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Álgebra linear
Curso: Álgebra linear > Unidade 1
Lição 4: Subespaços e a base para um subespaçoSubespaços lineares
Introdução a subespaços lineares de Rn. Versão original criada por Sal Khan.
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- Poderia me explicar por quê o espaço (1,1) em, é fechado para adição e multiplicação? Porque não estou conseguindo ver como, se multiplicar por um escalar ou somar por ele mesmo, não vai dar (1,1), vai dar algo fora desse espaço. E se possível, porque ele usou combinação linear, em 22:30para provar que formaria todo o Rn, uma vez que poderiam ser vetores nulos. 19:20
Pra mim não está de acordo com o início quando disse multiplicação escalar, e soma entre seus vetores têm de cair no subespaço(9 votos)
Transcrição de vídeo
RKA8JV - Agora eu acho que nós já
temos condições suficientes para entender o que é
um subespaço linear de Rⁿ. Deixe-me escrever isso aqui. Eu vou escrever apenas subespaço de Rⁿ, em vez de escrever subespaço linear de Rⁿ. Vou escrever subespaço de Rⁿ. Deixe-me fazer uma definição aqui. Eu vou dizer que "V" é um
subconjunto de vetores que está dentro de Rⁿ. Então, subconjunto de Rⁿ. Nós já dissemos o que significou o Rⁿ, né? É espaço linear infinito onde cada
um dos vetores tem "n" dimensões. Eu não vou definir isso formalmente, mas eu quero que você entenda
que ele tem "n" dimensões. Então o formato dele é
um formato "n" dimensional. O que eu quero que você entenda
é que este conjunto aqui pode ser escrito
da seguinte maneira. Então vamos fazer um tipo de vetor possível, que seria por exemplo, um vetor x₁, x₂, até xₙ. Aonde, quem são esses "n" aqui? Eu tenho que xᵢ, pertencente a "R", onde esse índice "i" aqui
está entre 1 e "n". Então vai de x₁ até xₙ. Aqui existem muitos vetores, na verdade, uma infinidade de vetores
com "n" dimensões. E o "V" neste caso aqui,
vai ser o quê? Ele vai ser um subconjunto
de todas as possibilidades desses vetores aqui. Ele até pode ser este conjunto
inteiro de vetores, mas ele também pode
ser um conjunto menor do que este conjunto
de vetores aqui, apenas uma parte deste conjunto. Talvez ele possa até ser um vetor
particular neste caso aqui. Então, neste caso, "V" é um subconjunto,
eles serão subespaços de Rⁿ. Deixe-me só fazer uma coisa para que
talvez você entenda melhor. Então, neste caso aqui,
nós temos todo Rⁿ. Então nós temos todo o Rⁿ, e aqui dentro a gente tem
o conjunto ''v". Aqui dentro nós temos um subconjunto,
que é o subconjunto ''v". Então, aqui é o subconjunto ''v" e ele vai ser um subespaço de Rⁿ. Então, vamos definir isto aqui
um pouquinho melhor. Eu vou fazer a minha definição
para o subespaço onde ''v" é o subespaço de Rⁿ. Então, eu vou fazer aqui
a minha definição para isso. Vamos lá. Para que "V" seja um subespaço de Rⁿ
eu preciso de 3 coisas. Então, a primeira delas é o seguinte: "V" tem que conter, então, o ''V" contém o vetor nulo. Vetor nulo, vetor zero. Nós podemos dizer o quê? Nós podemos dizer que este
vetor zero aqui, o vetor nulo, que está dentro do subespaço "V",
eu vou colocar aqui "V" maiúsculo. Isto aqui é o quê? Isto aqui é aquele vetor zero
e depois zero, zero, zero, zero, assim por diante, até
o último elemento do vetor, o último componente,
que também é zero. Eu ainda tenho uma outra
regra que diz o seguinte: se eu tenho aqui, um "x'', o vetor "x"
que está em "V", então, o vetor "x" que está
dentro desse subespaço "V", então, é um vetorzinho que está aqui, vetor "x", o que vai acontecer com esse vetor? Se eu pegar esse vetor e multiplicar por um escalar, "c'' vezes o vetor "x", isto aqui também tem que estar em "V". Então, para que "V" seja realmente
um subespaço de Rⁿ, isso aqui tem que acontecer. Então, a gente pode dizer o seguinte: que "V" é fechado para
