Espaço nulo 2: cálculo do espaço nulo de uma matriz

RKA4JL - No último vídeo eu mostrei teoricamente o que é o espaço nulo e nós mostramos um subespaço válido. Mas neste vídeo nós vamos calcular um espaço nulo para uma matriz, nesse caso, para nossa matriz A. A gente pode dizer que o espaço nulo é um conjunto de todos os vetores eu vou desenhar aqui o vetor, e cada um desses membros. Vai ser x1, um membro, x2, x3 e x4. Cada um desses aqui é um membro do nosso vetor, do nosso espaço nulo. Então quando eu multiplicar a matriz A vezes esse vetor aqui, terei o vetor zero. Então vamos só fazer algumas observações aqui a respeito desse vetor zero. Essa matriz aqui é uma matriz que tem uma, duas, três, quatro colunas, então posso dizer que é uma matriz 3 por 4, três linhas e quatro colunas. Então posso dizer que essa multiplicação é uma multiplicação definida, uma vez que esse vetor possui quatro componentes, é um membro de RN. Vamos chamar esse vetor aqui de vetor x e a gente vai dizer que ele pertence ao R4, já que possui quatro componentes. O espaço nulo é o conjunto de todos os vetores que, quando são multiplicados por A, produz o vetor zero. O que eu vou ter aqui é uma linha vezes essa coluna aqui, depois essa segunda linha vezes essa coluna e essa terceira linha vezes essa coluna, ou seja, o meu vetor zero terá três componentes e será um vetor do R3. Agora como é que nós vamos descobrir o conjunto de todos esses x que satisfazem essa condição aqui? Bom, vamos escrever isso com uma notação formal. Eu posso dizer que o espaço nulo de A será igual ao conjunto de todos esses vetores x que pertençam... Normalmente a gente usa o RN, mas a gente sabe que essa matriz aqui é uma matriz 3 por 4. Então esses vetores x que eu quero descobrir, todos estarão no R4, tal que quando eu multiplico essa minha matriz A vezes qualquer um desses vetores x aqui, eu vou ter o vetor zero, e a gente sabe que nesse caso aqui o vetor zero será um vetor no R3. Bem, como podemos fazer isso? Isso aqui nada mais é do que uma equação linear que está em pé. Podemos escrever dessa maneira. Se fôssemos executar as multiplicações dessas matrizes, nós teríamos uma vez x1 mais uma vez x2. Vamos escrever isso aqui. 1 vez x1 vai dar x1, mais 1 vez x2 vai dar x2, mais 1 vez x3 vai dar x3, mais 1 vez x4 vai dar x4 e isso aqui vai ter que ser igual a essa primeira entrada, que é zero. Então eu multipliquei essa linha aqui por essa coluna, obtive esse zero. Na linha de baixo, nós teremos 1 vez x1, também dá x1, mais 2 vezes x2, mais 3 vezes x3, e 4 vezes x4, e isso também é igual a essa segunda entrada, que também é zero. Multipliquei essa linha por essa coluna e obtive esse zero. Por último nós vamos fazer esta linha por essa coluna, 4 vezes x1 mais 3 vezes x2 mais 2 vezes x3 e 1 vez x4, que dá x4, também tem que ser igual a esta segunda entrada aqui, que dá zero. A multiplicação foi esta linha aqui por essa coluna, e o que nós vamos ter que fazer é encontrar a solução que vai estar definida por isso aqui, e dessa forma a gente vai descobrir o nosso espaço nulo. Então, agora, vamos descobrir a solução definida para sistemas de equações como esse aqui. Nós temos três equações com quatro incógnitas, então nós podemos fazer isso. Podemos representar isso por uma matriz aumentada e, em seguida, colocá-la na forma escalonada reduzida. Vamos fazer isso. Podemos representar, então, esse sistema pela matriz 1, 1, 4 (deixe-me escrever aqui, 1, 1, 4); 1, 2, 3; 1, 3, 2 e 1, 4, 1, agora a gente faz a linha que vai dividir aqui e agora a gente vai colocar no lado direito esses zeros: zero, zero, zero. A coisa imediata que você pode perceber é que nós tivemos o trabalho de colocar essa equação na forma de um sistema e