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Transcrição de vídeo

vamos dizer que tem um conjunto ver e que isso aqui sejam subir passo só que este aprendeu na última vídeo aula nem pensa que é um sub espécie isso é bom vamos dizer ainda que esse conjunto ver aqui ele seja um espaço gerado ele seja um espaço gerado pelos vetores então vamos colocar aqui ver um ontem um v2 até vn então ver um v2 até vem esse aqui é o nosso espaço gerado por esses fatores que eu posso dizer é que esses vetores aqui o vetor de um vetor v2 até o vetor bn esses vetores aqui todos eles são linearmente todos eles são linearmente independente ambição linearmente minea mente independente é isso que eu posso dizer em relação a esses vetores aqui é todos esses vetores são linearmente independente então vamos continuar aqui mas antes que eu continue vamos lembrar que significa o espaço gerado por esses vetores bom espaço gerado por esses setores são todas as combinações lineares possíveis que gerem todos os vetores a partir desses vetores aqui e portanto que eu quero dizer é que eu posso ter uma combinação linear desse tipo aqui é assim um vez de um mas se é 2002 e assim por diante até cmvm isso aqui vai gerar um novo vetor é esse novo vítor ainda vai estar aqui o espeto vê se um novo vetor você gerada por esse espaço ele vai estar aqui dentro do meu conjunto v é importante lembrar que cada um desses seis aqui a cada um desses seis aqui eles são pertencentes ao conjunto dos números reais sobre a gente lembrar de tudo aqui só falta a gente dizer que são vetores linearmente independente quando pego por exemplo que essa combinação ser um vê um mas sê 2002 mas cnb nível até cnn então mais cnn a soma disso aqui só vai dar o retorno não vetor zero se aconteceu que se ser um foi igual a c2 que for igual a ser 3 e assim por diante até cn isso tudo aqui foi igual a zero então só se esses valores forem iguais a zero uma outra maneira de pensar em si é o seguinte aqui o vetor viam o v12 tvn e cada um desses vetores ele nunca vai poder ser representada pela combinação de nerd os outros vetores isso significa que esses vetores são linearmente independente de onde eu quero chegar o seguinte eu só pego todos esses vetores aqui esses vetores é que são capazes de gerar o meu subir passo ter geram todo aqui o meu conjunto ver que o tempo também esses vetores eles são linearmente independente então vale o seguinte vamos chamar aqui esse conjunto aqui vamos chamar os curtos e de s então eu posso dizer que é se são os meus vetores v 1 e 2 e assim por diante até vn rn eles formam um conjunto muito especial então o que eu posso dizer o seguinte eu posso dizer que é se é uma base s é uma base base para ver não é se é uma base para ver então essa é uma base guarde esse nome é que isso significa o seguinte um conjunto de vetores é uma base para um conjunto ver quer dizer o que esses vetores são capazes de gerar todos os vetores para esse espaço aqui o preço do espaço ver então esses vetores além de gerarem todos os subs passo ver eles são linearmente independente outra maneira de pensar nisso aqui é o seguinte vamos ser que tivesse aqui um conjunto por exemplo o conjunto t esse conjunto que tivesse todos esses setores não ter o vetor aqui ver um teria o vetor de 2 ele é o vetor vn e além desses vetores aqui eu teria um outro vetor esse outro vetor ser um vetor especial vamos dizer não vê vê especial ver então esse leitor aqui especial ele vamos dizer que seja combinação de ver um mas de dois vão ver um mas de dois dá exatamente o vetor vier aqui de cara a gente já pode ver o seguinte que os diretores aqui eles não são lineares independentes na verdade são de minha mente independente porque houver foi gerado a partir de dois vetores desse conjunto mas o que eu posso dizer o seguinte o espaço gerado o espaço gerado por ter espaço gerando por t ainda é igual a zero na verdade é que a gente pode ver o seguinte que esse elemento que esse vetor ele é dependente dos outros vetores então todo esse conjunto é que ele é linearmente independente e portanto a gente pode escrever o seguinte aqui te e linearmente e é linear linearmente dependente delinear mente independente e por isso que vai acontecer uma vez que teve na mente independente e não será uma base então ter não é uma base para quem tem não é uma base fazer não ter não é uma base para ver um ter não é uma base para ver o tanto que eu estou querendo dizer que esse conjunto aqui ele tem muitos elementos ele tem 6 metros a mais do que o que eu preciso para gerar o meu subir passo ver tanto pra nós o conjunto será considerada uma