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Álgebra linear
Curso: Álgebra linear > Unidade 1
Lição 7: Espaço nulo e espaço coluna- Produtos vetoriais de matriz
- Introdução ao espaço nulo de uma matriz
- Espaço nulo 2: cálculo do espaço nulo de uma matriz
- Espaço nulo 3: relação à independência linear
- Espaço coluna de uma matriz
- Espaço nulo e base de espaço coluna
- Visualização de um espaço coluna como um plano em R3
- Demonstração: qualquer base de subespaço tem o mesmo número de elementos
- Dimensão do espaço nulo ou nulidade
- Dimensão da posição ou do espaço coluna
- Mostrando a relação entre colunas base e colunas pivô
- Mostrando que a base candidata produz o conjunto C(A)
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Mostrando que a base candidata produz o conjunto C(A)
Mostrando que apenas as colunas de A associadas às colunas pivô de rref(A) produzem conjunto C(A). Versão original criada por Sal Khan.
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- excelente conteúdo, fico muito grato, mas gostaria que houvesse alguns exercícios... alguns não, muitos haha. Obrigado pela ajuda.(1 voto)
- eu nao entendi pq é A.x se fica a1.x1+ a2.x2 ...(1 voto)
- Porque A.[x vetor] é o produto escalar entre A e x vetor. Recomendo que veja os vídeos passado de Álgebra Linear sobre o produto escalar.(1 voto)
Transcrição de vídeo
RKA22JL - Há dois vídeos,
a gente perguntou se poderia achar a base para o espaço
coluna de uma matriz A. Daí, eu mostrei um método
para fazer isso, que consistia em pegar a matriz e colocar na
forma escalonada reduzida por linha. Então, essa matriz R que temos aqui nada mais é do que
a forma escalonada reduzida por linha da minha matriz A, onde essa aqui é uma coluna principal,
porque tem 1 e todos os outros termos são zero. Essa aqui também é
uma coluna principal, onde eu tenho 1 que não está
na mesma linha do que a coluna anterior e todas as outras entradas zero
e essas aqui também. Vamos grifar as nossas
colunas principais. Essas duas são colunas principais
e essa aqui também é uma coluna principal da forma escalonada
reduzida da matriz A. E, agora, basta olhar para as colunas correspondentes
a essas aqui na nossa matriz original A. N nossa matriz original A os correspondentes
serão essas duas primeiras colunas aqui e mais a quarta
coluna aqui. Nós podemos chamar
essas colunas aqui de a₁, a₂ e a₄, a primeira, a segunda e a quarta coluna.
Essa aqui seria a₃ e, essa, a₅. E essas colunas aqui,
a gente pode dizer que a₁, a₂ e a₄, essas colunas formam uma base
para o espaço coluna de nossa matriz A. E eu não mostrei o porquê
disso dois vídeos atrás. Eu apenas disse que você tinha
que tomar isso como verdade. Agora, para que isso aqui seja verdade,
duas coisas devem acontecer. Esses vetores coluna devem ser
vetores linearmente independentes e eu mostrei, no último vídeo,
que, pelo fato desses caras aqui, r₁, r₂ e r₄, serem
linearmente independentes... Eles são linearmente independentes
porque são colunas principais. Em cada coluna, há apenas um
único espaço para o número 1 e não há como a gente fazer
nenhuma combinação linear, porque eles são 1
e todas as outras entradas são zero. Então, eu não tenho como fazer
nenhuma combinação linear alguma para que dê
um outro resultado. Portanto, esses três vetores aqui,
esses três vetores coluna, definitivamente são vetores
linearmente independentes. Eu mostrei no último vídeo que, se nós sabemos que
se esses vetores aqui são linearmente independentes, e nós sabemos que eles são,
dado o espaço R, ele vai ter o mesmo espaço nulo
que a matriz A. Nós sabemos esses caras
são linearmente independentes. Eu mostrei isso no
nosso último vídeo. Agora que nós demonstramos
que isso aqui é verdade, a próxima exigência para que isso aconteça
é mostrarmos que o espaço gerado... (vamos colocar aqui) ... é mostramos que o espaço
gerado por a₁, a₂ e a₄, o espaço gerado por esses vetores
a₁, a₂ e a₄, é exatamente a mesma coisa
que o espaço coluna da nossa matriz A. O espaço coluna da matriz A é o espaço
formado por todos esses 5 vetores aqui. Então, entram no espaço
também o a₃ e o a₅. Então, para mostrar que esses
três vetores aqui, somente esses três, geram todo o
nosso espaço coluna, nós apenas temos que mostrar
que o a₃ e o a₅ podem ser representados por uma combinação
