Visualização de um espaço coluna como um plano em R3

RKA14C No último vídeo, comecei por esta matriz aqui. Nós vimos que o espaço gerado por essa matriz é o espaço gerado pelos vetores coluna dessa matriz. Eu já escrevi isso bem aqui, mas não tinha ficado claro para gente se isto aqui era linearmente independente ou se não era linearmente independente. Caso não fosse, isto aqui era uma base suficiente. Então, o que nós fizemos? Nós descobrimos o espaço nulo da matriz A, e vimos que o espaço nulo de A contém mais do que somente o vetor zero. É o espaço gerado por estes dois vetores aqui. O que significa que estas colunas não são linearmente independentes. Nós vimos isso em alguns vídeos atrás. Usando a informação de que esses vetores não são linearmente independentes, a gente tentou se livrar dos vetores redundantes. Nós conseguimos nos livrar deste cara aqui e deste cara aqui, justamente porque essas colunas estão associadas com as variáveis livres. Fomos capazes de fazer isso usando uma técnica aqui embaixo. Nós usamos uma técnica aqui onde colocamos esse vetor valendo zero, e este aqui equivalendo -1, que são as variáveis livres. A gente descobriu o valor das variáveis dinâmicas. Depois a gente trocou. A gente colocou outro valor sendo zero e outro sendo -1. Achamos também as variáveis dinâmicas. E você pode imaginar que nós podemos generalizar esse processo. Se você tem um monte de variáveis livres, você pode sempre configurar todas elas, como nós fizemos aqui. Escolhemos um para ser o zero e o outro para ser o -1. Assim, conseguimos expressar como sendo uma soma das variáveis dinâmicas, onde as variáveis dinâmicas vão estar em função das variáveis livres. No geral, essa seria uma maneira rápida de fazer isso. Nós tivermos que fazer de forma mais lenta por aqui. Bem, se eu tiver uma matriz A e quiser descobrir a base para o espaço coluna dela... Sabemos que o espaço coluna é a extensão. O espaço coluna é o espaço gerado por isto aqui. Mas, se eu quiser descobrir uma base linearmente independente, preciso descobrir um conjunto disto aqui que seja linearmente independente. O que eu posso fazer é colocar essa matriz na forma escalonada reduzida. Quando eu colocá-la na forma escalonada reduzida, que é o que eu fiz aqui, isto aqui é a forma escalonada reduzida por linha da matriz A, eu posso olhar para as variáveis que estão associadas com as entradas articuladas. Esta coluna aqui está associada a x₁, esta aqui está associada a x₂, esta aqui associada a x₃, esta aqui associada a x₄. Quando você olha para a matriz regular, para a matriz inicial A, é a mesma coisa. Se eu fosse escrever que a matriz A vezes o vetor x é igual a zero, esta primeira coluna estaria associada x₁, esta aqui estaria associada a x₂, esta estaria associada a x₃, e esta aqui a x₄, da mesma forma. O que você pode fazer é colocá-la na forma escalonada reduzida porque aí consegue dizer quais colunas estão associadas às entradas principais ou às variáveis dinâmicas. Você pode dizer que x₁ e x₂ estão associadas às variáveis dinâmicas. Ou melhor, elas são as variáveis dinâmicas. Então, estas duas aqui, essas duas primeiras colunas, elas são uma base para o espaço coluna. Estas duas aqui vão ser uma base para o espaço coluna. Como eu consegui isso? Eu estou fazendo as coisas darem certo ao acaso? Bem... não! Tudo isso vem do fato de você poder construir uma situação onde os vetores associados com as variáveis livres, podem ser escritos como combinações lineares dos vetores associados com as variáveis de articulação. Foi isso o que nós fizemos da última vez. Mas, uma maneira muito rápida e um pouco suja de fazer isso é você pegar sua matriz, colocá-la na forma escalonada reduzida por linha, você olhá-la e dizer: "Bom, esta coluna e esta coluna estão associadas às minhas variáveis livres, então, estas duas colunas aqui também estarão associadas às minhas variáveis