Mostrando a relação entre colunas base e colunas pivô

RKA1JV - No último vídeo, vimos um método para descobrir a base de espaço coluna de uma matriz "A". Nós usamos esse exemplo aqui. O que a gente fez foi pegar a nossa matriz "A" e colocar na forma escalonada reduzida por linha. E a gente conseguiu descobrir quem são as colunas fixas, as colunas principais da forma escalonada reduzida por linha. Em seguida, o método diz que basta a gente fazer a correspondência dessas colunas para as colunas da nossa matriz principal. No caso aqui, ficou sendo essa primeira, a segunda e a quarta. Essas colunas, esses vetores colunas aqui, formam a minha base para o espaço coluna da matriz "A". Se esses três vetores, então, formam a base para o espaço coluna e eu quiser saber a dimensão dessa base, ou também chamado de posto da matriz "A", eu posso apenas contar quantos vetores eu tenho lá dentro. No caso do nosso exemplo, tem 1, 2, 3, então a dimensão ou posto de "A" é 3. Neste vídeo, eu quero discutir um pouco sobre o porquê isso funciona. Por que fomos capazes simplesmente de pegar as colunas correspondentes ali? Por que a independência linear desses três caras corresponde à independência linear desses três vetores aqui? Por que isso significa que eu posso construir esses dois vetores aqui com uma combinação linear desses três vetores aqui? É a mesma coisa para cá, por que eu posso escrever esse vetor aqui como sendo uma combinação linear desses meus três vetores da base? Então, a primeira coisa que eu quero falar é que eu acho que não foi muito trabalhado no raciocínio no nosso último vídeo. É que todas as colunas principais aqui, no caso, as nossas colunas r₁, r₂ e r₄, eu estou fazendo para um caso específico. Mas isso aqui deve ser generalizado para qualquer caso. Todas essas colunas principais aqui da forma escalonada reduzida de uma matriz vão vetores colunas linearmente independentes. E isso porque a própria natureza da forma escalonada reduzida por linha de uma matriz diz que cada coluna deve ser a única a ter o número 1 da sua respectiva linha. Portanto, para você construir qualquer vetor aqui, você vai precisar usar somente esse 1. Eu não vou poder usar os outros porque nas outras linhas, eu vou conter o zero. Quando eu digo que é um conjunto linearmente independente, estou falando de um conjunto de colunas principais. Vamos escrever isso de uma forma geral. Vamos escrever que o conjunto de colunas centrais para qualquer forma escalonada de uma matriz é um conjunto linearmente independente. Um conjunto de colunas centrais para qualquer forma escalonada reduzida de uma matriz vai ser um conjunto que a gente vai dizer que é linearmente independente. Isso aqui é um argumento bastante satisfatório porque a gente sabe que, em cada coluna, há um único lugar para o número 1. Em todos os outros lados, a gente vai ter zero, então, não tem como fazer nenhuma combinação para que dê esse resultado número 1. Se eu multiplicar zero, somar zero, diminuir zero, tanto faz qual a operação eu fizer com esse zero, eu nunca vou conseguir chegar nesse número 1. Eu acho que tem como você aceitar isso. Até porque isso significa que se nós tivermos c₁ vezes r₁, mais c₂ vezes r₂, eu vou chamar de c₄ vezes r₄, tem essas três constantes multiplicando esses meus vetores coluna. Se isso aqui for igual a zero, a solução para isso aqui, sabendo que esses vetores são linearmente independente, a solução para isso é c₁, c₂ e c₄ serem iguais a zero. É a única solução para isso aqui. Uma outra maneira que a gente pode fazer isso é fazer a nossa matriz é "R" vezes um vetor "x". A gente pode pegar um vetor "x" em particular e dizer que ele vai ser ser c₁, c₂, zero, c₄ e zero. Isso é um vetor que a gente pegou em particular e isso aqui vai ter que ser igual a zero Então, isso aqui vai ser um membro em particular do nosso espaço nulo. Isso aqui vai ser um membro em particular, uma solução particular para a nossa equação que vai ter que ser igual a 1, 2, 3, 4 zeros. Porque aqui nessa nossa matriz, a gente tem 1, 2, 3, 4 linhas. Agora, uma ótima maneira de explicar isso é que essa multiplicação aqui pode escrita como c₁ vezes r₁. Vou escrever