base quando eu precisar utilizar apenas um mínimo de vetores possíveis para gerar um espaço desde escrever isso aqui um pouquinho aqui embaixo então para nós nós teremos uma base teremos uma base quando só trocar a cor aqui quando eu tiver o mínimo então quando tiver o mínimo mínimo conjunto de vetores então conjunto de vetores conjunto de vetores se for capaz de gerar os hubs passo então que gerar que gerar o subs passo então conjunto que gerar o subs passo esse conjunto será o mínimo possível eu não vou provar isso aqui formalmente mas o que eu quero dizer é que por exemplo nesse caso aqui eu não precisaria desse vetor aqui para que eu tivesse um espaço todo gerado no espaço ver então esse caso simplesmente poderia remover esse vetor aqui do meu conjunto te o espaço gerado por ter ainda seria que no caso eu subi espaço ver então esse cara aqui no caso esse cara que no caso dele é redundante ele não precisaria estar a guia mas ele estaria se mesmo né e quando a gente tem uma base a base nossa nunca é redundante ela nunca vai ser redundante nesse caso aqui olhando esses vetores aqui só redundante porque todos eles são essenciais para que a gente consiga construir o nosso espaço ver então deixem-me fazer aqui alguns exemplos então vou pegar aqui alguns vetores então vamos dizer que eu tenho um conjunto s que nesse conjunto essa que eu tenho dois vetores vamos dizer que eu tenho o vetor 23 tem o vetor 23 o vetor 70 estou 70 e agora vamos pensar no seguinte vamos pensar em qual o espaço gerado por esses dois vetores isso aqui é um conjunto de vetores eu quero saber com o espaço gerado com o espaço gerado por esse conjunto pelo conjunto s logo que eu quero saber na verdade o que quais são todas as combinações lineares possíveis a partir desses dois vetores nós temos que isso aqui combinado pode gerar todo r 2 porque na verdade nós temos isso aqui nós temos que ser um vez o vetor 23 mas c2 mas c 2 vezes o vetor 70 isso aqui vai ser igual a qualquer vetor qualquer retorno r2 que eu posso chamar por exemplo de x 1 x 2 então vamos ver isso aqui também casa que a gente pode dizer o seguinte oc2 e 12 são mais 7 c e 27 c doença que vai ser igual à x 1 e aqui em baixo a gente pode dizer que 3 c e 13 c 1 mais zeros e dois netos e do vetor zero retorno isso aqui vai ser igual à x 2 nesse caso aqui a gente pode pegar essa segunda equação e divide ambos os lados por 3 a 1 vai dar pra gente o seguinte se um é igual à x 2 sobre x 2 sobre três nesse caso nós substituímos da primeira equação a gente vai ter o seguinte duas vezes x 2 sobre texto de dois terços de x 2 mas sets e 2 só que vai ser igual à x 1 então aqui nesse caso você pode diminuir dois terços dos dois lados e você vai ficar com 7 c 2 que vai ser igual à x 1 - dois terços - dois terços de x 2 e agora você pode dividir ambos os lados por sete então você vai ter o seguinte você vai ter que ser 2006 gol x 1 x 1 sobre sete menos duas vezes x 2 sobre 21 isso aqui é o nosso valor pra c 2 então o que estou dizendo o seguinte se você me der qualquer x 1 e qualquer x 2 sendo 1 x 1 x 2 ambos pertencentes ao conjunto dos números reais eu consigo dar pra você o que um seu news e dois de forma que a combinação desses vetores aqui desses vetores 2370 exatamente o vetor x 1 x 2 santo neste caso aqui eu posso dizer por exemplo que o céu vai ser o que você x 2 x 2 sobre três então eu tenho meu c1 e c2 e x 1 sobre sete menos duas vezes x 2 sobre o 21 isso nunca vai quebrar é porque não tem uma divisão por zero não tem nada disso então isso aqui é sempre vai funcionar então sempre que eu tiver 1 x 1 x 2 eu vou conseguir um serum c2 que resolva que o meu problema então consigo mostrar que é uma combinação linear dos dois vetores porque basta colocação aqui c2 eu vou conseguir qualquer vetor x 1 x 2 portanto espaço gerado aqui ó portanto espaço gerado aqui é todo o r2 tão portanto espaço gerado por essa é todo o r2 e agora uma segunda pergunta é a seguinte será que esses dois vetores aqueles são linearmente independente e para saber se esses dois vetores são linearmente independentes eu tenho que fazer o seguinte ó então deixa eu pegar aqui e vou fazer aqui a minha atuação eu tenho que ser um ser um vez o vetor 23 não ser um vez o vetor 23 mas c 2 vezes o vetor 70 2007 zero isso tem que dá igual vetor 00 bom porém isso para o vetor zero zero eu tenho que a única solução de situação aqui é ser um e dois sendo igual a zero se isso acontecesse diretores são linearmente independente a gente pode utilizar isso aqui nessa relação de ser um x 2 e 2 x 1 x 2 aqui nesse caso aqui eu tenho que o meu x1 é igual a 0 