Espaço nulo 3: relação à independência linear

RKA4JL - Tenho aqui a matriz A e essa matriz tem em m linhas e n colunas. Vou indicar aqui m por n. O que eu quero fazer neste vídeo é relacionar a independência linear, ou a dependência linear, destes vetores que compõem a matriz A no espaço nulo de A. Primeiro vamos localizar os vetores coluna desta matriz. Esta primeira coluna nós podemos reescrever como um vetor v₁ de dimensão m. Na segunda coluna vamos ter o vetor v₂ e assim sucessivamente até o último vetor, que vai ser o vetor vₙ. Podemos, então, reescrever a matriz A como matriz dos vetores v₁ no lugar desta primeira coluna, v₂ no lugar da segunda coluna e assim por diante até vₙ. São n colunas, portanto n vetores, e cada um com dimensão m. O que queremos agora é relacionar a independência linear destes vetores com o espaço nulo da matriz A. Vamos, então, relembrar o que é o espaço nulo de uma matriz. O espaço nulo que eu estou indicando aqui por n da matriz A é um conjunto de todos os vetores x, membros de rn, tais que se eu tomo a matriz A e multiplico por um desses vetores x, eu obtenho o vetor nulo. Vamos nos lembrar nesse momento por que o x tem que ser elemento de rn. Isso está relacionado à questão da multiplicação de matrizes: para que eu possa multiplicar uma matriz por outra, a quantidade de colunas da primeira tem que ser igual à quantidade de linhas da segunda. Por isso, se a matriz A tem n colunas, o vetor x que vai multiplicá-la neste contexto tem que ter n linhas. Portanto, um vetor com n componentes. Portanto o vetor x é uma matriz n por 1 e o fato de ter n componentes significa que x deve ser um elemento de rn. Então, por exemplo, se a nossa matriz A fosse m por 7, então x deveria pertencer a r7. Essa é, então, a definição do espaço nulo da matriz A. O que eu quero analisar aqui é justamente o fato de multiplicar a matriz A por algum vetor x e obter como resultado o vetor nulo. Tenho aqui a minha matriz A expressa em termos dos vetores v₁ até vₙ, que representam as colunas dela, e vou multiplicar por um certo vetor x, que vou desenhar aqui, cujas componentes são x₁, x₂ até xₙ. Sabendo que x é um vetor pertencente ao espaço nulo da matriz A, esta multiplicação tem que dar como resultado o vetor nulo. Esse vetor nulo vai ser um vetor m por 1 e suas componentes vão ser todas nulas. Zero, zero, zero, zero, "m zeros". m componentes. Vamos, então, efetuar a multiplicação da matriz A pelo vetor x para ver como isto se comporta algebricamente. Vamos usar os nossos conhecimentos de multiplicação de matrizes. Para multiplicar a matriz A pelo vetor x, vamos multiplicar o primeiro vetor, v₁, pela primeira componente do vetor x, x₁, mais o vetor v₂ vezes a componente x₂ mais... Continuando até o vetor vₙ multiplicado pela componente xₙ. Como estamos falando do espaço nulo, ao adicionar tudo isso temos de obter o vetor nulo, o vetor zero. Quando nós estudamos a questão da dependência e da independência linear, nós verificamos justamente uma ideia como esta que está aqui em que só seria possível obter solução para esta igualdade caso os vetores v₁, v₂ até vₙ fossem linearmente independentes se, e somente se, todas as componentes x₁, x₂ até xₙ fossem nulas, fossem zero. Então aqui os vetores v₁, v₂, vₙ são linearmente independentes se, e somente se, a única solução para aquela igualdade que temos acima, x₁, x₂, x₃ até xₙ, todos eles, valerem zero. Ou seja, a única forma de obter esta soma como resultado vetor nulo é se os valores de x₁, x₂ até xₙ forem todos zero, significando que os vetores v₁, v₂ até vₙ são linearmente independentes, ou vice versa. Se os vetores v₁, v₂ até vₙ são linearmente independentes, isso fará com que x₁, x₂ até xₙ tenham de ser zero para que exista solução para esta igualdade. Lembre-se de que o fato de serem linearmente independentes significa que nenhum destes vetores pode ser escrito como uma combinação linear dos outros, ou como você pode observar, esta soma pode ser entendida como uma combinação linear de todos estes vetores. E essa combinação linear entre todos os vetores só resulta em zero e quando v₁, v₂, vₙ são linearmente independentes se x₁, x₂ até xₙ forem valores zero. Isso foi demonstrado em vídeos sobre independência linear. Isso, portanto, acontece se, e somente se, o espaço nulo da matriz A contiver apenas um elemento, que é o vetor nulo. Ou seja, o único vetor que compõe o espaço nulo da matriz A é aquele em que todas as suas componentes são zero, e isso é o próprio vetor nulo. Então uma conclusão importante que precisa ficar aqui é que se todas essas colunas da matriz A são linearmente independentes, então o espaço nulo dessa matriz vai ser composto exclusivamente pelo vetor nulo. Ou também você pode ir no sentido oposto: se o espaço nulo de uma matriz A é composto apenas pelo vetor nulo, então os vetores coluna dessa matriz são linearmente independentes. Até o próximo vídeo!