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Álgebra linear
Curso: Álgebra linear > Unidade 1
Lição 7: Espaço nulo e espaço coluna- Produtos vetoriais de matriz
- Introdução ao espaço nulo de uma matriz
- Espaço nulo 2: cálculo do espaço nulo de uma matriz
- Espaço nulo 3: relação à independência linear
- Espaço coluna de uma matriz
- Espaço nulo e base de espaço coluna
- Visualização de um espaço coluna como um plano em R3
- Demonstração: qualquer base de subespaço tem o mesmo número de elementos
- Dimensão do espaço nulo ou nulidade
- Dimensão da posição ou do espaço coluna
- Mostrando a relação entre colunas base e colunas pivô
- Mostrando que a base candidata produz o conjunto C(A)
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Visualização de um espaço coluna como um plano em R3
Determinação da equação planar para um espaço coluna em R3. Versão original criada por Sal Khan.
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- Muito bom, realmente é algo bonito na matematica, a primeira forma eu já tinha visto em Geometria Analitica, mas eu aprendi a faze um vetor cruzado fazendo matrizes invés desse método que vocês usam.(2 votos)
Transcrição de vídeo
RKA14C No último vídeo, comecei
por esta matriz aqui. Nós vimos que o espaço
gerado por essa matriz é o espaço gerado pelos
vetores coluna dessa matriz. Eu já escrevi isso bem aqui, mas não tinha ficado claro
para gente se isto aqui era linearmente independente ou se não era
linearmente independente. Caso não fosse, isto aqui
era uma base suficiente. Então, o que nós fizemos? Nós descobrimos o espaço
nulo da matriz A, e vimos que o espaço nulo de A contém mais do que
somente o vetor zero. É o espaço gerado por
estes dois vetores aqui. O que significa que estas colunas
não são linearmente independentes. Nós vimos isso em alguns vídeos atrás. Usando a informação de que esses vetores
não são linearmente independentes, a gente tentou se livrar
dos vetores redundantes. Nós conseguimos nos livrar
deste cara aqui e deste cara aqui, justamente porque essas colunas
estão associadas com as variáveis livres. Fomos capazes de fazer isso
usando uma técnica aqui embaixo. Nós usamos uma técnica aqui onde colocamos esse vetor valendo zero, e este aqui equivalendo -1,
que são as variáveis livres. A gente descobriu o valor
das variáveis dinâmicas. Depois a gente trocou. A gente colocou outro valor
sendo zero e outro sendo -1. Achamos também as variáveis dinâmicas. E você pode imaginar que nós
podemos generalizar esse processo. Se você tem um monte de variáveis livres, você pode sempre configurar todas elas,
como nós fizemos aqui. Escolhemos um para ser o zero
e o outro para ser o -1. Assim, conseguimos expressar como
sendo uma soma das variáveis dinâmicas, onde as variáveis dinâmicas vão estar
em função das variáveis livres. No geral, essa seria uma
maneira rápida de fazer isso. Nós tivermos que fazer
de forma mais lenta por aqui. Bem, se eu tiver uma matriz A e quiser descobrir a base
para o espaço coluna dela... Sabemos que o espaço coluna
é a extensão. O espaço coluna é o espaço
gerado por isto aqui. Mas, se eu quiser descobrir
uma base linearmente independente, preciso descobrir um conjunto disto aqui
que seja linearmente independente. O que eu posso fazer é colocar essa