a multiplicação escalar. Então, a gente vai dizer que "V" é fechado para a multiplicação escalar. O que quer dizer que "V" seja
fechado para multiplicação escalar? Bom, "V" ser fechado
para multiplicação escalar significa o seguinte: significa que quando eu pego
um vetor que está dentro de "V" e multiplico por um escalar, eu vou encontrar outro vetor
que também está dentro de "V". Então, o que eu quero
dizer é o seguinte, eu tenho aqui um vetor "x" que está dentro do meu subespaço "V", então, o vetor "x" está dentro
deste subespaço aqui, o subespaço "V", e aí, o que vai acontecer? Eu vou pegar este vetor "x" e vou multiplicar por um escalar "c". O meu vetor "x" está aqui, dentro do meu subespaço "V". Quando eu multiplico o vetor "x"
por "c", o que vai acontecer? Ele ainda continua
dentro do conjunto "V". Então, eu vou ter aqui, "cx" aqui dentro do meu conjunto "V". Ou seja, ele continua aqui dentro, aí a gente diz que ele é fechado
para a multiplicação escalar. Você pode se perguntar:
e se isso não acontecer? E se eu pegar aqui um
elemento qualquer "x" e multiplicar por um escalar e ele por exemplo, sei lá, cair aqui fora? Então, o que vai acontecer? Vai acontecer que este valor aqui, "cx",
não está dentro do conjunto. Então, o meu conjunto não é fechado
para multiplicação escalar e, neste caso, ele não é
um subespaço de Rⁿ. Esta aqui é a nossa segunda condição, e a nossa terceira condição
diz o seguinte: a nossa terceira condição
diz que se eu tenho um elemento "a", um vetor "a", e tenho aqui, também, o vetor "b"
dentro do meu conjunto "V". Então, o que acontece? Vamos escrever isso aqui. Então, eu tenho que "a" está em "V", está aqui no meu conjunto "V", "b" também está aqui no meu conjunto "V", e eu tenho que "a + b"
também vai estar em "V". Então posso dizer o seguinte: eu posso dizer, deixe-me
abaixar isso aqui um pouquinho, eu vou poder dizer que eles são
fechados também para a adição. Eu vou dizer que ele é fechado para a adição. Então, eu posso dizer isso, para a adição. Vou dizer que o meu subespaço "V"
é fechado para adição. Então, o que eu estou querendo
dizer é o seguinte: eu só tenho dois elementos aqui
dentro do meu conjunto "V", quaisquer dois elementos,
"a" e "b" por exemplo, então, quando eu sou somo
esses dois elementos, somo esses dois vetores, eles têm que continuar
dentro do conjunto "V". Então, eu terei que "a + b"
aqui neste caso continuará dentro do conjunto "V". Então, para ele ser um subespaço, eu tenho que ter aqui as 3 coisas, eu tenho que ter o seguinte: eu tenho que ter o meu conjunto "V"
tendo o elemento zero, o elemento nulo, eu tenho que ele precisa ser fechado
para a multiplicação escalar e para a adição de vetores. Bom, então, isso tudo aqui
implica o quê? Isso tudo aqui implica que eu terei um subespaço. Então, tudo isso me indica
que eu tenho um subespaço, quando tudo isso acontece. Talvez aqui fique um pouco
complicado para você agora, mas acredito que quando nós fizermos
um pouco mais de exemplos aqui, talvez você entenda um pouco melhor. Bom, também não sei se
os exemplos vão ajudar muito porque talvez isso seja
um pouco abstrato ainda, mas vamos tentar fazer alguns exemplos. Eu quero que você entenda isso de uma maneira um pouquinho mais formal, de forma um pouquinho mais matemática. Eu vou pegar aqui um conjunto bem simples para fazer isso. Então, vamos pegar aqui
um conjunto do tipo "V" que ele tenha apenas um elemento, que seja o elemento nulo. Então aqui, o elemento é o vetor nulo. Então, aqui, eu poderia escrever
assim também. Eu poderia escrever, vamos dizer aqui,
esse vetor nulo no R³. Vamos dizer que no R³
eu tenha zero, zero, zero. Então, o que eu quero saber é o seguinte: será que este conjunto, o conjunto "V", será que ele é um subespaço do R³? Então, o que eu estou
