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Álgebra linear
Curso: Álgebra linear > Unidade 1
Lição 7: Espaço nulo e espaço coluna- Produtos vetoriais de matriz
- Introdução ao espaço nulo de uma matriz
- Espaço nulo 2: cálculo do espaço nulo de uma matriz
- Espaço nulo 3: relação à independência linear
- Espaço coluna de uma matriz
- Espaço nulo e base de espaço coluna
- Visualização de um espaço coluna como um plano em R3
- Demonstração: qualquer base de subespaço tem o mesmo número de elementos
- Dimensão do espaço nulo ou nulidade
- Dimensão da posição ou do espaço coluna
- Mostrando a relação entre colunas base e colunas pivô
- Mostrando que a base candidata produz o conjunto C(A)
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Espaço nulo 2: cálculo do espaço nulo de uma matriz
Cálculo do espaço nulo de uma matriz. Versão original criada por Sal Khan.
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Transcrição de vídeo
RKA4JL - No último vídeo eu mostrei
teoricamente o que é o espaço nulo e nós mostramos
um subespaço válido. Mas neste vídeo nós vamos calcular
um espaço nulo para uma matriz, nesse caso,
para nossa matriz A. A gente pode dizer que o espaço nulo
é um conjunto de todos os vetores eu vou desenhar
aqui o vetor, e cada um desses membros.
Vai ser x1, um membro, x2, x3 e x4. Cada um desses aqui é um membro
do nosso vetor, do nosso espaço nulo. Então quando eu multiplicar a matriz A
vezes esse vetor aqui, terei o vetor zero. Então vamos só fazer algumas observações
aqui a respeito desse vetor zero. Essa matriz aqui é uma matriz que tem
uma, duas, três, quatro colunas, então posso dizer que é uma matriz
3 por 4, três linhas e quatro colunas. Então posso dizer que essa multiplicação
é uma multiplicação definida, uma vez que esse vetor possui quatro
componentes, é um membro de RN. Vamos chamar esse vetor
aqui de vetor x e a gente vai dizer que ele pertence ao R4,
já que possui quatro componentes. O espaço nulo é o conjunto
de todos os vetores que, quando são multiplicados por A,
produz o vetor zero. O que eu vou ter aqui é uma linha
vezes essa coluna aqui, depois essa segunda linha vezes essa coluna
e essa terceira linha vezes essa coluna, ou seja, o meu vetor zero terá
três componentes e será um vetor do R3. Agora como é que nós vamos
descobrir o conjunto de todos esses x que satisfazem
essa condição aqui? Bom, vamos escrever isso
com uma notação formal. Eu posso dizer que
o espaço nulo de A será igual ao conjunto de todos
esses vetores x que pertençam... Normalmente
a gente usa o RN, mas a gente sabe que essa matriz aqui
é uma matriz 3 por 4. Então esses vetores x que eu quero
descobrir, todos estarão no R4, tal que quando eu multiplico
essa minha matriz A vezes qualquer um desses vetores x aqui,
eu vou ter o vetor zero, e a gente sabe que nesse caso aqui
o vetor zero será um vetor no R3. Bem, como
podemos fazer isso? Isso aqui nada mais é do que
uma equação linear que está em pé. Podemos escrever
dessa maneira. Se fôssemos executar
as multiplicações dessas matrizes, nós teríamos uma vez x1
mais uma vez x2. Vamos escrever
isso aqui. 1 vez x1 vai dar x1,
mais 1 vez x2 vai dar x2, mais 1 vez x3 vai dar x3,
mais 1 vez x4 vai dar x4 e isso aqui vai ter que ser igual a
essa primeira entrada, que é zero. Então eu multipliquei essa linha aqui
por essa coluna, obtive esse zero. Na linha de baixo, nós teremos
1 vez x1, também dá x1, mais 2 vezes x2, mais 3 vezes x3,
e 4 vezes x4, e isso também é igual a essa segunda
entrada, que também é zero. Multipliquei essa linha por essa coluna
e obtive esse zero. Por último nós vamos fazer
esta linha por essa coluna, 4 vezes x1
mais 3 vezes x2 mais 2 vezes x3
e 1 vez x4, que dá x4, também tem que ser igual a esta
