Subespaços lineares

RKA8JV - Agora eu acho que nós já temos condições suficientes para entender o que é um subespaço linear de Rⁿ. Deixe-me escrever isso aqui. Eu vou escrever apenas subespaço de Rⁿ, em vez de escrever subespaço linear de Rⁿ. Vou escrever subespaço de Rⁿ. Deixe-me fazer uma definição aqui. Eu vou dizer que "V" é um subconjunto de vetores que está dentro de Rⁿ. Então, subconjunto de Rⁿ. Nós já dissemos o que significou o Rⁿ, né? É espaço linear infinito onde cada um dos vetores tem "n" dimensões. Eu não vou definir isso formalmente, mas eu quero que você entenda que ele tem "n" dimensões. Então o formato dele é um formato "n" dimensional. O que eu quero que você entenda é que este conjunto aqui pode ser escrito da seguinte maneira. Então vamos fazer um tipo de vetor possível, que seria por exemplo, um vetor x₁, x₂, até xₙ. Aonde, quem são esses "n" aqui? Eu tenho que xᵢ, pertencente a "R", onde esse índice "i" aqui está entre 1 e "n". Então vai de x₁ até xₙ. Aqui existem muitos vetores, na verdade, uma infinidade de vetores com "n" dimensões. E o "V" neste caso aqui, vai ser o quê? Ele vai ser um subconjunto de todas as possibilidades desses vetores aqui. Ele até pode ser este conjunto inteiro de vetores, mas ele também pode ser um conjunto menor do que este conjunto de vetores aqui, apenas uma parte deste conjunto. Talvez ele possa até ser um vetor particular neste caso aqui. Então, neste caso, "V" é um subconjunto, eles serão subespaços de Rⁿ. Deixe-me só fazer uma coisa para que talvez você entenda melhor. Então, neste caso aqui, nós temos todo Rⁿ. Então nós temos todo o Rⁿ, e aqui dentro a gente tem o conjunto ''v". Aqui dentro nós temos um subconjunto, que é o subconjunto ''v". Então, aqui é o subconjunto ''v" e ele vai ser um subespaço de Rⁿ. Então, vamos definir isto aqui um pouquinho melhor. Eu vou fazer a minha definição para o subespaço onde ''v" é o subespaço de Rⁿ. Então, eu vou fazer aqui a minha definição para isso. Vamos lá. Para que "V" seja um subespaço de Rⁿ eu preciso de 3 coisas. Então, a primeira delas é o seguinte: "V" tem que conter, então, o ''V" contém o vetor nulo. Vetor nulo, vetor zero. Nós podemos dizer o quê? Nós podemos dizer que este vetor zero aqui, o vetor nulo, que está dentro do subespaço "V", eu vou colocar aqui "V" maiúsculo. Isto aqui é o quê? Isto aqui é aquele vetor zero e depois zero, zero, zero, zero, assim por diante, até o último elemento do vetor, o último componente, que também é zero. Eu ainda tenho uma outra regra que diz o seguinte: se eu tenho aqui, um "x'', o vetor "x" que está em "V", então, o vetor "x" que está dentro desse subespaço "V", então, é um vetorzinho que está aqui, vetor "x", o que vai acontecer com esse vetor? Se eu pegar esse vetor e multiplicar por um escalar, "c'' vezes o vetor "x", isto aqui também tem que estar em "V". Então, para que "V" seja realmente um subespaço de Rⁿ, isso aqui tem que acontecer. Então, a gente pode dizer o seguinte: que "V" é fechado para a multiplicação escalar. Então, a gente vai dizer que "V" é fechado para a multiplicação escalar. O que quer dizer que "V" seja fechado para multiplicação escalar? Bom, "V" ser fechado para multiplicação escalar significa o seguinte: significa que quando eu pego um vetor que está dentro de "V" e multiplico por um escalar, eu vou encontrar outro vetor que também está dentro de "V". Então, o que eu quero dizer é o seguinte, eu tenho aqui um vetor "x" que está dentro do meu subespaço "V", então, o vetor "x" está dentro deste subespaço aqui, o subespaço "V", e aí, o que vai acontecer? Eu vou pegar este vetor "x" e vou multiplicar por um escalar "c". O meu vetor "x" está aqui, dentro do meu subespaço "V". Quando eu multiplico o vetor "x" por "c", o que vai acontecer? Ele ainda continua dentro do conjunto "V". Então, eu vou ter aqui, "cx" aqui dentro do meu