querendo saber aqui é se o meu conjunto "V", é um subespaço de R³. Será que "V" é um subespaço de R³? É isso que estou querendo saber
aqui neste momento. Então, como é que eu vou fazer isso? Eu tenho que checar aquelas 3 condições. E aí, a primeira condição é
que ele tenha o vetor zero, então, o vetor zero,
ele já tem o vetor zero, porque ele só tem o vetor
zero na verdade. Então, o vetor zero está ok. O vetor zero a gente já checou. A segunda coisa que eu tenho
que checar é o seguinte, se conjunto aqui vai ser fechado
para multiplicação escalar. Então, eu vou pegar o meu
único elemento, que é esse aqui [0, 0, 0]. Então, por exemplo,
se eu pegar esse elemento e multiplicar por um escalar, neste caso aqui, [0, 0, 0], multiplicado por um escalar, eu vou ter o quê? Eu tenho que ter um elemento que
ainda esteja dentro deste conjunto. Bom, mas isso aqui vai dar "c" vezes zero dá zero, "c" vezes zero, dá zero e "c" vezes zero também dá zero. Então, neste caso aqui, ele acabou dando o mesmo elemento
que já tinha dentro do conjunto, que aliás, neste caso,
é o único elemento, então, ele também é fechado
para multiplicação escalar. Então, ele é fechado para
a multiplicação escalar. Quando a gente pegou ali, e multiplicou por um escalar, ele continuou caindo aqui
dentro deste nosso conjunto "V". Então, isso aqui também foi checado. E a terceira condição
que eu vou checar agora é se ele é fechado para a adição. Será que este conjunto
é fechado para adição? Bom, na verdade eu só tenho uma opção. A única opção é pegar este vetor
e somar com ele mesmo. Então, eu tenho o vetor [0, 0, 0] e vou somar com quem? Vou somar com ele mesmo, [0, 0, 0]. Bom, e aí, o que vai acontecer? zero mais zero vai dar zero e zero mais zero vai dar zero. Então, eu continuo com o vetor [0, 0, 0], que claramente está dentro
aqui do meu subconjunto, do meu subespaço "V". Neste caso, ele é fechado para a adição. Então, ele é fechado para
a adição também. As nossas 3 condições estão satisfeitas. As 3 condições aqui foram satisfeitas. Eu tenho o vetor nulo, eu tenho que ele é fechado
para a multiplicação e também é fechado para a adição. Então, neste caso aqui,
o "V" é um subespaço de R³. Embora possa parecer bem simples, este "V" aqui este subconjunto "V",
é um subespaço de R³. Então somente para que isso fique
um pouquinho mais claro para você, deixe-me mostrar aqui um exemplo
do que não é um subespaço. Vamos lá. Deixe-me só colocar aqui, ajeitar aqui. Deixe-me subir isso aqui
um pouquinho também. Então, vamos lá. Vamos fazer aqui mais um exemplo para a gente entender
um pouquinho melhor. Vamos dizer que eu tenho
o meu subconjunto "S". Meu subconjunto "S"
vai ser da seguinte maneira: eu vou ter os meus vetores x₁ e x₂, eu vou colocar aqui no meu
plano cartesiano, no R². Então, eu tenho os meus
vetores do tipo x₁ e x₂, de forma que esses vetores, todos os vetores x₁ e x₂, tenho que x₁ tem que ser
maior ou igual a zero. Então, x₁ tem que ser
maior ou igual a zero. O que eu estou querendo
dizer com isso aqui? Estou querendo dizer o seguinte: Eu tenho aqui, x₁ e x₂. Neste caso aqui, o x₁ é positivo, então ele vai correr
toda esta linha aqui. O nosso x₂ pode ser positivo ou negativo. Então, o nosso x₂ vai estar aqui, dentro desta outra linha. Então, na verdade, a gente não está
correndo todo o R², mas está correndo parte do R² aqui. Nossos vetores estarão aqui dentro. Então, nossos vetores
estarão dentro desta região. Esta região aqui será
a região que abrigará os vetores compostos
aqui nesse conjunto "S". Logo neste caso aqui, todos os nossos vetores
estão apenas no primeiro e no quarto quadrante. Então, a pergunta que eu faço
para você é a seguinte: será que "S" é um subespaço de R²? Esta é a minha pergunta.