matriz na forma escalonada reduzida. Quando eu colocá-la na
forma escalonada reduzida, que é o que eu fiz aqui, isto aqui é a forma escalonada
reduzida por linha da matriz A, eu posso olhar para as variáveis que estão associadas
com as entradas articuladas. Esta coluna aqui está associada a x₁, esta aqui está associada a x₂, esta aqui associada a x₃, esta aqui associada a x₄. Quando você olha para a matriz regular, para a matriz inicial A,
é a mesma coisa. Se eu fosse escrever que a matriz A
vezes o vetor x é igual a zero, esta primeira coluna
estaria associada x₁, esta aqui estaria associada a x₂, esta estaria associada a x₃, e esta aqui a x₄,
da mesma forma. O que você pode fazer é colocá-la
na forma escalonada reduzida porque aí consegue dizer
quais colunas estão associadas às entradas principais
ou às variáveis dinâmicas. Você pode dizer que x₁ e x₂
estão associadas às variáveis dinâmicas. Ou melhor, elas são as variáveis dinâmicas. Então, estas duas aqui, essas duas primeiras colunas, elas são uma base
para o espaço coluna. Estas duas aqui vão ser uma base
para o espaço coluna. Como eu consegui isso? Eu estou fazendo as coisas
darem certo ao acaso? Bem... não! Tudo isso vem do fato de você
poder construir uma situação onde os vetores associados
com as variáveis livres, podem ser escritos como
combinações lineares dos vetores associados
com as variáveis de articulação. Foi isso o que nós fizemos da última vez. Mas, uma maneira muito rápida
e um pouco suja de fazer isso é você pegar sua matriz, colocá-la na
forma escalonada reduzida por linha, você olhá-la e dizer: "Bom, esta coluna e esta coluna estão
associadas às minhas variáveis livres, então, estas duas colunas aqui também
estarão associadas às minhas variáveis livres". O conjunto de solução é o mesmo. Para você pegar a matriz A
vezes o vetor x = 0, e para você pegar a forma
escalonada reduzida da matriz A vezes vetor x = 0,
é o mesmo. Se essas duas colunas estão
associadas às variáveis livres, então, estas duas aqui também estarão. O que significa que
eles podem ser expressos selecionando criteriosamente
os valores de suas variáveis livres como combinações das colunas
associadas com as variáveis articuladas, com as variáveis principais, que, no caso, vão ser estas duas aqui. Então, esta coluna aqui e esta coluna aqui
formam uma base para A. Nós vimos isso! Nós vimos no vídeo anterior
todo esse caminho até aqui. Nós percorremos todo esse caminho. Vimos que (1, 2, 3)
e (1, 1, 4) é uma base para o espaço gerado da matriz A. Agora depois de ter tido todo esse trabalho, vamos ver se a gente consegue
visualizar com o que se parece esse espaço coluna de A. Esse espaço coluna de A
vai se parecer com o quê? Bem, temos dois caminhos para pensar
em como podemos visualizar esse espaço. Uma maneira de pensar sobre isso
é observar que o espaço gerado por estes dois vetores aqui
vai estar no ℝ³. Porque este vetor aqui
é um vetor que pertence ao ℝ³, e este vetor aqui também
é um vetor que pertence ao ℝ³. Vamos desenhar este vetor aqui. Normalmente este aqui é o eixo x. Aqui, a gente vai desenhar o eixo y. E este aqui é o eixo z. Então, estamos aqui
com o nosso espaço ℝ³. Agora, vou desenhar primeiro
este vetor aqui: (1, 2, 3). Então, aqui é o 1. Aqui vai ser o 2. Aqui vai ser o 3. Então, eu tenho 1 e 2...