x 2 101 casos particulares aqui portanto do escrever isso aqui eu vou escrever aqui x1 é igual a zero no x1 que 0 x 2 também a 0 x 1 a 0 x 2 na serra e aí o que vai acontecer eu vou substituir o valor x 1 x 2 aqui ou em c1 e c2 então aqui x 2 sobre 30 sobre 3 a 0 então se um ser um tem que ser igual a zero e aqui é a mesma coisa a 0 sobre 7 x 10 menos duas vezes e zero sobre 21 que também dá 00 - 0 a 0 então você 2 também é igual a zero então tem que x 1 a 0 e 2 a 0 clique aqui se 1 e c2 tem que ser igual a zero então nesse caso aqui a nossa única solução é que isso aqui seja zero se não seja 0 e 2 0 aqui eu posso dizer que s s também é também é linearmente independente então também é linearmente linearmente independente então s também é linearmente independente é isso aí tem uma consequência que conseqüências quando um conjunto consegue gerar todo o r2 aqui ele também é linearmente independente então nesse caso o que eu posso dizer o seguinte eu posso dizer que s s é uma base essa é uma base para para o r2 então para o r2 não é só uma base para r 2 será que essa é única base possível para gerar r 2 então eu faço aqui um pouco mais para baixo a gente vai ver isso aqui então vamos lá vamos dizer que até que o novo conjunto ter o meu conjunto t seja igual vamos dizer aqui o vetor 10.10 eo vetor zero um santo sufi dois vetores é que eu tenho agora será que esses dois vetores aqui conseguem gerar todo r 2 por exemplo se eu quiser geral vetor x 1 x 2 como é que eu posso fazer para gerar o vetor x 1 x 2 e é bem simples basta pegar x 1 e multiplicar por 10 x 1 x 1 0 mais mas x 2 x 0 1 isso aqui vai dar o que isso aqui vai dar exatamente x 1 vezes um mas é essa aqui vai dar x 1 em baixo a mesma coisa x 1 e 0 a 0 x 2 vezes 12 x 2 x 1 x 2 portanto definitivamente esse conjunto ter aqui é capaz de gerar qualquer vetor dentro do r2 então aqui você tem o espaço gerado por ter espaço gerado por te dá todo r 2 no espaço gerando aqui dá todo r 2 e será que isso aqui é linear mente independente qual é a resposta sim né porque vamos dizer que x10 x10 então aqui x 1 seria 0 e chile 2 seria zero seria a única resposta possível então nesse caso aqui nós não temos outra maneira de achar o vetor aqui 00 ness e fazendo estamos porque são zero então esses vetores aqueles são linearmente são linearmente são linearmente independente então é isso que a gente vai dizer que eles são linearmente independente bom sabendo que eles são linearmente independente sabendo que geram todo o espaço r 2 então eu posso dizer o que eu posso dizer que ter também uma base também é uma base também é uma base para para o r2 não te também é uma base para o r2 então é isso que estou dizendo aqui nesse caso é interessante mostrar isso que já mostrou anteriormente que tinha oeste uma base para o r2 que é meu outro conjunto dos vetores 2 370 e aqui eu tenho os outros dois vetores 1001 também são uma base para r 2 na verdade eu tenho mais de uma base para os dois na verdade mesmo a gente tem infinitas base para r 2 então aqui ó s é uma base para 1 e 2 e terá também uma base para r 2 que está acontecendo aqui é que te é uma base padrão para r 2 é isso que a gente diz então posso dizer aquilo que isso aqui é uma base base padrão é isso que eu vou dizer só que é uma base padrón e você já deve ter visto até na física física costuma se chamar o saque de isso aqui de j não só nossos dois vetores padrões na física são vetores padrões para o plano cartesiano onde a utilizar apenas duas coordenadas isso é interessante porque a partir desses dois vetores aqui que são tipo padrão a gente pode determinar qualquer um vetor dentro de r 2 vamos ver um pouquinho mais abaixo que algumas outras coisas vamos dizer por exemplo que eu tenho aqui os vetores ver 1 e 2 e assim por diante até vn a tvn e vamos dizer que esses vetores aqui vamos dizer que esses vetores ele seja uma base eles sejam uma base mas para os hubs passo e vamos dizer que ele seja uma base para 1 sobre o espaço para os hubs passo vamos chamar de uh uh é um sub paço então um sub espaço vamos escrever isso logo isso já significa que todos esses vetores aqui são linearmente independentes não significa que qualquer cara que dentro de uva poder ser uma combinação desses vetores aqui foi o que eu quero mostrar a você é que cada um desses cargos dentro de um tem uma única combinação desses vetores aqui possível então vamos dizer por exemplo aqui que eu tenha um a que eu tenho aqui pertença aqui ao meu conjunto hur não tenho um a um vetor a que pertence enquanto isso quer dizer que quer dizer que existe apenas uma combinação de todos esses