livres". O conjunto de solução é o mesmo. Para você pegar a matriz A vezes o vetor x = 0, e para você pegar a forma escalonada reduzida da matriz A vezes vetor x = 0, é o mesmo. Se essas duas colunas estão associadas às variáveis livres, então, estas duas aqui também estarão. O que significa que eles podem ser expressos selecionando criteriosamente os valores de suas variáveis livres como combinações das colunas associadas com as variáveis articuladas, com as variáveis principais, que, no caso, vão ser estas duas aqui. Então, esta coluna aqui e esta coluna aqui formam uma base para A. Nós vimos isso! Nós vimos no vídeo anterior todo esse caminho até aqui. Nós percorremos todo esse caminho. Vimos que (1, 2, 3) e (1, 1, 4) é uma base para o espaço gerado da matriz A. Agora depois de ter tido todo esse trabalho, vamos ver se a gente consegue visualizar com o que se parece esse espaço coluna de A. Esse espaço coluna de A vai se parecer com o quê? Bem, temos dois caminhos para pensar em como podemos visualizar esse espaço. Uma maneira de pensar sobre isso é observar que o espaço gerado por estes dois vetores aqui vai estar no ℝ³. Porque este vetor aqui é um vetor que pertence ao ℝ³, e este vetor aqui também é um vetor que pertence ao ℝ³. Vamos desenhar este vetor aqui. Normalmente este aqui é o eixo x. Aqui, a gente vai desenhar o eixo y. E este aqui é o eixo z. Então, estamos aqui com o nosso espaço ℝ³. Agora, vou desenhar primeiro este vetor aqui: (1, 2, 3). Então, aqui é o 1. Aqui vai ser o 2. Aqui vai ser o 3. Então, eu tenho 1 e 2... Ele vai seguir aqui. Este é o nosso primeiro vetor: (1, 2, 3). Vou desenhar o outro vetor. O vetor (1, 1, 4). 1 e 1... vai vir até lá em cima. Este aqui é o vetor (1, 1, 4). Realmente, é bastante difícil a gente conseguir desenhar em três dimensões, mas acho que dá para você ter uma ideia. O espaço gerado vai ser o espaço gerado por estes dois vetores aqui. Todas as combinações lineares desses dois vetores. Assim, todas essas combinações lineares destes dois caras aqui vão criar um plano no ℝ³. Vão criar um plano no ℝ³. Se você acabou de representar esses caras com múltiplas combinações, você pode obter qualquer vetor lá em cima. Você pode somar um vetor com o outro e obter um outro lá em cima, você pode multiplicar o vetor por duas vezes o outro e obter vetor lá em cima... Então, você vai vê-los como vetores posição que essencialmente vão formar um plano, e esse plano vai estar no ℝ³. Então, basicamente, nós vamos ver isto aqui como vetores posição que essencialmente formam um plano no ℝ³. Vamos ver agora se conseguimos obter uma equação para esse plano. Bem, como nós podemos fazer isso? Nós sabemos que podemos descobrir a equação de um plano nos baseando no fato de que um vetor normal... Vou escrever aqui: um vetor normal. ...vezes qualquer outro vetor do plano... Então, vou desenhar aqui um vetor no plano. Este vetor aqui é o meu vetor x. Então, vezes esse vetor x do plano menos qualquer outro vetor, qualquer outro ponto no plano, ou qualquer outro vetor posição no plano... Eu vou usar este meu vetor aqui, o vetor (1, 2, 3). Então, menos o vetor (1, 2, 3), tem que ser igual a zero. Agora a gente vai usar essas informações para descobrir a equação para este plano aqui. Mas o que é um vetor normal? Como nós podemos encontrar um vetor normal a este plano aqui? Deixe-me tentar desenhar um vetor normal. Se eu quisesse fazer um vetor normal, vou chamar isso de uma maneira para que não se confunda, a esse plano, seria mais ou menos, estaria saindo mais ou menos para cá. Seria algo mais ou menos como isto aqui. Este aqui seria um vetor normal. Agora, de que jeito eu posso encontrar um vetor normal? Bem, nós já aprendemos que, se você toma um produto cruzado de quaisquer dois vetores no ℝ³, e o produto só estará definido se estiver em ℝ³, você terá um vetor que é normal a ambos estes dois vetores aqui. Então, vamos