa aqui. Vamos ter o elemento até chegarmos no elemento da emésima linha e primeira coluna. E vamos ter o elemento da emésima linha, da linha "m" da segunda coluna. E assim a gente vai construir a nossa matriz até chegarmos nessa último entrada aqui que é a entrada da linha "m" e da coluna "n". Aí a gente vai ter nossa matriz e ela vai estar multiplicada pelo vetor zero, ou seja, vai ser multiplicada por vetor que vai ter "m" entradas. A mesma entrada aqui. Então vou ter zero. Aqui vai ser a segunda entrada zero. Até chegarmos à entrada zero. A gente vai multiplicar assim. Essa primeira entrada, esse vetor resultante, é o vetor da multiplicação da primeira linha por todos os elementos do vetor zero, que vão ser zero. Então, vou multiplicar zero vezes o primeiro elemento, que vai dar zero. Mais zero vezes o segundo elemento, que também dá zero. Mais zero vezes o último elemento. Essa linha que vai multiplicar aqui, que também vai ser zero. Ou seja, aqui nós teremos "n" linhas, "n" elementos. Essa multiplicação vai dar zero. 0 + 0 + 0 + 0 é zero. A gente multiplicou esta primeira linha aqui por cada um dos componentes desse vetor. E a mesma coisa a gente vai fazer aqui. Aqui nós teremos um elemento da segunda linha, primeira coluna, que vai multiplicar esse zero aqui. A mesma coisa aqui. O elemento da segunda linha, segunda coluna, e a gente vai ter zero vezes esse primeiro elemento que vai dar zero, mais zero vezes o segundo elemento que também vai dar zero. E assim nós vamos ter zero até chegarmos nessa última linha que vai multiplicar cada um desses elementos que é zero. O produto de zero vezes qualquer outro elemento vai ser zero e o resultado final vai ser zero. Então, multiplicamos a matriz "a" pelo vetor zero e a gente viu que vai dar como resultado o vetor zero. A gente está usando uma anotação não muito convencional. Eu estou escrevendo assim porque quero frisar todos os zeros, toda hora, para fazer você entender o que é um vetor. E o nosso primeiro requisito foi cumprido. O vetor zero é um membro desse conjunto. Vamos escrever esse conjunto. Vou denotar esse conjunto de conjunto "N", daqui a pouco você vai entender porque eu denotei de conjunto "N", e nós vimos que o vetor zero pertence a este conjunto "N". E se nós tivermos dois vetores? Eu vou chamar de vetores "v1" e "v2", e se eu disser que esses vetores pertencem a "N"? Vou escrever aqui, dois vetores que pertençam a "N". O que isso significa? Bem, significa que ambos os vetores satisfazem essa equação. Então, se "v1" e "v2" pertencem a "N" por definição, eu posso dizer que a matriz "A" vezes o vetor 1 tem que ser igual a zero, isso implica, por definição, que tem que satisfazer essa equação, já que "v1" e "v2" pertencem ao conjunto "N". E a mesma coisa para a matriz "A" vezes o vetor "v2". Isso também tem que ser igual ao vetor zero. E para que isso seja fechado para a adição, o que a gente tem que ter é que a matriz "A" vezes o vetor "v1" mais o vetor "v2" sejam que a soma desses dois vetores também precisa ser um membro de "N". Vamos entender o que é isso. A soma desses dois vetores é esse vetor aqui. E isso é igual ao quê? Eu ainda não provei isso, não fiz um vídeo onde eu provei isso, mas é muito fácil provar usando a definição de multiplicação de matriz por vetor, já que a multiplicação da matriz por vetor obedece à propriedade distributiva. Talvez eu faça um vídeo sobre isso, pois na verdade, você só precisa seguir o processo mecânico de cada termo. Se é igual a matriz "A" vezes o vetor 1, a matriz "A" vezes o vetor 1, mais a matriz "A" vezes o vetor 2. a matriz "A" vezes o vetor 2. E nós acabamos de ver que isso vai dar zero e que isso aqui também vai dar zero. E, quando somamos o vetor zero com ele mesmo, temos que tudo isso vai dar zero. Então, se "v1" é um membro de "N" e "v2" é um membro de "N", e isso implica que ambos satisfazem a minha equação, então "v1" + "v2" definitivamente também é um membro de "N", porque quando eu multiplico "A" vezes isso, também vai dar zero. Vou escrever isso. Nós sabemos agora que "v1" + "v2" também pertencem a "N", ao conjunto "N". E aí eu já consegui provar o meu segundo requisito. E a última coisa que nós temos que provar é que esse conjunto é fechado para a multiplicação. Imagine que a gente tenha um vetor "v1", que esse vetor seja um membro desse conjunto "N", ele pertence a esse conjunto "N". O que eu posso dizer sobre a multiplicação de "c" vezes o vetor "v1"? Eu posso dizer que também é um membro do conjunto "N"? Vamos pensar um pouco. Quanto será que dá a matriz "A", a multiplicação da nossa matriz "A" vezes "c" vezes "v1"? Esse membro aqui. Porque a gente sabe que "c" vezes "v1" vai ser um novo vetor. Quanto dá essa multiplicação? Mais uma vez não provei para vocês, mas é uma coisa verdadeiramente simples de se fazer demonstrar que quando se lida com escalares, se você tem um escalar aqui, a gente tem um escalar bem aqui, tanto faz, não importa se você multiplica o escalar pelo vetor e depois pela matriz, ou se você multiplica a matriz pelo vetor e depois pelo escalar. Então, é bem simples de provar que isso é igual a "c" vezes a matriz "A" vezes o vetor "v1". Essas coisas são equivalentes. Talvez eu devesse mandar um vídeo que explica isso, mas vou deixar isso para você, basta você fazer mecanicamente componente por componente, que você mostra isso. Então, claramente, se isso for verdade, e nós já sabemos que "v1" pertence a esse conjunto, pertence ao conjunto "N", então se isso for verdade, claramente, "A" vezes "v1" vai ser igual ao vetor zero. E a gente vai ter então escalar "c" vezes o vetor zero e a gente sabe que isso é igual ao vetor zero. Então, "c" vezes "v1" vai pertencer ao conjunto "N". E isso aqui vai ser fechada para a multiplicação. Eu assumi isso, mas talvez eu mostre isso de uma maneira diferente em algum outro vídeo. Mas, o que eu quero com isso tudo, é mostrar que esse conjunto "N" é um subespaço válido. Ele contém o vetor zero, ele é fechado para a adição e ele é fechado para a multiplicação. Na verdade, nós temos até um nome especial para ele. Nós os chamamos de espaço nulo de "A". O nome desse vetor "N" é espaço nulo de "A". Ou podemos escrever, vou escrever em laranja, que esse conjunto "N" é igual a "N" de "A". Que significa basicamente, é uma anotação bem simples, espaço nulo de "A". Se eu der uma matriz arbitrária "A" e disser que "A" eu quero que você calcule "N" de "A". O que eu quero que você faça? Bom, o seu objetivo será encontrar o conjunto de todos os "x" que satisfaçam a equação "A" vezes "x" é igual ao vetor zero. Eu farei um exemplo disso no nosso próximo vídeo. Até lá.