vetores aqui ver um v2 à tvn que dá exatamente o vetor há algo posso escrever o meu eleitorado da seguinte maneira posso dizer que há essa é um ser um vetor de um mas c2 mesmo vetor e 2 e assim por diante até que o cheguei aqui em cn vez o vetor vn só que a minha combinação de near dos vetores de um v2 a tvm para que eu tenho que como resultado meu ver torá agora eu quero mostrar a você que isso aqui é uma combinação única então vou fazer isso aqui por contradição vou provar isso aqui vamos dizer que eu tenha o vetor a de que ele possa ser inscrito por outra combinação então por exemplo de um vezes vê um mais de 2 vezes vê 2 e assim por diante até chegar aqui em de n n vezes vêem e agora o que acontece o subtrai que meus dois vetores victor ao de cima com o vetor a de baixo toque nesse caso a menos vazada o vetor zero andou victor nulo isso aki vai ser igual à que trocar coisa aqui pensa que vai ser difícil porque seu menos de 1 seul - de um isso aqui vez o vetor v1 mas aí é que eu tenho 62 anos e dois meninos de 2 vezes o vetor de 2 isso continua toda a vida aí é que eu coloco será um problema que deixou xuxa isso aqui um pouquinho pra cá achei um pouco pra caixa fazer isso aqui embaixo então tentamos fazer aqui ó vamos dizer que eu tenho aqui o meu vetor lá é que no retorno que eu tenho um vetor nulo no meu retorno que a menos a isso é que vai ser o que é ser um centro - de 11 vezes vê um é isso aqui vai toda a vida até que eu vou chegar em cn - dn vezes vezes vn mas eu disse lá no começo pra você que esses caras aqui era uma base era uma base aqui para o meu espaço então quer dizer o que quer dizer que esses caras aqui além de gerar todo meu subir passo eles são linearmente independente e portanto o que eu quero dizer com isto quero dizer o seguinte olha essa constante aqui essa constante aqui têm que ser iguais aqui vão ter que ser iguais a zero não é porque se um menos de 1 só que tem que ser igual a zero o que tem que ser igual a zero vai ter que ser igual a 0 justamente para uma definição que pode ser linear mente independente só que tem que dar zero então aqui ó até 600 isso tudo o que vai acontecer porque isso vai acontecer quanto a nossa definição de vetores linearmente independente então vou poder dizer o seguinte eu vou poder dizer aqui pra vocês que esse valor é que sejam menos de um tem que ser igual a zero logo c1 ser um vai ter que ser igual à de um da mesma forma c e 2 c 2 vai ter que ser igual à de dois porque você 2 - 2 também dá zero e por fim e tem que ser em menos de 60 então sim também é igual a pm portanto o que eu estou querendo dizer o seguinte quando eu pego a que essas constantes a única solução possível que elas sejam a mesma coisa isso é que foi forçado por ela ser linear mente independente até te dizer que não aqui que elas pudessem ser diferente mas para serem liminarmente independente não é por esses vetores ele mesmo independente a gente é forçado a colocar aqui que todos essas constantes é que têm que ser iguais portanto se você tem um substituto às cada um dos seus vetores no seu substituto vai ser uma única combinação aqui os seus outros vetores nesse caso os vetores da sua base agora vamos voltar um pouquinho aqui em cima eu quero fazer uma outra pergunta você é um dislate voltar aqui quase meu ponto de partida então vou te perguntar o seguinte bom se eu pegar se eu pegar isso aqui é colocar em xeque um outro vetor vamos colocar aqui um vetor por exemplo 10 a minha pergunta para você o seguinte será que isso aqui é uma base para o r2 e aqui é claro que uma coisa acontece né que esses caras aqui continuam gerando todo r 2 porque se dois aqui já gerava uma verdade esse cara que está sobrando é redundante aqui dentro desse conjunto que já tinha dito você já tinha dito que esses dois sozinhos já davam todo r 2 e esse cara que está dentro do r2 está sendo gerado por esses dois aqui ó então esse cara aqui ele é linearmente dependência desses outros dois vetores há verdades conjunto passa a ser linearmente independente então vamos escrever isso aqui se conta que passa a ser linearmente peças e linearmente independente linearmente dependente e não é isso que a gente quer é pra gente ter uma base a gente que é justamente um conjunto que seja linearmente independente e portanto esse conta que passa a não ser uma base para os dois porque eu tenho aqui um elemento sobrando dentro desse conjunto para que ele seja uma base das duas ele tem que ser extremamente eficiente eu preciso de apenas os vetores que gerem todo r 2 não pode ter ninguém sobrando bom espero que vocês tenham gostado e até o próximo vídeo