tomar o nosso produto cruzado. Essa é uma boa maneira de pensar sobre isso, porque integra tudo que a gente já estudou até aqui. Então, vou pegar aqui o vetor normal que vai ser igual ao produto cruzado do vetor (1, 2, 3) vezes o vetor (1, 1, 4). Vamos fazer aqui esse produto cruzado. Isso vai ser igual ao quê? Vamos lá! Esta primeira linha aqui, ignoramos, o nosso primeiro mandato. Vai ficar: 2 vezes 4 = 8, menos, 3 vezes 1 = 3. Na minha segunda linha, até penso em fazer 1 vezes 4, mas tem que lembrar que eu tenho que reverter. Então, o primeiro vai ser 3 vezes 1 = 3, menos, 1 vezes 4 = 4. 3 - 4. Já fizemos isso algumas vezes, mas você pode querer rever o vídeo de produto cruzado, caso isso pareça estranho para você. A gente, nessa segunda entrada, ignorou a linha do meio. Normalmente, a gente faz 1 vezes 4 menos 3 vezes 1, mas, na linha do meio, a gente troca. Então, para a primeira, a gente ignorou essa primeira linha. Para a segunda entrada, a gente ignorou a segunda. Agora para a terceira, a gente vai ignorar a terceira, vai fazer 1 vezes 1 = 1, menos, 2 vezes 1 = 2. Isto aqui vai ser igual ao vetor (5, -1, -1). Vai ser igual a este vetor aqui, que, por definição de produto cruzado, e eu já mostrei isso algumas vezes para você, é normal a ambos estes vetores aqui, por isso, vai ser normal a qualquer combinação desses dois vetores. Portanto, agora que nós temos o nosso vetor normal, podemos definir a equação tradicional do nosso plano. Portanto, agora nós sabemos que o nosso vetor normal (5, -1, -1), que eu consegui tomando o produto cruzado dos nossos vetores que são uma base, isso vezes qualquer outro vetor do nosso plano... Então, vamos escrever qualquer outro vetor do nosso plano como eu escrevi aqui no nosso plano cartesiano, como eu desenhei os meus eixos. Então, qualquer vetor do meu plano... Vou simbolizar por (x, y, z). Menos um só vetor. Eu poderia ter escolhido qualquer um deles. Então, menos o nosso vetor (1, 2, 3). Isso tem que ser igual a zero. Então, o que é isto aqui? Vamos resumir. Bom, isso vai ser igual ao nosso vetor (5, -1, -1) vezes um outro vetor que podemos fazer com esta subtração aqui. Aqui vai ficar x - 1, o outro, y - 2, e o outro, z - 3. Isso tem que ser igual a zero. Agora, vamos lá! Esse produto vai ser igual ao quê? Vamos observar. Isso vai ser igual a 5(x - 1) - 1(y - 2) - 1(z - 3). Isso tem que ser igual a zero. Vamos resolver essas multiplicações. Aqui eu vou ter 5x - 5... -1 vezes y = -y. -1 vezes -2 = +2. -1 vezes z = -z. -1 vezes -3 = +3. Isso tem ser igual a zero. Esse -5, a gente vai cancelar, porque aqui tenho +2 + 3 = 5. Com -5, isso vai dar zero. Então, a gente vai ter 5x - y - z = 0. Essa é a nossa equação. Esse plano no ℝ³, ele é o nosso espaço coluna da matriz A. Então, mostramos que realmente temos um plano em A. Na verdade, faz sentido que esse plano intercepte a origem. Se você definir (x, y, z) como sendo iguais a zero, isso vai satisfazer essa equação. Isso faz sentido, porque dissemos que o espaço coluna de uma matriz A tem que ser um subespaço válido e, para um subespaço ser válido, ele tem que conter o vetor zero. No ℝ³, o vetor zero são as coordenadas (0, 0, 0). Agora, o que eu quero fazer é ver se conseguimos obter a mesma resposta por meio de um caminho completamente diferente. Ou pelo menos uma resposta aproximada usando um caminho completamente diferente. Deixe-me ver minha matriz original, até já me esqueci dela. Esta é a minha matriz original. Deixa eu copiá-la e colá-la. Então, deixa eu editar aqui. Vamos lá, editar, copiando e colando. Agora vamos arrastá-la para baixo. Eu escrevi, utilizei bastante espaço aqui. Então, esta aqui é a nossa matriz original. O que eu quero fazer é ver se eu consigo este resultado aqui fazendo de um jeito completamente diferente. Eu tenho esse resultado por descobrir a base do nosso espaço coluna e encontrar um vetor normal, tomando