Será que "S" é um subespaço de R²? Então vamos pensar um pouquinho nisso. Vamos vamos tentar responder
a esta pergunta. E a primeira pergunta que nós
temos que nos fazer é a seguinte: será que este conjunto aqui
contém o vetor zero zero? Então eu preciso do vetor nulo,
vetor [0, 0]. Bom, sim né? Porque o vetor [0, 0] estaria
exatamente aqui, exatamente aqui neste ponto, porque x₁ pode ser maior ou igual a zero, e x₂ é livre. Então, esta questão aqui está ok. Agora, eu quero pensar
no seguinte: se eu pegar dois vetores. Então, por exemplo, eu vou pegar
dois vetores quaisquer aqui, que estejam dentro desta região
aqui do conjunto "S". Então, eu pego dois vetores aqui, e eu vou somar esses dois vetores, eu quero ver se eles continuam aqui
dentro do conjunto "S". Bom, então se eu fizer a soma aqui, eu vou ter o vetor para cá. Bom, então, eu vou ter
o meu vetor aqui assim. E eu posso pegar por exemplo,
um outro vetor aqui, então, tem as soma desses vetores. Na verdade eu estou só estou dando
a ideia do que eu estou fazendo, né. Eu estou pegando a soma de vetores e quero ver esses vetores caem,
ainda, dentro do conjunto "S". E se eu quiser fazer uma prova
um pouco mais formal disso aqui? Então, vamos pegar aqui
dois vetores, por exemplo, o vetor [a, b] e o vetor [c, d], e eu vou somar esses dois vetores. Eu vou somar o vetor [a, b]
com o vetor [c, d]. E quando eu somar esses dois vetores, eu vou encontrar um terceiro vetor. Esse terceiro vetor será o seguinte: "a + c", e aqui, "b + d". Então, eu tenho estas duas coordenadas
aqui para o meu terceiro vetor. Agora, aqui, eu tenho que
pensar o seguinte: eu tenho que pensar que "a ≥ 0",
já por definição. O "c" também é maior ou
igual a zero. Então aqui, "a ≥ 0"
e "c ≥ 0". Se eu somo dois números
maiores ou iguais a zero, então, quer dizer o quê? Quer dizer que todo este número aqui,
também vai ser maior ou igual a zero. Já com as coordenadas aqui de x₂,
eu não preciso me preocupar muito, porque "b + d" pode dar qualquer valor. Então, com certeza, este vetor,
se eu somo dois vetores quaisquer, ele continua sendo um
elemento do conjunto "S". Bom, então agora nós
podemos dizer o seguinte: nós podemos dizer que este conjunto aqui é fechado para a adição de vetores. Então, ele é fechado para
a adição de vetores. Bom, e por fim a gente tem
que garantir que isto aqui é fechado para multiplicação escalar. Vamos dizer que a gente pegue aqui
um vetor qualquer, um vetor [a, b]. E eu posso multiplicar este vetor
por qualquer escalar. Vamos dizer que eu multiplique ele por um escalar real igual a -1. Pode ser qualquer valor. Então, isso aqui vai dar o quê? Isso aqui vai dar [-a, -b], o que claramente já foge da nossa ideia, que a gente tinha inicialmente, porque o x₁ tem que ser positivo,
e como o "a" aqui é positivo, "-a" se torna negativo. Vamos fazer um exemplo aqui, vamos dizer que a gente
tenha o vetor [2, 4]. Então, a gente tem o vetor [2, 4] que está aqui assim né,
e aqui, assim. Aqui a gente tem o vetor [2, 4]. Este aqui é o nosso vetor. A gente tem o nosso vetor, e agora vamos pegar aqui o [-2, -4], que é este ponto aqui, [-2, -4],
[-a, -b]. Então o nosso vetor original