agora, para resolvê-la, nós vamos voltar às matrizes usando a matriz aumentada. Essa matriz aumentada se parece com quê? Essa parte aqui nada mais é do que a nossa matriz A que nós já vimos bem aqui e essa parte aqui é o nosso vetor zero, esse vetor aqui. Para resolver isso nós vamos colocar essa matriz aumentada na forma escalonada, nós já vimos isso outras vezes. E o que você vai observar quando nós colocarmos na forma escalonada é que esse lado direito aqui não vai mudar em nada, porque não importa se você vai multiplicar ou subtrair quando você está lidando com zeros. Você vai terminar sempre tendo zero. Então vamos começar a colocar isso na forma escalonada. Na verdade, vamos colocar apenas a matriz A na forma escalonada reduzida. Deixe-me fazer isso logo em vez de ficar apenas falando. Vou começar, então, repetindo a linha um... A princípio, a linha um vai continuar sendo a mesma, então eu vou deixar ali 1, 1, 1, 1 e aqui, bem aqui, a gente vai ter o zero. A linha dois eu vou substituir, vou fazer a seguinte operação para reescrever a linha dois: vai ser a própria linha dois menos a linha um. Então aqui a gente vai ter 1 menos 1, vai entrar o zero, 2 menos 1 vai entrar 1, 3 menos 1, 2, 4 menos 1, 3 e zero menos zero, zero. Na terceira linha a gente vai reescrever como sendo 4 vezes a linha um, a primeira linha, menos a terceira linha. Então vou ficar 4 vezes 1, 4, menos 4, zero. 4 vezes 1, 4, menos 3, 1, 4 vezes 1, 4, menos 2, 2, 4 vezes 1, 4, menos 1, 3, 4 vezes zero, zero, menos zero, aqui vai continuar dando zero. Essa foi a nossa primeira sequência para chegar na forma escalonada. Agora para chegar aonde eu quero na forma escalonada, eu vou me livrar desse termo aqui e desse termo aqui, vou manter a minha linha do meio exatamente a mesma, então a gente sabe que nós teremos aqui, na linha do meio, vai continuar sendo zero, 1, 2, 3, essa parte aqui, aumentada, vai continuar sendo zero lembrando que essa parte aumentada com todos os elementos sendo zero nunca vai mudar, para a primeira linha, eu o que eu posso fazer é substituir a primeira linha pela primeira linha menos a segunda linha, então nós vamos ter 1 menos zero, que vai dar 1, 1 menos 1, que vai dar zero, 1 menos 2, que vai dar -1, e 1 menos 3, que vai dar -2 e obviamente que zero menos zero vai continuar dando zero. Agora vamos substituir a última linha pelo resultado da última linha menos a linha do meio. Então eu vou ter zero menos zero, zero, 1 menos 1, zero (acho que você já sabe mais ou menos aonde isso vai dar) 2 menos 2, zero, e obviamente que 3 menos 3 também vai dar zero. Aqui também, zero menos zero, zero. Então essa aqui é nossa matriz na forma escalonada. Portanto, esse sistema de equações foi reduzido para esse problema aqui e se eu quiser reescrever isso na forma de sistemas, nós teremos x1, aqui não tem x2, menos x3... Então vamos escrever isso aqui. x1 menos x3 menos 2 vezes x4, isso aqui vai ser igual a zero e na nossa segunda linha nós vamos ter zero x1, não tem, mais x2, mais 2 vezes x3, mais 3 vezes x4. 3 vezes x4, isso aqui é igual a zero. Obviamente que essa última linha não me dá informação alguma, e para que eu possa resolver isso em função de x1 e x2, eu posso escrever x1 como sendo igual a x3, x1 é igual a x3, mais 2 vezes x4. Agora vou escrever a segunda aqui de verde. x2 eu posso dizer que é igual, x2 é igual a -2 vezes x3 menos 3 vezes x4. Então se eu quero escrever o conjunto solução para essa equação aqui, eu posso primeiro reescrever esses vetores aqui como sendo... Esse vetor aqui, vamos escrever aqui x1, x2, x3 e x4. Então vamos colocar aqui x1, x2, x3 e x4, e a gente pode dizer que isso é igual a quê? x1 é igual o quê? x1 a gente viu que é igual a 1 vez x3 mais 2 vezes