c₁ vezes r₁, mais c₂ vezes r₂, mais zero vezes r₃, a gente não precisa escrever, a gente pode ignorar, e mais c₄ vezes r₄. E zero vezes r₅, também, a gente pode ignorar. Isso aqui vai ter que ser igual a zero, assim, a única solução para essa equação aqui, já que nós sabemos que essas três colunas são linearmente independentes, ou, o conjunto dessas colunas é linearmente independente é esses três caras aqui também serem zero. E foi exatamente o que eu tinha dito aqui. Aqui em cima, eu disse a mesma coisa. Se nós tivermos esses dois caras aqui sendo zero, para essa equação ter solução, esses três caras aqui também vão ter que ser zero. Isso, claro, se nós restringirmos esses dois valores aqui. Agora uma coisa que nós já fizemos várias vezes, é que nós sabemos que o conjunto solução para a equação "R" vezes o vetor "x" igual a zero, é o mesmo conjunto solução para a equação da matriz "A" vezes vetor "x" igual a zero. Como nós sabemos disso, como eu explico isso? A solução dessa equação aqui, conjunto solução dessa equação aqui é o espaço nulo da matriz "A". O conjunto solução é o espaço, da matriz "A" não, da matriz "R". Esse vai ser o conjunto de todos os valores de "x" que satisfazem essa equação. Só que para sabermos que isso aqui, que o espaço na matriz "R" é igual ao espaço nulo da matriz "A". Porque "R" é a forma escalonada reduzida da matriz "A". Isso aqui satisfaz todos os valores para essa equação aqui. Agora, a única versão que satisfez essa equação, foi quando c₁, c₂ e c₄ foram iguais a zero. O que nos diz que a única versão que vai satisfazer essa equação aqui, onde eu vou ter c₁, c₂, zero, c₄ e zero igual a zero. A única versão que vai satisfazer essa equação aqui é se eu tiver c₁, c₂ e c₄ também igual a zero. Outra maneira de a gente pensar isso é se a gente olhar para esses vetores a₁, a₂ e a₄, e a gente multiplicar por c₁, c₂ e c₄, nós vamos ter a₁ vezes c₁, c₁ vezes a₁ mais c₂ vezes a₂, aqui nós vamos ter zero vezes c₃, a gente pode ignorar. E vamos ter c₄ vezes a₄, c₅ vezes zero, a gente ignora, isso aqui, igual a zero. Esses caras aqui vão ser linearmente independentes se a solução para essa equação aqui for todos esses caras aqui serem iguais a zero. Eu sei que a única solução para essa equação é todos esses termos serem iguais a zero, porque toda solução para cá é a mesma solução para cá. E a única solução daqui, a partir do momento que eu restringi esses dois caras aqui sendo zero, é todos esses três temos aqui serem iguais a zero. Da mesma forma, se eu vou restringir para cá ser zero e aqui também ser zero, a única solução para isso vai ser c₁, c₂ e c₄ também serem, todos eles, iguais a zero. Esses três caras aqui são zero. O que implica para a gente que esse conjunto aquide a₁, a₂ e a₄, o nosso conjunto a₁ de vetores colunas, a₁, a₂ e a₄, é um conjunto de vetores linearmente independentes. E agora nós já estamos quase lá. Olha só, nós já mostramos que por que as colunas principais, as colunas centrais são linearmente independente, nós podemos mostrar que eles possuem o mesmo conjunto solução aqui. O espaço nulo da forma escalonada reduzida é o mesmo espaço nulo da nossa matriz original aqui. Nós somos capazes de mostrar que a única solução para c₁ vezes isso aqui, para c₂ vezes esse vetor aqui, para c₄ vezes vetor aqui. A única solução para cá, para essa equação ser igual a zero, é esses três vetores aqui serem zero. Agora, a próxima coisa que a gente tem que provar, que eles são uma base, ou seja, que todos os outros vetores, esses outros vetores aqui, podem ser escritos como uma combinação desses três caras aqui. Mas só por uma questão de não ficar um vídeo cansativo, vou fazer isso no nosso próximo vídeo. Neste vídeo de hoje, nós vimos que quando a gente tem essas três colunas principais, as colunas centrais aqui e elas vão ser linearmente independentes, elas sempre vão ser linearmente independentes. Então, as suas colunas correspondentes da matriz original, também vão ser linearmente independentes. No nosso próximo vídeo, então, vou mostrar para vocês que esses três caras aqui, esses três vetores colunas, formam uma base. Por isso, geram o nosso espaço coluna. Até lá!