[a, b] é [2, 4], nosso vetor agora é [-2, -4] depois da multiplicação do escalar por -1. E aí a gente tem o quê? Claramente, este vetor aqui está caindo
fora do nosso conjunto padrão, que é o nosso conjunto "S", a gente está aqui fora deste conjunto. Então, já fica claro para
a gente o seguinte: que esse conjunto não é fechado
para multiplicação escalar, e, portanto, isso aqui
não é um subespaço. Vamos dizer que o "a" seja um número
positivo, estritamente positivo. Vamos esquecer que ele
possa ser zero também, vamos dizer que ele seja
positivo neste caso. Então, "-a" vai ser o quê? "-a" ser um número negativo. Então, se eu tenho que "-a"
é um número negativo, quer dizer o quê? Quer dizer que este vetor aqui
não faz parte do nosso conjunto "S", porque no nosso conjunto "S", o x₁, que é a primeira coordenada,
tem que ser o quê? Tem que ser maior ou igual a zero, e este valor aqui claramente
é menor do que zero. Isso aqui aconteceu por quê? Porque eu peguei o meu escalar -1
e multipliquei pelo meu x₁. E aí, quando eu multipliquei por x₁,
eu tive um valor negativo. Então, posso dizer o seguinte: que este subconjunto não é fechado, então não é fechado, para a multiplicação. Então, não é fechado para
a multiplicação escalar. Então é isso que aconteceu
aqui neste caso. Eu posso dizer o seguinte: eu posso dizer que esse conjunto
aqui não é um subespaço. Então, ele não é um subespaço, uma vez que ele não é fechado
para a multiplicação escalar. O que nós mostramos aqui é que este conjunto não é fechado
para a multiplicação escalar, logo, este conjunto "S" não é
um subespaço do que o R². Então é isso aqui que nós
acabamos de mostrar. Agora deixe-me fazer uma pergunta que
talvez seja interessante para você. Então vamos lá. Eu quero saber o seguinte: eu quero saber qual é o espaço gerado, então, eu quero saber
qual é o espaço gerado, vamos dizer por 3 vetores. Vamos dizer v₁, v₂, e v₃ dentro do Rⁿ. Então, se eu pegar estes 3 vetores aqui, será que eles são subespaço, um subespaço válido para o Rⁿ? Será que eles são
subespaço válido para o Rⁿ? Bom, e para que eu possa
utilizar esses 3 vetores, vou fazer uma combinação linear
desses 3 vetores. Na verdade, eu vou chamar esse
conjunto aqui de conjunto "U", que é a combinação linear
dos vetores v₁, v₂, e v₃. E aí você pode se perguntar: será que esses 3 elementos aqui
formam o vetor nulo? Bom, e a resposta é sim, se eu pego esses 3 elementos aqui
e multiplico cada um por zero, então, eu tenho 0v₁+ 0v₂ +0v₃, isso aqui dá o quê? Dá o zero. Então, dá aqui o meu elemento nulo, que nada mais é do que o meu vetor zero. Portanto, através dessa
combinação aqui, claramente eu o consigo o meu vetor nulo. Agora vamos pensar no seguinte: será que eu posso pegar um vetor "x", que é gerado através de uma combinação
linear desses 3 vetores? Por exemplo, o vetor "x" igual a c₁v₁, c₁ vezes o vetor v₁, que é a constante, mais c₂ vezes o vetor v₂ mais c₃ vezes o vetor v₃. Isso aqui dá o vetor "x" para mim. Será que isso aqui é fechado
para multiplicação escalar? Então, vamos dizer que eu multiplique
isso aqui tudo por "c". Vamos fazer "c" vezes "x". Isso aqui vai ser igual a, na verdade, deixe-me fazer
isso aqui com uma outra cor e também com uma outra constante. Deixe-me fazer isso aqui com
