Base de um subespaço

RKA4JL - Vamos dizer que eu tenha um conjunto v e que isso aqui seja um subespaço. Isso a gente aprendeu na última videoaula. Então isso aqui é um subespaço. Vamos dizer ainda que esse conjunto v seja um espaço gerado pelos vetores, vamos colocar aqui, v₁, v₂ até vₙ. Então v₁, v₂ até vₙ. Esse aqui é o nosso espaço gerado por esses vetores. O que eu posso dizer é que esses vetores aqui, o vetor v₁, o vetor v₂ até o vetor vₙ, esses vetores aqui, todos eles são linearmente independentes. É isso o que eu posso dizer em relação a esses vetores aqui. Todos esses vetores são linearmente independentes. Então vamos continuar aqui, mas antes que eu continue vamos lembrar o que significa o espaço gerado por esses vetores. O espaço gerado por esses setores são todas as combinações lineares possíveis que geram todos os vetores a partir desses vetores aqui. Portanto, o que eu quero dizer é que eu posso ter uma combinação linear desse tipo aqui: c₁ vezes v₁ mais c₂ vezes v₂, e assim por diante, até cₙ vezes vₙ. Isso aqui vai gerar um novo vetor, e esse novo vetor ainda vai estar aqui. Esse vetor vai ser um novo vetor que será gerado por esse espaço e vai estar aqui dentro do meu conjunto v. É importante lembrar que cada um desses "c" aqui é pertencente ao conjunto dos números reais. Só para a gente relembrar de tudo, falta a gente dizer que são vetores linearmente independentes. Quando pego, por exemplo, a combinação c₁v₁ mais c₂v₂ mais cₙvₙ, vou até cₙ vₙ, a soma disso aqui só vai dar o vetor nulo, o vetor zero, se acontecer o quê? Se c₁ for igual a c₂, que for igual a c₃, e assim por diante até cₙ e isso tudo for igual a zero. Então só se esses valores forem iguais a zero. Uma outra maneira de pensar nisso é o seguinte: você pega esses vetores, o vetor v₁, v₂, até vₙ, e cada um desses vetores nunca vai poder ser representado pela combinação linear dos outros vetores. Isso significa que esses vetores são linearmente independentes. Onde eu quero chegar é no seguinte: eu só pego todos esses vetores aqui, e esses vetores são capazes de gerar o meu subespaço v, geram todo meu conjunto v, e eu tenho, também, que esses vetores são linearmente independentes, o que vale o seguinte: vamos chamar esse conjunto de s. Então eu posso dizer que s são os meus vetores v₁, v₂, e assim por diante até vₙ. Eles formam um conjunto muito especial. Então o que eu posso dizer é o seguinte: eu posso dizer que s é uma base para v. Então s é uma base para v. Então s é uma base. Guarde esse nome. Isso significa o seguinte: se um conjunto de vetores é uma base para um conjunto v, quer dizer o quê? Que esses vetores são capazes de gerar todos os vetores para esse espaço, ou esse subespaço v. Então esses vetores, além de gerarem todos esses subespaços v, eles são linearmente independentes. Uma outra maneira de pensar nisso aqui é o seguinte: vamos dizer que eu tivesse aqui um conjunto, por exemplo, um conjunto t e que esse conjunto tivesse todos esses vetores. Então teria o vetor v₁, teria o vetor v₂, teria até o vetor vₙ. Além desses vetores aqui eu teria um outro vetor. Esse outro vetor seria um vetor especial, vamos dizer "v especial", vₑ. Então esse vetor aqui, v especial, vamos dizer que seja a combinação de v₁ mais v₂. v₁ mais v₂ dá exatamente o vetor vₑ. Aqui de cara a gente já pode ver que os vetores não são lineares independentes. Na verdade são lineares dependentes porque vₑ foi gerado a partir de dois vetores desse conjunto. Mas o que eu posso dizer é o seguinte: que o espaço gerado por t ainda é igual a v. Na verdade aqui a gente pode ver que esse elemento, esse vetor, ele é dependente dos outros vetores. Então todo esse conjunto t é linearmente dependente. Portanto a gente pode escrever que t é linearmente dependente. Por isso o que vai acontecer? Uma vez que t é linearmente dependente, ele não será uma base. Mas para quem? t não é uma base para v. Portanto o que eu estou querendo dizer é que esse conjunto aqui tem muitos elementos, ele tem elementos a mais do que eu preciso para gerar o meu subespaço v. Portanto, para nós, o conjunto será considerado uma base quando eu precisar utilizar apenas um mínimo de vetores possíveis para gerar um espaço. Deixe-me escrever isso aqui um pouquinho mais embaixo. Então, nós teremos uma base quando (deixe-me trocar a cor), quando eu tiver o mínimo conjunto de vetores que for capaz de gerar o subespaço. Então conjunto que gerar o subespaço. Esse conjunto será o mínimo possível. Eu não vou provar isso aqui formalmente, mas o que quero dizer é que, por exemplo, nesse caso eu não precisaria desse vetor aqui para que eu tivesse meu espaço todo gerado, meu espaço v. Então nesse caso eu simplesmente poderia remover esse vetor aqui do meu conjunto t e o espaço gerado por t ainda seria neste caso meu subespaço v. Então esse cara aqui, no caso, é redundante, ele não precisaria estar ali, mas ele estaria assim mesmo. Quando a gente tem uma base, ela nunca é redundante. Ela nunca vai ser redundante. Nesse caso aqui nenhum desses vetores são redundantes porque todos são essenciais para que a gente consiga construir o nosso subespaço v. Deixe-me fazer aqui alguns exemplos. Então vou pegar alguns vetores. Vamos dizer que eu tenha um conjunto s e que nesse conjunto s eu tenha dois vetores. Vamos dizer que eu tenha o vetor (2,3) e o vetor (7,0). Agora vamos pensar no seguinte: vamos pensar em qual é o espaço gerado por esses dois vetores. Então isso aqui é um conjunto de vetores e eu quero saber qual o espaço gerado por esse conjunto, pelo conjunto s. Logo, o que eu quero saber, na verdade, é o quê? Quais são todas as combinações lineares possíveis a partir desses dois vetores. Nós temos que isso aqui combinado pode gerar todo o r₂ porque, na verdade, nós temos isso aqui, temos que c₁ vezes o vetor (2,3) mais c₂ vezes o vetor (7,0) e isso aqui vai ser igual a qualquer vetor no r₂ que eu posso chamar, por exemplo, de (x₁,x₂). Vamos ver isso aqui. Então nesse caso aqui a gente pode dizer que 2c₁ mais 7c₂ vai ser igual a x₁. Aqui embaixo a gente pode dizer que 3c₁ mais zero c₂ (então isso aqui é do vetor zero, vetor nulo) e isso aqui vai ser igual a x₂. Neste caso a gente pode pegar essa segunda equação e dividir ambos os lados por 3, o que vai dar para a gente c₁ igual a x₂ sobre 3. Neste caso, se nós substituímos na primeira equação, a gente vai ter o seguinte: 2 vezes (x₂ sobre 3) dá ⅔ de x₂ mais 7c₂ e isso vai ser igual a x₁. Então neste caso você pode diminuir ⅔ de x₂ dos dois lados e ficar com 7c₂, que vai ser igual a x₁ menos ⅔ de x₂. Agora você pode dividir ambos os lados por 7. Então você vai ter o seguinte: você vai ter que c₂ vai ser igual a x₁/7 menos 2 vezes x₂/21. Isso aqui é o nosso valor para c₂. O que estou dizendo é que se você me der qualquer x₁ e qualquer x₂, sendo x₁ e x₂ ambos pertencentes ao