segunda entrada aqui, que dá zero. A multiplicação foi esta linha
aqui por essa coluna, e o que nós vamos
ter que fazer é encontrar a solução que
vai estar definida por isso aqui, e dessa forma a gente vai
descobrir o nosso espaço nulo. Então, agora, vamos descobrir a solução definida
para sistemas de equações como esse aqui. Nós temos três equações com quatro incógnitas,
então nós podemos fazer isso. Podemos representar isso
por uma matriz aumentada e, em seguida, colocá-la na forma
escalonada reduzida. Vamos fazer isso. Podemos representar, então,
esse sistema pela matriz 1, 1, 4 (deixe-me escrever
aqui, 1, 1, 4); 1, 2, 3; 1, 3, 2 e 1, 4, 1, agora a gente faz a linha
que vai dividir aqui e agora a gente vai colocar
no lado direito esses zeros: zero, zero, zero. A coisa imediata que
você pode perceber é que nós tivemos o trabalho de colocar
essa equação na forma de um sistema e agora, para resolvê-la, nós vamos voltar
às matrizes usando a matriz aumentada. Essa matriz aumentada
se parece com quê? Essa parte aqui nada mais é do que
a nossa matriz A que nós já vimos bem aqui e essa parte aqui é o nosso vetor zero,
esse vetor aqui. Para resolver isso nós vamos colocar
essa matriz aumentada na forma escalonada, nós já vimos isso
outras vezes. E o que você vai observar quando
nós colocarmos na forma escalonada é que esse lado direito aqui
não vai mudar em nada, porque não importa se você vai multiplicar
ou subtrair quando você está lidando com zeros. Você vai terminar
sempre tendo zero. Então vamos começar a colocar isso
na forma escalonada. Na verdade, vamos colocar apenas
a matriz A na forma escalonada reduzida. Deixe-me fazer isso logo
em vez de ficar apenas falando. Vou começar, então,
repetindo a linha um... A princípio, a linha um vai
continuar sendo a mesma, então eu vou
deixar ali 1, 1, 1, 1 e aqui, bem aqui,
a gente vai ter o zero. A linha dois
eu vou substituir, vou fazer a seguinte operação
para reescrever a linha dois: vai ser a própria linha dois
menos a linha um. Então aqui a gente vai ter
1 menos 1, vai entrar o zero, 2 menos 1 vai entrar 1,
3 menos 1, 2, 4 menos 1, 3
e zero menos zero, zero. Na terceira linha a gente
vai reescrever como sendo 4 vezes a linha um, a primeira linha,
menos a terceira linha. Então vou ficar 4 vezes 1, 4,
menos 4, zero. 4 vezes 1, 4,
menos 3, 1, 4 vezes 1, 4,
menos 2, 2, 4 vezes 1, 4,
menos 1, 3, 4 vezes zero, zero, menos zero,
aqui vai continuar dando zero. Essa foi a nossa primeira sequência
para chegar na forma escalonada. Agora para chegar aonde
eu quero na forma escalonada, eu vou me livrar desse termo
aqui e desse termo aqui, vou manter a minha linha
do meio exatamente a mesma, então a gente sabe que nós teremos
aqui, na linha do meio, vai continuar sendo
zero, 1, 2, 3, essa parte aqui, aumentada,
vai continuar sendo zero lembrando que essa parte aumentada com todos
os elementos sendo zero nunca vai mudar, para a primeira linha, eu o que
eu posso fazer é substituir a primeira linha pela primeira linha
menos a segunda linha, então nós vamos ter
1 menos zero, que vai dar 1, 1 menos 1,
que vai dar zero, 1 menos 2, que vai dar -1,
e 1 menos 3, que vai dar -2 e obviamente que zero menos zero
vai continuar dando zero. Agora vamos substituir
a última linha pelo resultado da última linha
menos a linha do meio. Então eu vou ter zero menos zero, zero,
1 menos 1, zero (acho que você já sabe mais
ou menos aonde isso vai dar) 2 menos 2, zero, e obviamente que
3 menos 3 também vai dar zero. Aqui também,
zero menos zero, zero. Então essa aqui é nossa matriz
na forma escalonada. Portanto, esse sistema de equações
foi reduzido para esse problema aqui e se eu quiser reescrever isso
na forma de sistemas, nós teremos x1, aqui não tem x2, menos x3...