Ele vai seguir aqui. Este é o nosso primeiro vetor: (1, 2, 3). Vou desenhar o outro vetor. O vetor (1, 1, 4). 1 e 1... vai vir até lá em cima. Este aqui é o vetor (1, 1, 4). Realmente, é bastante difícil a gente
conseguir desenhar em três dimensões, mas acho que dá
para você ter uma ideia. O espaço gerado vai ser o espaço gerado por
estes dois vetores aqui. Todas as combinações lineares
desses dois vetores. Assim, todas essas combinações lineares
destes dois caras aqui vão criar um plano no ℝ³. Vão criar um plano no ℝ³. Se você acabou de representar
esses caras com múltiplas combinações, você pode obter qualquer vetor lá em cima. Você pode somar um vetor com o outro
e obter um outro lá em cima, você pode multiplicar o vetor
por duas vezes o outro e obter vetor lá em cima... Então, você vai vê-los
como vetores posição que essencialmente
vão formar um plano, e esse plano vai estar no ℝ³. Então, basicamente,
nós vamos ver isto aqui como vetores posição que essencialmente
formam um plano no ℝ³. Vamos ver agora se conseguimos
obter uma equação para esse plano. Bem, como nós podemos fazer isso? Nós sabemos que podemos
descobrir a equação de um plano nos baseando no fato de
que um vetor normal... Vou escrever aqui: um vetor normal. ...vezes qualquer outro vetor do plano... Então, vou desenhar aqui um vetor no plano. Este vetor aqui é o meu vetor x. Então, vezes esse vetor x do plano
menos qualquer outro vetor, qualquer outro ponto no plano, ou qualquer outro
vetor posição no plano... Eu vou usar este meu vetor aqui,
o vetor (1, 2, 3). Então, menos o vetor (1, 2, 3),
tem que ser igual a zero. Agora a gente vai usar
essas informações para descobrir a equação
para este plano aqui. Mas o que é um vetor normal? Como nós podemos encontrar
um vetor normal a este plano aqui? Deixe-me tentar desenhar um vetor normal. Se eu quisesse fazer
um vetor normal, vou chamar isso de uma maneira
para que não se confunda, a esse plano, seria mais ou menos, estaria saindo mais ou menos para cá. Seria algo mais ou menos como isto aqui. Este aqui seria um vetor normal. Agora, de que jeito eu posso
encontrar um vetor normal? Bem, nós já aprendemos que, se você toma um produto cruzado
de quaisquer dois vetores no ℝ³, e o produto só estará definido
se estiver em ℝ³, você terá um vetor que é normal
a ambos estes dois vetores aqui. Então, vamos tomar
o nosso produto cruzado. Essa é uma boa maneira
de pensar sobre isso, porque integra tudo que
a gente já estudou até aqui. Então, vou pegar aqui o vetor normal que vai ser igual ao produto
cruzado do vetor (1, 2, 3) vezes o vetor (1, 1, 4). Vamos fazer aqui
esse produto cruzado. Isso vai ser igual ao quê?
Vamos lá! Esta primeira linha aqui, ignoramos,
o nosso primeiro mandato. Vai ficar: 2 vezes 4 = 8, menos, 3 vezes 1 = 3. Na minha segunda linha,
até penso em fazer 1 vezes 4, mas tem que lembrar
que eu tenho que reverter. Então, o primeiro vai ser 3 vezes 1 = 3, menos, 1 vezes 4 = 4. 3 - 4. Já fizemos isso algumas vezes, mas você pode querer rever
o vídeo de produto cruzado, caso isso pareça estranho para você. A gente, nessa segunda entrada,
ignorou a linha do meio. Normalmente, a gente faz
1 vezes 4 menos 3 vezes 1, mas, na linha do meio, a gente troca. Então, para a primeira,
a gente ignorou essa primeira linha. Para a segunda entrada,
a gente ignorou a segunda. Agora para a terceira,
a gente vai ignorar a terceira, vai fazer 1 vezes 1 = 1, menos, 2 vezes 1 = 2. Isto aqui vai ser igual
ao vetor (5, -1, -1). Vai ser igual a este vetor aqui, que, por definição de produto cruzado, e eu já mostrei isso
algumas vezes para você, é normal a ambos estes vetores aqui, por isso, vai ser normal a qualquer
combinação desses dois vetores. Portanto, agora que nós temos
o nosso vetor normal, podemos definir a equação
tradicional do nosso plano. Portanto, agora nós sabemos
que o nosso vetor normal (5, -1, -1), que eu consegui tomando o produto cruzado
dos nossos vetores que são uma base, isso vezes qualquer
outro vetor do nosso plano... Então, vamos escrever qualquer
outro vetor do nosso plano como eu escrevi aqui
no nosso plano cartesiano, como eu desenhei os meus eixos. Então, qualquer vetor do meu plano...