linear de a₁, a₂ e a₄. Então, se eu
conseguir fazer isso, eu vou poder dizer que esses
dois caras aqui são redundantes. Então, nós podemos dizer
que o espaço gerado por a₁, a₂, a₃, a₄ e a₅ não precisa
dos termos a₃ e a₅. Nós não vamos precisar desses dois termos,
porque eles podem ser representados por uma combinação linear
desses outros três aqui. Eles são
termos redundantes. Então, se a gente se livrar desses
dois caras aqui, a gente pode mostrar que o espaço gerado
por esses três caras, que, obviamente, vai ser
o mesmo espaço gerado por esses cinco, por definição, então, vai ser igual
ao espaço coluna de nossa matriz A. Então, vamos ver como
a gente pode fazer isso. Os nossos vetores coluna da matriz A
são a₁, a₂, a₃, a₄ e a₅, e os nossos vetores coluna da
matriz escalonada são r₁, r₂, r₃, r₄ e r₅. Agora, nós vamos explorar novamente
os nossos espaços nulos. Ou nem mesmo os espaços nulos. Vamos explorar apenas a equação
da matriz A vezes o vetor “x”. Podemos representar o vetor “x” já como sendo
os vetores com os elementos x₁, x₂, x₃, x₄ e x₅. Esses vetores aqui
devem ser iguais a zero. Isso é como nós definimos
o conjunto solução disso ou todos os vetores potenciais
aqui, que representam um espaço nulo. Dessa forma, também, podemos dizer
que o vetor “r” vezes x₁, x₂, x₃, x₄ e x₅, que agora, da forma escalonada reduzida,
também tem que ser igual a zero. Agora, vamos
reescrever isso. Como a gente pode reescrever
essa multiplicação aqui? A matriz A é representada
por esses vetores, dessa forma, então, teremos x₁ vezes o vetor a₁,
mais x₂ vezes o vetor a₂, mais x₃
vezes o vetor a₃, mais x₄ vezes o vetor a₄
e mais x₅ vezes o vetor a₅. Tudo igual a zero. Da mesma maneira, vamos fazer isso
para a matriz R. Se a gente multiplicou as colunas
da matriz A pelo vetor “x” e chegou nisso aqui, vamos multiplicar
agora as colunas r₁, r₂, r₃, r₄ e r₅ pelo vetor “x”. E aí, nós vamos ter x₁ vezes o vetor r₁,
mais x₂ vezes o vetor r₂, mais x₃ vezes o vetor r₃,
mais x₄ vezes o vetor r₄ e, finalmente,
x₅ vezes o vetor r₅. Isso aqui tem
que ser igual a zero. Agora, o que nós sabemos é que quando colocamos
isso aqui na forma escalonada reduzida por linha, as variáveis associadas
às colunas principais, às colunas fixas, são chamadas
de variáveis principais, variáveis fixas. Então, posso dizer que as colunas fixas
são r₁, r₂, e r₄, logo, as variáveis x₁, x₂, e x₄, são o que a gente diz como nossas
variáveis fixas ou variáveis principais. Essas aqui são as
nossas variáveis fixas. Da mesma forma, as variáveis associadas
às colunas não principais, às colunas não centrais. No caso, r₃ e r₅, elas são chamadas
de variáveis livres, então, x₃ e x₅ são o que
a gente chama de variáveis livres. Essas variáveis são
as nossas variáveis livres. E isso também se
aplica para a matriz A. Todos os vetores que satisfazem
essa equação aqui, todos os vetores “x”
que satisfazem essa equação, também satisfazem
essa equação aqui e vice-versa, porque eles são o mesmo espaço nulo,
exatamente o mesmo conjunto solução. Então, nós também podemos
chamar x₃ e x₅, podemos chamar essas variáveis
de variáveis livres. E o que isso significa? Nós já fizemos
vários exemplos disso. Essas nossas variáveis livres,
a gente pode configurá-las como quiser, então a gente pode, por exemplo,
dizer que x₃ e x₅ são quaisquer constantes, quaisquer constantes que pertencem
ao conjunto dos números reais. Nós podemos defini-la, podemos
definir como qualquer coisa. Podemos definir essas variáveis como qualquer
coisa que pertença ao conjunto dos números reais. Em seguida, a partir da forma escalonada
reduzida por linha, vamos expressar as variáveis fixas
em função desses caras aqui. Podemos, por exemplo, dizer que x₁ é
igual a uma constante “a” qualquer, vezes x₃, mais uma constante “b”
qualquer, vezes x₅. O x₂ também podemos dizer
que é uma constante qualquer x₃, mais uma constante
qualquer “d” vezes x₅. E que x₄ é igual a uma constante “e”
qualquer, vezes x₃, mais uma constante
“f” qualquer, vezes x₅. Isso aqui vem diretamente da multiplicação desse
cara aqui vezes esse cara aqui igual a zero. Você vai obter um sistema de equações
em que poderá resolver suas variáveis fixas em função das
suas variáveis livres. Agora, dado isso, eu quero mostrar
que você sempre pode construir da sua matriz original...