Então vamos escrever isso aqui. x1 menos x3
menos 2 vezes x4, isso aqui vai
ser igual a zero e na nossa segunda linha nós
vamos ter zero x1, não tem, mais x2, mais 2 vezes x3,
mais 3 vezes x4. 3 vezes x4,
isso aqui é igual a zero. Obviamente que essa última linha
não me dá informação alguma, e para que eu possa resolver isso
em função de x1 e x2, eu posso escrever x1
como sendo igual a x3, x1 é igual a x3,
mais 2 vezes x4. Agora vou escrever
a segunda aqui de verde. x2 eu posso
dizer que é igual, x2 é igual a -2 vezes x3
menos 3 vezes x4. Então se eu quero escrever o conjunto
solução para essa equação aqui, eu posso primeiro reescrever
esses vetores aqui como sendo... Esse vetor aqui, vamos
escrever aqui x1, x2, x3 e x4. Então vamos colocar
aqui x1, x2, x3 e x4, e a gente pode dizer
que isso é igual a quê? x1 é igual o quê? x1 a gente viu que é igual a
1 vez x3 mais 2 vezes x4. Então eu posso dizer que é
x3 vezes 1 mais x4 vezes 2. Está aqui
o x4 vezes 2, então, mais x4
vezes 2, assim como a gente também
pode reescrever x2. Eu posso dizer que x2
é igual a -2 vezes x3, então x3 vezes -2 menos 3 vezes x4,
ou mais x4 vezes -3. x3 e x4 são iguais
a eles mesmos, então x3 é igual a
1 vez x3 e zero vez x4, x4 é igual a zero vez x3 mais 1 vez x3...
Ops, 1 vez x4. Vamos dar
uma olhadinha, então, só para a gente não se confundir,
não cometer erros bobos, x2 igual a 2 x3, mais 3 x4,
-2 x3 menos 3 x4 -2, -3, e aqui 1 e +2.
Ok, tudo certinho. Assim todos os vetores R4,
esses membros aqui, estão no R4 (vamos colocar aqui no R4)
satisfazem a nossa equação original que diz que a matriz A vezes um vetor x
tem que ser igual a um vetor zero e pode ser representado
pela combinação linear entre esses dois vetores aqui,
esses dois vetores aqui, e esses aqui
são apenas escalares que pertencem ao conjunto
dos números reais, esses dois aqui, e podemos escolher qualquer número real
para x3 e qualquer número real para x4. Então o nosso conjunto solução é apenas uma
combinação linear entre esses dois vetores. Como seria uma outra maneira
de a gente dizer que temos uma combinação linear
entre dois vetores? Deixe-me escrever isso. Eu posso dizer
que o espaço nulo de A, que nada mais é do que o conjunto
solução dessa equação bem aqui, é o conjunto de todas as combinações
lineares entre esse vetor e esse vetor. E o que chamamos de todas as
combinações lineares de dois vetores? É a extensão desses dois vetores, é o espaço
gerado por esses dois vetores aqui, esses vetores que,
na verdade, são 1, -2, 1, zero, e esse nosso outro vetor aqui,
que é 2, -3, zero e 1. Então essa é a combinação, é o espaço
gerado por esses dois vetores, e esse é o nosso
espaço nulo. Mas antes
de encerrar isso aqui, deixe-me contar uma coisa
bem interessante que nós temos aqui. Nós representamos o nosso sistema
de equações como está aqui. Nós colocamos a nossa matriz
na forma reduzida escalonada, então nós podemos dizer
que essa aqui é a nossa matriz A e essa aqui a gente pode chamar
de forma reduzida escalonada. Eu já usei antes essa abreviação aqui,
que é mesma abreviação usada quando se fala o termo em inglês
para forma reduzida escalonada, e aqui nós temos a nossa equação linear
para resolver o seguinte problema: nós temos que a forma reduzida escalonada
da matriz A vezes o nosso vetor x, tem que ser igual
ao nosso vetor zero. Então todas as soluções
que nós encontramos para isso aqui também vão ser soluções do nosso
problema original bem aqui. Então quais são as soluções
para essa equação aqui? Bom, todos os valores de x
que satisfazem essa equação são espaço nulo na forma
reduzida escalonada da matriz A. Eu posso dizer que isso a gente
pode chamar, pode ser representado, pelo espaço nulo da forma reduzida
escalonada da matriz A. Mas nós podemos dizer
que esse problema aqui é o mesmo que
esse problema aqui, então a gente pode escrever
que o espaço nulo da matriz A é igual ao espaço nulo da forma
reduzida escalonada da matriz A. Isso pode parecer um pouco confuso,
mas você vai achar muito útil quando estiver tentando
calcular espaços nulos. Nem sequer temos que escrever
a matriz aumentada. Essa matriz aqui, podemos tomar a matriz A,
colocá-la na forma reduzida escalonada e então descobrir
o seu espaço nulo. Nós poderíamos ter ido
direto a esse ponto aqui. Eu imediatamente teria resolvido essa equação
ao invés de fazer esse produto ponto a ponto se nós tivéssemos ido
diretamente a esse ponto aqui, nós teríamos feito a equação linear
e teríamos obtido o mesmo resultado aqui, o nosso resultado final,
da mesma forma. Espero que esse nosso estudo
seja bastante útil para você e até o
próximo vídeo!