conjunto dos números reais, eu consigo dar para você um c₁ e c₂ de forma que a combinação desses vetores aqui, desses vetores (2,3) e (7,0), dê exatamente o vetor (x₁,x₂). Portanto neste caso aqui eu posso dizer, por exemplo, que c₁ vai ser x₂ sobre 3. Então aqui tenho meu c₁. E meu c₂ vai ser x₁/7 menos 2 vezes x₂/21. Isso nunca vai quebrar porque não tem uma divisão por zero, não tem nada disso. Então isso aqui sempre vai funcionar. Sempre que eu tiver x₁ e x₂ vou conseguir um c₁ e c₂ que resolvam o meu problema. Então consigo mostrar que isso é uma combinação linear dos dois vetores porque basta eu colocar aqui c₁ e c₂ para conseguir qualquer vetor (x₁,x₂). Portanto o espaço gerado aqui é todo o r₂. Portanto todo o espaço gerado por s é todo o r₂. Agora uma segunda pergunta é a seguinte: será que esses dois vetores aqui são linearmente independentes? Para saber se esses dois vetores são linearmente independentes eu tenho que fazer o seguinte (deixe-me pegar aqui e fazer a minha equação). Eu tenho que c₁ vezes o vetor (2,3) mais c₂ vezes o vetor (7,0) tem que dar igual ao vetor (0,0). Porém, para que isso seja o vetor (0,0) eu tenho que a única solução dessa equação é c₁ e c₂ sendo igual a zero. Se isso acontecer, os vetores serão linearmente independentes. A gente poderia utilizar isso aqui, essa relação de c₁ e x₂, c₂ e x₁ e x₂. Neste caso aqui eu tenho que o meu x₁ é igual a zero e meu x₂ é igual a zero, um caso particular aqui. Portanto vou escrever isso aqui. Vou escrever aqui x₁ igual a zero e x₂ também é zero. x₁ é igual a zero e x₂ é igual a zero. E então o que vai acontecer? Eu vou substituir o valor de x₁ e x₂ aqui em c₁ e c₂. Então aqui x₂ sobre 3 é zero sobre 3, que é zero. Então c₁ tem que ser igual a zero. E aqui é a mesma coisa, zero sobre 7, x₁ é zero, menos 2 vezes zero sobre 21, que também dá zero. zero menos zero dá zero, então c₂ também é igual a zero. Então tenho que x₁ é igual a zero e x₂ é igual a zero implica que c₁ e c₂ têm que ser iguais a zero. Então neste caso a nossa única solução é que isso aqui seja zero, c₁ seja zero e c₂ seja zero. Portanto aqui eu posso dizer que s também é linearmente independente. Então s também é linearmente independente. Isso tem uma consequência. Que consequência é essa? Quando um conjunto consegue gerar todo o r₂ aqui, ele também é linearmente independente. Então neste caso eu posso dizer o seguinte, posso dizer que s é uma base para r₂. Então s é uma base para r₂. Será que essa é única base possível para eu gerar r₂? Então deixe-me puxar um pouco mais para baixo para a gente ver isso aqui. Então vamos lá. Vamos dizer que eu tenha aqui um novo conjunto t e meu conjunto t seja igual ao vetor (1,0) e ao vetor (0,1). São esses dois vetores que eu tenho agora. Será que esses dois vetores aqui conseguem gerar todo r₂? Por exemplo, se eu quiser geral vetor (x₁,x₂), como é que eu posso fazer para gerar o vetor (x₁,x₂)? É bem simples, basta pegar x₁ e multiplicar por (1,0) mais x₂ multiplicado por (0,1). Isso aqui vai dar o quê? Isso aqui vai dar exatamente x₁ vezes 1 mais zero. Isso aqui vai dar x₁. Embaixo é a mesma coisa. x₁ vezes zero dá zero e x₂ vezes 1 dá x₂. Portanto, definitivamente esse conjunto t é capaz de gerar qualquer vetor dentro do r₂. Então aqui você tem que o espaço gerado por t dá todo r₂. Será que isso aqui é linearmente independente? E a resposta é sim, porque vamos dizer que x₁ fosse zero e x₂ fosse zero. Então aqui x₁ seria zero e x₂ seria zero e essa seria a única resposta possível. Então nesse caso aqui nós não temos outra maneira de achar o vetor (0,0) sem fazer essa multiplicação por zero e então esses vetores aqui são linearmente independentes. É isso o que a gente vai dizer, que eles são linearmente independentes. Sabendo que eles são linearmente independentes e sabendo que geram todo o espaço r₂, então eu posso dizer o quê? Eu posso dizer que t também uma base para o r₂. Então t também é uma base para o r₂. É isso que estou dizendo aqui. Neste caso é interessante mostrar isso porque já mostrei anteriormente que eu tinha s sendo uma base para o r₂, que era meu outro conjunto dos vetores (2,3) e (7,0) e aqui eu tenho os outros dois vetores (1,0) e (0,1) que também são uma base para r₂. Na verdade eu tenho mais de uma base para r₂. A verdade mesmo é que a gente tem infinitas bases para r₂. Então aqui s é uma base para r₂ e t também uma base para r₂. O que está acontecendo aqui é que t é uma base padrão para r₂, é isso o que a gente diz. Então posso dizer aqui que isso é uma base padrão. É isso que eu vou dizer. Isso aqui é uma base padrão. Você já deve ter visto isso até na física. A física costuma chamar isso aqui de 𝓲 e isso aqui de 𝓳 . São nossos dois vetores padrões na física, são vetores padrões para o plano cartesiano onde eu vou utilizar apenas duas coordenadas. Isso é interessante porque a partir desses dois vetores que são do tipo padrão, a gente pode determinar qualquer vetor dentro de r₂. Vamos ver um pouquinho mais abaixo algumas outras coisas. Vamos dizer, por exemplo, que eu tenha aqui os vetores v₁, v₂, e assim por diante até vₙ, e vamos dizer que esses vetores aqui sejam uma base para um subespaço. Vamos dizer que ele seja uma base para um subespaço... Vamos chamar de 𝓾 . Então 𝓾 é um subespaço, vamos escrever isso. Logo isso já significa que todos esses vetores aqui são linearmente independentes, o que significa que qualquer cara aqui dentro de 𝓾 poderá ser uma combinação desses vetores aqui. O que eu quero mostrar para você é que cada um desses caras dentro de 𝓾 tem uma única combinação possível desses vetores aqui. Então vamos dizer, por exemplo, que aqui eu tenha um 𝓪 que pertença ao meu conjunto 𝓾 . Então tenho um 𝓪 , um vetor 𝓪 que pertence ao conjunto 𝓾 . Isso quer dizer que existe apenas uma combinação de todos esses vetores aqui (v₁, v₂, até vₙ) que dá exatamente o vetor 𝓪 . Logo, posso escrever meu vetor 𝓪 da seguinte maneira: posso dizer que 𝓪 é c₁ vezes meu vetor v₁ mais c₂ vezes meu vetor v₂ e assim por diante, até que eu chegue aqui em cₙ vezes o vetor vₙ. Isso aqui é minha combinação linear dos vetores v₁, v₂ até vₙ para que eu tenha como resultado meu vetor 𝓪 . Agora o que eu quero mostrar para você é que isso aqui é uma combinação única. Então vou fazer isso aqui por contradição. Vou provar isso aqui. Vamos dizer que eu tenha o vetor 𝓪 e que ele possa ser escrito por outra combinação. Então, por exemplo, d₁ vezes v₁ mais d₂ vezes v₂ e assim por diante, até chegar em dₙ vezes vₙ. Agora o que acontece se eu subtrair meus dois vetores, vetor 𝓪 de cima com o vetor 𝓪 de baixo? Então neste caso 𝓪 menos 𝓪 dá o vetor zero, dá o vetor nulo, e isso aqui vai ser igual a quê? Deixe-me trocar a cor. Isso vai ser c₁ menos d₁, isso vezes o vetor v₁ mais... Aqui eu tenho c₂ menos d₂ vezes o vetor v₂, isso continua toda a vida, e