o produto cruzado dos nossos dois vetores da base. Em seguida, usei esse produto do vetor normal, com a diferença entre este vetor aqui, que está representando qualquer vetor do nosso plano, menos um dos vetores da nossa base. Isto aqui vai ser um vetor do nosso plano. Assim, qualquer vetor do nosso plano com o vetor da nossa base, vai ser igual a zero. Na verdade, eu deveria fazer uma nota aqui. Quer dizer que a única razão para eu ser capaz de afirmar que o vetor normal é um vetor cruzado entre esses dois vetores da base, é porque eu conhecia esses meus dois vetores de base. Podemos dizer que este cara aqui, este cara aqui que eu estou desenhando na cor azul... Este cara aqui, não só nós podemos especificar esse vetor no plano, mas também afirmar que ele se encontra completamente no plano. Como eu sei disso? Porque eu sabia desde o começo que o vetor zero, ele está no meu espaço, certo? E eu sabia que, se eu desenhasse esse vetor na posição padrão, que é o porto (0, 0, 0), ele vai estar no meu espaço. Este ponto final aqui, esse ponto final desse vetor, também vai estar no meu espaço gerado, no espaço estendido. Por isso, todo este vetor aqui se encontra completamente no plano. Da mesma forma, todo este vetor aqui também se encontra completamente no plano. Então, se eu tomar o produto cruzado qualquer normal destes dois caras aqui, ou qualquer combinação entre esses dois caras, ele vai ser normal a esse plano, e nós teremos este resultado aqui. Vamos agora usar nossa outra definição de espaço coluna, de espaço estendido. Nossa outra definição, que também é uma definição válida, é dizer que todas as soluções para a matriz A vezes o vetor x, são tais para que o vetor x seja um vetor, um membro, um elemento que pertença ao ℝⁿ. Uma outra forma de pensarmos nisso é que podemos ver tudo isso como sendo um vetor b tal que a matriz A vezes o vetor x vai ser igual a esse vetor b. Vai ser igual a esse vetor b. Claro, o vetor x, ele vai pertencer ao ℝⁿ. Estas aqui são afirmações equivalentes. Eu estou apenas definindo b aqui para ser A vezes x. Assim, temos essas duas afirmações como sendo afirmações equivalentes. Agora, vamos desenvolver isso. Vamos dizer que eu tenha definido b como sendo um vetor no ℝ³. Então, eu posso dizer que o vetor b... Eu faço, eu recebo o vetor b quando eu tenho a matriz A vezes o vetor x. E eu vou dizer que esse vetor b vai ser igual a (x, y, z). Eu quero descobrir quais são as soluções válidas para (x, y, z). Deixa eu pegar aqui a minha matriz A. Vou pegar a minha matriz A e vou multiplicá-la por... Na verdade, acho que existe uma maneira melhor para pensarmos nisso. O que eu quero é achar a solução para esta equação aqui: matriz A vezes vetor x = vetor b. Seria eu pegar minha matriz A e colocar na forma aumentada, sendo que a parte aumentada vai ser o vetor b. E o que eu vou fazer? Vou pegar esta matriz aqui e vou aumentar. Ficaria desta forma aqui. Eu vou aumentar. Aqui ficaria o meu vetor (x, y, z). Então, eu aumentei a minha matriz A. Aqui está a minha matriz A, aqui está o meu vetor b. Se eu colocar isso na forma reduzida, na forma escalonada reduzida, eu vou conseguir encontrar o conjunto solução da minha equação. Quero fazer isso agora. Vamos pegar essa matriz e colocá-la na forma escalonada reduzida por linha. Lembrando que estes são os (x, y, z) que definem um b válido. Vamos lá! A primeira coisa que eu vou fazer é manter a minha primeira linha. A minha primeira linha não vai mudar, vai continuar sendo a mesma. Então, vai ficar (1, 1, 1, 1). Agora, esta parte aumentada aqui vai continuar sendo x. Já na segunda linha, o que vou fazer na segunda linha vai ser a segunda linha menos a primeira linha. Não, não... Desculpe! Vamos substituir a segunda linha por duas vezes a primeira linha menos a segunda linha. Então, aqui vai ficar duas vezes a primeira, 2x, menos a segunda, que é y. A parte aumentada vai ficar 2x - y. Aqui vai ficar: 2 vezes 1 = 2, 2 - 2 = 0. 