Vou simbolizar por (x, y, z). Menos um só vetor. Eu poderia ter escolhido
qualquer um deles. Então, menos o nosso vetor (1, 2, 3). Isso tem que ser igual a zero. Então, o que é isto aqui? Vamos resumir. Bom, isso vai ser igual
ao nosso vetor (5, -1, -1) vezes um outro vetor que podemos
fazer com esta subtração aqui. Aqui vai ficar x - 1, o outro, y - 2, e o outro, z - 3. Isso tem que ser
igual a zero. Agora, vamos lá! Esse produto vai ser igual ao quê? Vamos observar. Isso vai ser igual a
5(x - 1) - 1(y - 2) - 1(z - 3). Isso tem que ser igual a zero. Vamos resolver essas multiplicações. Aqui eu vou ter 5x - 5... -1 vezes y = -y. -1 vezes -2 = +2. -1 vezes z = -z. -1 vezes -3 = +3. Isso tem ser igual a zero. Esse -5, a gente vai cancelar,
porque aqui tenho +2 + 3 = 5. Com -5, isso vai dar zero. Então, a gente vai ter 5x - y - z = 0. Essa é a nossa equação. Esse plano no ℝ³, ele é o nosso espaço coluna da matriz A. Então, mostramos que
realmente temos um plano em A. Na verdade, faz sentido que
esse plano intercepte a origem. Se você definir (x, y, z)
como sendo iguais a zero, isso vai satisfazer essa equação. Isso faz sentido, porque dissemos
que o espaço coluna de uma matriz A tem que ser um subespaço válido e, para um subespaço ser válido, ele tem que conter o vetor zero. No ℝ³, o vetor zero
são as coordenadas (0, 0, 0). Agora, o que eu quero fazer é ver se conseguimos
obter a mesma resposta por meio de um caminho
completamente diferente. Ou pelo menos uma resposta aproximada usando um caminho completamente diferente. Deixe-me ver minha matriz original,
até já me esqueci dela. Esta é a minha matriz original. Deixa eu copiá-la e colá-la. Então, deixa eu editar aqui. Vamos lá, editar, copiando e colando. Agora vamos arrastá-la para baixo. Eu escrevi, utilizei bastante espaço aqui. Então, esta aqui é a nossa matriz original. O que eu quero fazer é ver
se eu consigo este resultado aqui fazendo de um jeito
completamente diferente. Eu tenho esse resultado por descobrir
a base do nosso espaço coluna e encontrar um vetor normal,
tomando o produto cruzado dos nossos dois vetores da base. Em seguida, usei esse produto
do vetor normal, com a diferença entre este vetor aqui, que está representando
qualquer vetor do nosso plano, menos um dos vetores da nossa base. Isto aqui vai ser
um vetor do nosso plano. Assim, qualquer vetor do nosso plano com o vetor da nossa base,
vai ser igual a zero. Na verdade, eu deveria
fazer uma nota aqui. Quer dizer que a única razão
para eu ser capaz de afirmar que o vetor normal
é um vetor cruzado entre esses dois vetores da base, é porque eu conhecia esses
meus dois vetores de base. Podemos dizer que este cara aqui, este cara aqui que eu estou
desenhando na cor azul... Este cara aqui, não só nós podemos
especificar esse vetor no plano, mas também afirmar que ele
se encontra completamente no plano. Como eu sei disso? Porque eu sabia desde o começo
que o vetor zero, ele está no meu espaço, certo? E eu sabia que, se eu desenhasse
esse vetor na posição padrão, que é o porto (0, 0, 0),