a constante "a". Eu vou pagar "a" e vou
multiplicar por "x". Então, isso aqui vai dar o quê? Aqui, basta multiplicar
todo mundo por "a", basta multiplicar a equação
inteira por "a". Então vai ficar
ac₁v₁ + ac₂v₂ e por fim aqui, mais "ac₃v₃" . Então é isso que eu tenho. Bom, e aqui, claramente, isso aqui é uma combinação
de duas constantes, duas constantes arbitrárias, o que me dá uma outra
constante arbitrária. Então, por exemplo, eu poderia reescrever
isso aqui da seguinte maneira: eu poderia reescrever isso da forma c₄v₁. Então, c₄v₁, mais c₅v₂. Neste caso aqui, isso aqui é o c₄, ac₁ é c₄,
ac₂ é c₅, mais c₆v₃. Eu poderia ter escrito dessa forma aqui. O que você pode reparar é o seguinte: isso aqui é uma combinação
linear dos vetores v₁, v₂ e v₃, que claramente estão aqui no
espaço gerado por v₁, v₂ e v₃. Então, com certeza, este
espaço gerado por v₁, v₂ e v₃ é fechado para multiplicação escalar. Portanto, isso aqui está em "U" e isso aqui é fechado para a multiplicação. Fechado para a multiplicação. Agora deixe-me provar aqui que isso
é um subespaço válido para Rⁿ. Então vamos lá. Para isso, vamos dizer que eu tenho
um segundo vetor, que é o vetor "y". Vetor "y" seja da forma d₁v₁ + d₂v₂ + d₃v₃. E eu quero saber o seguinte, o que será que vai dar,
o meu vetor "x" mais o meu vetor "y"? O que vai dar isso aqui? Então basta que eu faça o seguinte: basta que eu pegue o meu "x",
que é isso aqui, e some aqui com o meu ''y'', então, eu vou ter aqui o seguinte: (c₁ + d₁)v₁, que são esses dois aqui somados vezes v₁, mais (c₂ + d₂)v₂, eu tenho isso aqui,
mais esses caras aqui, o c₃v₃ e d₃v₃. Então, aqui eu tenho c₃ + d₃ vezes o meu vetor v₃. Então é isso que eu tenho. E claramente, isso aqui continua
sendo uma combinação linear porque c₁ + d₁ é uma constante arbitrária. c₂ + d₂ também é uma constante arbitrária e c₃ + d₃ também é uma
constante arbitrária. E estou usando os vetores v₁, v₂ e v₃, então, eu peguei 3 constantes arbitrárias que estamos multiplicando
pelos vetores v₁, v₂ e v₃. Então com certeza isso aqui é
uma combinação linear de v₁, v₂ e v₃. Portanto, o que eu posso dizer
é que o meu vetor v₁, o meu vetor v₂ e o meu vetor v₃ estão gerando o meu vetor "x + y". Então "x + y" com certeza está aqui, dentro do meu espaço
gerado por v₁, v₂ e v₃. Então com certeza nós
podemos dizer o seguinte: que isso aqui é fechado para a adição. Então, isso aqui é fechado para a adição. E aí você talvez me diga: "bom, tudo bem, até entendi
até aqui o que você disse, mas será que dá para mostrar
um exemplo prático disso?" Então bom, vamos tentar mostrar isso aqui. Para isso, vou pegar um espaço "U". O meu espaço "U", será um espaço gerado
por um vetor bem simples. Apenas pelo vetor [1, 1]. Então, apenas este vetor aqui
vai gerar o meu espaço. Vamos verificar isso aqui. E então, por exemplo, este vetor [1, 1]
está mais ou menos aqui assim. E se eu fizer a multiplicação escalar
deste vetor [1, 1] aqui, eu vou ter toda essa linha aqui. Toda essa linha aqui vai ser a multiplicação
escalar do vetor [1 ,1]. Aqui também, mutiplicação do escalar
por um número negativo, então, eu tenho toda esta linha aqui. Toda esta linha aqui vai dar