2 vezes 1 = 2, 2 - 1 = 1. 2 vezes 1 = 2, 2 - 4 = -2. 2 vezes 1 = 2. 2 - 3 = -1. Agora deixa eu substituir a minha terceira linha. A minha terceira linha, eu vou substituir como sendo a terceira linha menos 3 vezes a primeira linha. Então, eu vou fazer aqui a parte aumentada primeiro. A terceira linha aqui vai ser: z menos 3 vezes a primeira linha, menos 3x. Agora vamos ver como vai ficar a primeira parte, a parte oficial da matriz. Vai ficar 3 menos 3 vezes 1, 3 - 3 = 0. 4 menos 3 vezes 1, 4 - 3 = 1. 1 menos 3 vezes 1, 1 - 3 = -2. 2 menos 3 vezes 1, 2 - 3 = -1. Eu até poderia ir direto até chegarmos na forma escalonada reduzida por linha, mas algo interessante está acontecendo aqui. Então, vou atrás de tentar zerar esta minha terceira linha bem aqui. Vou tentar zerar isto aqui. A melhor maneira de tentar zerar esta linha aqui... Essa segunda linha vai continuar sendo a mesma, por enquanto, não vou me preocupar com a primeira linha. Então, vou reescrever esta minha segunda linha aqui. Vai ficar (0, 1, -2, -1). Esta parte aqui, a parte aumentada, vai continuar sendo 2x - y. Agora eu vou zerar essa minha terceira linha. Vamos então substituir a minha terceira linha pela segunda linha menos a terceira linha. A segunda linha menos a terceira linha, esta parte aumentada aqui, vai ficar: 2x - y - z + 3x. Mais 3x, porque eu vou fazer menos vezes menos, aqui vai ficar +3x. A parte ali da matriz, a gente vai ter: 0 - 0 = 0, 1 - 1 = 0, -2 - (-2), vai dar +2, -2 + 2 = 0, -1 - (-1), vai dar +1, -1 + 1 = 0. Isso significa então que nós só vamos ter uma solução válida para esta equação aqui se nós tivermos este cara aqui sendo igual a zero. O que vai acontecer se ele não for igual a zero? Bom, se ele não for igual a zero, o que vai acontecer é que nós vamos ter vários zeros se igualando a alguns números, o que significa que não terá solução. Então, se eu tomar um b onde esse cara não for igual a zero, não vai haver solução. Se eu tomar todos os valores de (x, y, z), de modo que esta expressão aqui seja igual a 5, a expressão A vezes x = b não vai ter solução. Porque o que nós vamos ter é vários zeros se igualando a 5, o que nos diz que não vai ter solução. Então, isto aqui tem que ser igual a zero. Nós temos que isto aqui, 2x - y - z + 3x, tem que ser igual a zero para que a gente tenha um valor de b válido. Ou seja, para que o nosso vetor b, ele pertença ao espaço coluna da nossa matriz A. E isto aqui vai ser igual ao quê? Bom, se nós somarmos o 2x com 3x, vamos obter 5x - y - z, e isso tem que ser igual a zero. Isto aqui é exatamente a mesma equação que nós obtivemos quando descobrimos os vetores de base. Exatamente essa mesma equação! Você pode dizer: mas como você iria saber disso? Bem, porque por definição os vetores da base têm que estar no espaço coluna gerado por eles mesmos. Então, fui encontrar um vetor normal a ambos os vetores usando o produto cruzado. Então, eu fiz isso. Eu disse que às vezes o produto cruzado vezes qualquer vetor válido no nosso espaço menos um dos vetores da base tem que ser igual a zero. E eu cheguei nesta equação aqui. Ou nós poderíamos ter feito isso de uma outra maneira. Nós poderíamos literalmente ter resolvido esta equação aqui... Eu coloquei o nosso b, e fiz a seguinte pergunta: para quais valores de b vamos ter uma solução válida dessa equação? A nossa solução válida vai ser obtida apenas se este cara aqui for igual a zero, já que o resto da sua linha se tornou zero. Quando nós fomos definir isto aqui igual a zero, nós obtivemos exatamente a mesma equação. Bem, espero que você tenha achado isso levemente satisfatório, porque nós fomos capazes de resolver o mesmo problema usando duas direções diferentes e obtivemos os mesmos resultados. Isso nos mostra um pouco da beleza da álgebra linear, e como tudo começa a se encaixar. Até breve em um próximo vídeo!