ele vai estar no meu espaço. Este ponto final aqui, esse ponto final desse vetor, também vai estar no meu espaço gerado,
no espaço estendido. Por isso, todo este vetor aqui
se encontra completamente no plano. Da mesma forma, todo este vetor aqui também se encontra
completamente no plano. Então, se eu tomar o produto cruzado
qualquer normal destes dois caras aqui, ou qualquer combinação
entre esses dois caras, ele vai ser normal a esse plano, e nós teremos este resultado aqui. Vamos agora usar nossa
outra definição de espaço coluna, de espaço estendido. Nossa outra definição, que também
é uma definição válida, é dizer que todas as soluções para
a matriz A vezes o vetor x, são tais para que o vetor x seja um vetor, um membro, um elemento
que pertença ao ℝⁿ. Uma outra forma
de pensarmos nisso é que podemos ver
tudo isso como sendo um vetor b tal que
a matriz A vezes o vetor x vai ser igual a esse vetor b. Vai ser igual a esse vetor b. Claro, o vetor x, ele vai pertencer ao ℝⁿ. Estas aqui são afirmações equivalentes. Eu estou apenas definindo b aqui
para ser A vezes x. Assim, temos essas duas afirmações
como sendo afirmações equivalentes. Agora, vamos desenvolver isso. Vamos dizer que eu tenha definido b
como sendo um vetor no ℝ³. Então, eu posso dizer que o vetor b... Eu faço, eu recebo o vetor b quando eu tenho a matriz A
vezes o vetor x. E eu vou dizer que esse vetor b
vai ser igual a (x, y, z). Eu quero descobrir quais são
as soluções válidas para (x, y, z). Deixa eu pegar aqui
a minha matriz A. Vou pegar a minha matriz A
e vou multiplicá-la por... Na verdade, acho que existe
uma maneira melhor para pensarmos nisso. O que eu quero é achar a solução
para esta equação aqui: matriz A vezes vetor x = vetor b. Seria eu pegar minha matriz A
e colocar na forma aumentada, sendo que a parte aumentada
vai ser o vetor b. E o que eu vou fazer? Vou pegar esta matriz aqui
e vou aumentar. Ficaria desta forma aqui. Eu vou aumentar.
Aqui ficaria o meu vetor (x, y, z). Então, eu aumentei a minha matriz A. Aqui está a minha matriz A,
aqui está o meu vetor b. Se eu colocar isso na forma reduzida, na forma escalonada reduzida, eu vou conseguir encontrar
o conjunto solução da minha equação. Quero fazer isso agora. Vamos pegar essa matriz e colocá-la
na forma escalonada reduzida por linha. Lembrando que estes são os (x, y, z)
que definem um b válido. Vamos lá! A primeira coisa que eu vou fazer
é manter a minha primeira linha. A minha primeira linha não vai mudar, vai continuar sendo a mesma. Então, vai ficar (1, 1, 1, 1). Agora, esta parte aumentada aqui
vai continuar sendo x. Já na segunda linha, o que vou fazer
na segunda linha vai ser a segunda linha
menos a primeira linha. Não, não... Desculpe! Vamos substituir a segunda linha por duas vezes a primeira linha
menos a segunda linha. Então, aqui vai ficar
duas vezes a primeira, 2x, menos a segunda, que é y. A parte aumentada vai ficar 2x - y. Aqui vai ficar: 2 vezes 1 = 2,
2 - 2 = 0. 2 vezes 1 = 2,
2 - 1 = 1. 2 vezes 1 = 2,
2 - 4 = -2. 2 vezes 1 = 2.