x4. Então eu posso dizer que é x3 vezes 1 mais x4 vezes 2. Está aqui o x4 vezes 2, então, mais x4 vezes 2, assim como a gente também pode reescrever x2. Eu posso dizer que x2 é igual a -2 vezes x3, então x3 vezes -2 menos 3 vezes x4, ou mais x4 vezes -3. x3 e x4 são iguais a eles mesmos, então x3 é igual a 1 vez x3 e zero vez x4, x4 é igual a zero vez x3 mais 1 vez x3... Ops, 1 vez x4. Vamos dar uma olhadinha, então, só para a gente não se confundir, não cometer erros bobos, x2 igual a 2 x3, mais 3 x4, -2 x3 menos 3 x4 -2, -3, e aqui 1 e +2. Ok, tudo certinho. Assim todos os vetores R4, esses membros aqui, estão no R4 (vamos colocar aqui no R4) satisfazem a nossa equação original que diz que a matriz A vezes um vetor x tem que ser igual a um vetor zero e pode ser representado pela combinação linear entre esses dois vetores aqui, esses dois vetores aqui, e esses aqui são apenas escalares que pertencem ao conjunto dos números reais, esses dois aqui, e podemos escolher qualquer número real para x3 e qualquer número real para x4. Então o nosso conjunto solução é apenas uma combinação linear entre esses dois vetores. Como seria uma outra maneira de a gente dizer que temos uma combinação linear entre dois vetores? Deixe-me escrever isso. Eu posso dizer que o espaço nulo de A, que nada mais é do que o conjunto solução dessa equação bem aqui, é o conjunto de todas as combinações lineares entre esse vetor e esse vetor. E o que chamamos de todas as combinações lineares de dois vetores? É a extensão desses dois vetores, é o espaço gerado por esses dois vetores aqui, esses vetores que, na verdade, são 1, -2, 1, zero, e esse nosso outro vetor aqui, que é 2, -3, zero e 1. Então essa é a combinação, é o espaço gerado por esses dois vetores, e esse é o nosso espaço nulo. Mas antes de encerrar isso aqui, deixe-me contar uma coisa bem interessante que nós temos aqui. Nós representamos o nosso sistema de equações como está aqui. Nós colocamos a nossa matriz na forma reduzida escalonada, então nós podemos dizer que essa aqui é a nossa matriz A e essa aqui a gente pode chamar de forma reduzida escalonada. Eu já usei antes essa abreviação aqui, que é mesma abreviação usada quando se fala o termo em inglês para forma reduzida escalonada, e aqui nós temos a nossa equação linear para resolver o seguinte problema: nós temos que a forma reduzida escalonada da matriz A vezes o nosso vetor x, tem que ser igual ao nosso vetor zero. Então todas as soluções que nós encontramos para isso aqui também vão ser soluções do nosso problema original bem aqui. Então quais são as soluções para essa equação aqui? Bom, todos os valores de x que satisfazem essa equação são espaço nulo na forma reduzida escalonada da matriz A. Eu posso dizer que isso a gente pode chamar, pode ser representado, pelo espaço nulo da forma reduzida escalonada da matriz A. Mas nós podemos dizer que esse problema aqui é o mesmo que esse problema aqui, então a gente pode escrever que o espaço nulo da matriz A é igual ao espaço nulo da forma reduzida escalonada da matriz A. Isso pode parecer um pouco confuso, mas você vai achar muito útil quando estiver tentando calcular espaços nulos. Nem sequer temos que escrever a matriz aumentada. Essa matriz aqui, podemos tomar a matriz A, colocá-la na forma reduzida escalonada e então descobrir o seu espaço nulo. Nós poderíamos ter ido direto a esse ponto aqui. Eu imediatamente teria resolvido essa equação ao invés de fazer esse produto ponto a ponto se nós tivéssemos ido diretamente a esse ponto aqui, nós teríamos feito a equação linear e teríamos obtido o mesmo resultado aqui, o nosso resultado final, da mesma forma. Espero que esse nosso estudo seja bastante útil para você e até o próximo vídeo!