aqui eu coloco cₙ menos dₙ... Estou com problemas aqui, deixe-me puxar isso aqui um pouquinho para cá para fazermos isso aqui embaixo. Então vamos fazer aqui. Vamos dizer que eu tenha meu vetor nulo, que é 𝓪 menos 𝓪, e isso aqui vai ser o quê? Vai ser c₁ menos d₁ vezes v₁, isso aqui vai toda a vida até chegar em cₙ menos dₙ vezes vₙ. Mas eu disse lá no começo para você que esses caras aqui eram uma base para meu subespaço 𝓾. Então quer dizer o quê? Quer dizer que esses caras aqui, além de gerar todo meu subespaço 𝓾, eles são linearmente independentes e, portanto, o que eu quero dizer com isso? Quero dizer que esta constante e essa constante aqui vão ter que ser iguais, vão ter que ser iguais a zero, porque c₁ menos d₁ tem que ser igual a zero. Por que isso tem que ser igual a zero? Vai ter que ser igual a zero justamente pela minha definição: por serem linearmente independentes, isso aqui tem que dar zero. Então aqui também é zero e aqui também é zero. Isso tudo aqui vai acontecer por quê? Isso vai acontecer por conta da nossa definição de vetores linearmente independentes. Então vou poder dizer o seguinte: vou poder dizer aqui para vocês que esse valor c₁ menos d₁ tem que ser igual a zero, logo c₁ vai ter de ser igual a d₁. Da mesma forma, c₂ vai ter que ser igual a d₂, porque c₂ menos d₂ também dá zero. Por fim tenho que cₙ menos dₙ é igual a zero, então cₙ também é igual a dₙ. Portanto, o que eu estou querendo dizer é o seguinte: quando eu pego essas constantes, a única solução possível é que elas sejam a mesma coisa. Isso aqui foi forçado por elas serem linearmente independentes. Até tentei dizer que não, que elas pudessem ser diferente, mas por serem linearmente independentes, por esses vetores serem linearmente independentes, a gente é forçado a colocar aqui que todas essas constantes têm que ser iguais. Portanto, se você tem um subespaço, cada um dos seus vetores no seu subespaço vai ser uma única combinação aqui de seus outros vetores. Neste caso os vetores da sua base. Agora vamos voltar um pouquinho aqui em cima. Eu quero fazer uma outra pergunta para você. Então vamos lá, deixe-me voltar quase ao meu ponto de partida. Então vou lhe perguntar o seguinte: se eu pegasse isso aqui e colocasse um outro vetor (vamos colocar aqui um vetor, por exemplo, (1,0)), a minha pergunta para você é: será que isso aqui é uma base para o r₂? E aqui é claro que uma coisa acontece. Esses caras aqui continuam gerando todo o r₂, porque esses dois aqui já geravam. Então, na verdade, esse cara aqui está sobrando. Ele é redundante dentro desse conjunto porque eu já tinha dito para você que esses dois sozinhos já geravam todo r₂ e esse cara que está dentro do r₂, então ele deve estar sendo gerado por esses dois aqui. Então esse cara aqui é linearmente dependente desses outros dois vetores. Na verdade esse conjunto passa a ser linearmente dependente. Então vamos escrever isso aqui. Esse conjunto passa a ser linearmente dependente. E não é isso o que a gente quer. Para ter uma base, a gente quer justamente um conjunto que seja linearmente independente e, portanto, esse conjunto aqui passa a não ser uma base para o r₂, porque eu tenho aqui um elemento sobrando dentro desse conjunto. Para que seja uma base do r₂ ele tem que ser extremamente eficiente. Eu preciso apenas de vetores que gerem todo r₂ e não pode ter ninguém sobrando. Espero que vocês tenham gostado e até um próximo vídeo!