a multiplicação escalar por um número negativo. Então, com isso, eu estou mostrando que todos os vetores multiplicados
estão aqui nessa linha assim como todos os vetores somados. Se eu somar 2 vetores
dentro desta linha aqui, eles continuarão caindo dentro
desta linha aqui na sua posição original. Bom, e é claro que eu tenho o seguinte: é claro que aqui eu tenho o vetor [0, 0]. Bom, o vetor [0, 0] claramente está aqui, e eu poderia fazer o seguinte,
eu poderia pegar este vetor e multiplicar por zero,
meu escalar zero. Então, zero vezes 1,
isso daria o quê? Isso aqui daria o vetor [0, 0]. Então aqui, claramente,
eu tenho o vetor nulo. Eu posso mostrar ainda que qualquer
vetor aqui cai dentro desta linha, basta que eu pegue isso aqui
e multiplique por uma constante "c". Então multiplico "c" por [1, 1], e eu tenho "c" e "c" aqui, então, com certeza ele
cai dentro desta linha. Eu posso ainda mostrar que ele é fechado para a adição de vetores. Para mostrar que é fechado, basta pegar, por exemplo,
dois vetores. Vamos dizer o vetor "a", e aí o vetor "a" eu posso pegar aqui, o vetor seguinte maneira,
c₁[1, 1] mais o meu vetor "b". E "b" vai ser quem? "b" vai ser por exemplo o vetor c₂[1, 1]. Isso aqui vai ser o quê? Isso aqui vai ser igual a "c₁+ c₂", e isso aqui vezes 1. Mas "c₁ + c₂" é uma constante arbitrária e com certeza vai cair
dentro desta linha aqui quando multiplicar pelo vetor [1, 1]. Isso aqui com certeza faz parte do espaço gerado por [1, 1] que é uma constante
multiplicada por [1, 1], e isso aqui também faz parte,
porque isso aqui, "c₁ + c₂" pode ser chamado de uma
constante, por exemplo, c₃, então isso aqui também faz parte
do espaço gerado por [1, 1]. Talvez você queira ver isso aqui
de uma maneira um pouco mais visual, então vamos dizer que
eu tenha, por exemplo, aqui: este vetor aqui e eu some
com este vetor aqui. Então, somo estes 2 vetores. O que eu vou ter de resposta? A soma desses 2 vetores
vai dar esse vetor verde aqui. Esse vetor verde como resposta para
a soma destes 2 vetores. Eu não sei se você está conseguindo
enxergar isso aqui bem então, deixa eu forçar aqui
um pouquinho mais com uma cor um pouco mais vermelhada. Então, isso aqui é o nosso
vetor resultante. Bom, e qualquer vetor que eu
multiplicar por um escalar ou somar aqui, vai cair
dentro desta linha, basta eu multiplicar por
um outro escalar, qualquer coisa desse tipo. Então, nós mostramos que este espaço gerador é um espaço gerador
que tem o vetor [0, 0], vetor nulo, ele é fechado para
a multiplicação escalar, porque se eu multiplicar por um
escalar, sempre cai dentro desta linha, e se eu somar dois vetores que são gerados por este espaço aqui, ele também vai cair dentro desta linha. Ou seja, ele é um subespaço do R², embora seja um subespaço bem trivial. E a gente poderia ter visto aqui
também da seguinte forma: a gente mostrou aqui em cima, quando a gente pegou 3 vetores quaisquer, e a gente mostrou que esses 3 vetores
eram subespaço válido para o Rⁿ, desde que este espaço aqui
fosse gerado por esses 3 vetores. A gente poderia utilizar
a mesma ideia aqui e mostrar que isso aqui
também é verdade, através disso aqui que já foi
mostrado anteriormente. Bom, espero que vocês
tenham gostado e até um próximo vídeo!