2 - 3 = -1. Agora deixa eu substituir
a minha terceira linha. A minha terceira linha,
eu vou substituir como sendo a terceira linha
menos 3 vezes a primeira linha. Então, eu vou fazer aqui
a parte aumentada primeiro. A terceira linha aqui vai ser:
z menos 3 vezes a primeira linha, menos 3x. Agora vamos ver como vai ficar
a primeira parte, a parte oficial da matriz. Vai ficar 3 menos 3 vezes 1,
3 - 3 = 0. 4 menos 3 vezes 1,
4 - 3 = 1. 1 menos 3 vezes 1,
1 - 3 = -2. 2 menos 3 vezes 1,
2 - 3 = -1. Eu até poderia ir direto até chegarmos na forma escalonada
reduzida por linha, mas algo interessante
está acontecendo aqui. Então, vou atrás de tentar zerar
esta minha terceira linha bem aqui. Vou tentar zerar isto aqui. A melhor maneira de tentar
zerar esta linha aqui... Essa segunda linha
vai continuar sendo a mesma, por enquanto, não vou me preocupar
com a primeira linha. Então, vou reescrever
esta minha segunda linha aqui. Vai ficar (0, 1, -2, -1). Esta parte aqui, a parte aumentada,
vai continuar sendo 2x - y. Agora eu vou zerar
essa minha terceira linha. Vamos então substituir
a minha terceira linha pela segunda linha
menos a terceira linha. A segunda linha menos a terceira linha, esta parte aumentada aqui, vai ficar: 2x - y - z + 3x. Mais 3x, porque eu vou fazer
menos vezes menos, aqui vai ficar +3x. A parte ali da matriz,
a gente vai ter: 0 - 0 = 0, 1 - 1 = 0, -2 - (-2), vai dar +2, -2 + 2 = 0, -1 - (-1), vai dar +1, -1 + 1 = 0. Isso significa então que
nós só vamos ter uma solução válida
para esta equação aqui se nós tivermos este cara aqui
sendo igual a zero. O que vai acontecer
se ele não for igual a zero? Bom, se ele não for igual a zero, o que vai acontecer é que
nós vamos ter vários zeros se igualando a alguns números, o que significa que não terá solução. Então, se eu tomar um b
onde esse cara não for igual a zero, não vai haver solução. Se eu tomar todos
os valores de (x, y, z), de modo que esta expressão aqui
seja igual a 5, a expressão A vezes x = b
não vai ter solução. Porque o que nós vamos ter é vários zeros se igualando a 5, o que nos diz
que não vai ter solução. Então, isto aqui tem que ser
igual a zero. Nós temos que isto aqui,
2x - y - z + 3x, tem que ser igual a zero para que a gente tenha
um valor de b válido. Ou seja, para que o nosso vetor b, ele pertença ao espaço coluna
da nossa matriz A. E isto aqui vai ser igual ao quê? Bom, se nós somarmos o 2x com 3x, vamos obter 5x - y - z, e isso tem que ser igual a zero. Isto aqui é exatamente
a mesma equação que nós obtivemos quando descobrimos
os vetores de base. Exatamente essa mesma equação! Você pode dizer:
mas como você iria saber disso? Bem, porque por definição
os vetores da base têm que estar no espaço coluna gerado por eles mesmos. Então, fui encontrar um vetor normal
a ambos os vetores usando o produto cruzado. Então, eu fiz isso. Eu disse que às vezes
o produto cruzado vezes qualquer vetor válido
no nosso espaço menos um dos vetores da base
tem que ser igual a zero. E eu cheguei nesta equação aqui. Ou nós poderíamos ter feito isso
de uma outra maneira. Nós poderíamos literalmente
ter resolvido esta equação aqui... Eu coloquei o nosso b,
e fiz a seguinte pergunta: para quais valores de b vamos ter
uma solução válida dessa equação? A nossa solução válida vai ser obtida apenas se este cara aqui
for igual a zero, já que o resto da sua linha
se tornou zero. Quando nós fomos definir
isto aqui igual a zero, nós obtivemos exatamente
a mesma equação. Bem, espero que você tenha
achado isso levemente satisfatório, porque nós fomos capazes
de resolver o mesmo problema usando duas direções diferentes
e obtivemos os mesmos resultados. Isso nos mostra um pouco
da beleza da álgebra linear, e como tudo começa a se encaixar. Até breve em um próximo vídeo!