(vamos para a nossa matriz original aqui), você sempre pode construir
na sua matriz original os vetores que estão associados às suas
colunas livres como uma combinação linear dos seus vetores que estão associados
às suas colunas fixas, às suas colunas principais. E como eu posso fazer isso? Bem, vamos dizer que eu queira encontrar
alguma combinação linear que me leve a esta coluna livre aqui,
que me leve a esta coluna aqui, ao a₃. Como eu vou poder
fazer isso, então? Deixe eu reorganizar
a minha equação aqui. Vamos ver o que eu consigo
se eu subtrair x₃ vezes a₃ de ambos os lados
dessa equação aqui. Então, se eu fizer isso,
eu vou ter -x₃a₃, vai ser igual a x₁a₁, vetor a₁,
aqui temos o vetor a₃, mais x₂ vezes
o vetor a₂, o x₃a₃, a gente não vai ter, porque a gente subtraiu,
mais x₄ vezes o vetor a₄ e mais x₅ vezes o vetor a₅. Tudo o que eu fiz com
essa equação foi subtrair a₃x₃ de ambos os lados da minha equação
e reescrever a equação. Agora, x₃ é
uma variável livre. Nós podemos defini-la da forma que
a gente quiser, e isso também serve para x₅. Então, eu vou dizer
que x₃ é igual a -1, porque é uma variável livre,
quero fazer o que eu quiser. Se eu definir x₃ como sendo -1,
aqui vai ficar 1 positivo, então, vai ficar vezes a₃ e da mesma forma,
eu quero definir x₅ como sendo igual a zero. E eu só fiz isso porque x₅
é uma variável livre e eu também posso defini-la
da forma que eu quiser. E quando eu faço isso, então,
esse termo aqui some. Agora, eu escrevi a₃ como sendo
uma combinação linear do que, agora, posso chamar dos meus prováveis
vetores de base a₁, a₂ e a₄. Eles são os nossos vetores da matriz original que
foram associados com suas colunas centrais. Agora, a fim de mostrar que eu
sempre posso fazer isso aqui, nós temos que mostrar que,
para essa combinação aqui, sempre vai existir o x₁, x₂ e x₄,
que vai satisfazer isso. E claro que sempre vai existir
x₁, x₂ e x₄ que satisfaz isso. Nós só temos que substituir
nossas variáveis livres aqui e encontrar quem são esses x₁, x₂ e x₄,
basta substituir nesse sistema que a gente conseguiu a partir da forma
escalonada reduzida feita na nossa matriz. Então, por exemplo, nesse caso,
o x₁, eu posso dizer que é "a" menos "a", mais "b" vezes zero, então
vai ser só menos "a", que x₂ vai ser igual a menos “c” vezes +"d"
vezes zero, e assim por diante. Então você sempre vai
poder fazer isso aqui. Você sempre vai poder escrever os termos
que estão associados às suas colunas que não são centrais como uma
combinação linear dos termos que estão associados às suas colunas principais
e às suas colunas centrais. Então, o que fiz para o termo aqui, para o a₃,
eu poderia facilmente ter feito para o a₅, bastava eu subtrair x₅a₅
de ambos os lados da equação, e aí, eu substituiria
x₃ por zero e x₅ por -1. E aí, eu ia obter exatamente
o mesmo argumento. Só que, aqui, teria a₅. Eu espero ter ajudado você
ou ter feito você se sentir a vontade com a ideia de que
esses vetores aqui, esses vetores que eu vou desenhar
aqui na cor pink, que estão associados com as colunas que não são principais,
com as colunas que não são livres, chamaremos essas colunas
de colunas livres, ou as variáveis livres, no caso, x₃ e x₅ aqui,
aqui também x₃ e x₅, elas podem ser expressas
como uma combinação linear dessas colunas principais
ou dessas variáveis principais, dessas variáveis fixas aqui.
Por que o que você vai ter que fazer? Você só tem que manipular a equação
de forma que o vetor livre que você vai tentando achar,
você vai colocar como sendo -1, e todos os outros vetores livres,
você vai colocar como sendo zero. Dessa forma, você vai conseguir
ter uma combinação linear com os vetores que são fixos
e esses vetores fixos darão essas variáveis, esses vetores aqui que não são fixos,
os vetores livres. Então, dado isso, nós mostramos
que, olhe, esses vetores livres aqui, esses vetores livres aqui, eu estou usando
essa terminologia livremente, esses vetores livres, eles estão associados
com essas colunas que não são principais e nós podemos expressá-los
como uma combinação linear desses caras. Logo, esses vetores aqui
são desnecessários. O espaço gerado por eles é equivalente
ao espaço coluna da matriz A, e o espaço gerado por eles aqui também é
igual ao espaço coluna da matriz A. Logo, esses três vetores aqui,
esse espaço gerado, é o mesmo. Então, no último vídeo, eu mostrei que
esses caras aqui são linearmente independentes e, agora, eu mostrei que o espaço gerado
por eles é o espaço coluna da matriz A. Então, agora, você já deve estar satisfeito
com o fato de que esses vetores aqui, eu vou desenhar esses vetores
aqui na cor azul. Esses vetores que estão associados
com as respectivas colunas aqui da forma escalonada reduzida da matriz A
representam, de fato, uma base para o
espaço coluna da matriz A. De qualquer forma, eu espero que você
não tenha achado isso tão complicado. A gente se vê
no próximo vídeo!