conjunto "V". Ou seja, ele continua aqui dentro, aí a gente diz que ele é fechado para a multiplicação escalar. Você pode se perguntar: e se isso não acontecer? E se eu pegar aqui um elemento qualquer "x" e multiplicar por um escalar e ele por exemplo, sei lá, cair aqui fora? Então, o que vai acontecer? Vai acontecer que este valor aqui, "cx", não está dentro do conjunto. Então, o meu conjunto não é fechado para multiplicação escalar e, neste caso, ele não é um subespaço de Rⁿ. Esta aqui é a nossa segunda condição, e a nossa terceira condição diz o seguinte: a nossa terceira condição diz que se eu tenho um elemento "a", um vetor "a", e tenho aqui, também, o vetor "b" dentro do meu conjunto "V". Então, o que acontece? Vamos escrever isso aqui. Então, eu tenho que "a" está em "V", está aqui no meu conjunto "V", "b" também está aqui no meu conjunto "V", e eu tenho que "a + b" também vai estar em "V". Então posso dizer o seguinte: eu posso dizer, deixe-me abaixar isso aqui um pouquinho, eu vou poder dizer que eles são fechados também para a adição. Eu vou dizer que ele é fechado para a adição. Então, eu posso dizer isso, para a adição. Vou dizer que o meu subespaço "V" é fechado para adição. Então, o que eu estou querendo dizer é o seguinte: eu só tenho dois elementos aqui dentro do meu conjunto "V", quaisquer dois elementos, "a" e "b" por exemplo, então, quando eu sou somo esses dois elementos, somo esses dois vetores, eles têm que continuar dentro do conjunto "V". Então, eu terei que "a + b" aqui neste caso continuará dentro do conjunto "V". Então, para ele ser um subespaço, eu tenho que ter aqui as 3 coisas, eu tenho que ter o seguinte: eu tenho que ter o meu conjunto "V" tendo o elemento zero, o elemento nulo, eu tenho que ele precisa ser fechado para a multiplicação escalar e para a adição de vetores. Bom, então, isso tudo aqui implica o quê? Isso tudo aqui implica que eu terei um subespaço. Então, tudo isso me indica que eu tenho um subespaço, quando tudo isso acontece. Talvez aqui fique um pouco complicado para você agora, mas acredito que quando nós fizermos um pouco mais de exemplos aqui, talvez você entenda um pouco melhor. Bom, também não sei se os exemplos vão ajudar muito porque talvez isso seja um pouco abstrato ainda, mas vamos tentar fazer alguns exemplos. Eu quero que você entenda isso de uma maneira um pouquinho mais formal, de forma um pouquinho mais matemática. Eu vou pegar aqui um conjunto bem simples para fazer isso. Então, vamos pegar aqui um conjunto do tipo "V" que ele tenha apenas um elemento, que seja o elemento nulo. Então aqui, o elemento é o vetor nulo. Então, aqui, eu poderia escrever assim também. Eu poderia escrever, vamos dizer aqui, esse vetor nulo no R³. Vamos dizer que no R³ eu tenha zero, zero, zero. Então, o que eu quero saber é o seguinte: será que este conjunto, o conjunto "V", será que ele é um subespaço do R³? Então, o que eu estou querendo saber aqui é se o meu conjunto "V", é um subespaço de R³. Será que "V" é um subespaço de R³? É isso que estou querendo saber aqui neste momento. Então, como é que eu vou fazer isso? Eu tenho que checar aquelas 3 condições. E aí, a primeira condição é que ele tenha o vetor zero, então, o vetor zero, ele já tem o vetor zero, porque ele só tem o vetor zero na verdade. Então, o vetor zero está ok. O vetor zero a gente já checou. A segunda coisa que eu tenho que checar é o seguinte, se conjunto aqui vai ser fechado para multiplicação escalar. Então, eu vou pegar o meu único elemento, que é esse aqui [0, 0, 0]. Então, por exemplo, se eu pegar esse elemento e multiplicar por um escalar, neste caso aqui, [0, 0, 0], multiplicado por um escalar, eu vou ter o quê? Eu tenho que ter um elemento que ainda esteja dentro deste conjunto. Bom, mas isso aqui vai dar "c" vezes zero dá zero, "c" vezes zero, dá zero e "c" vezes zero também dá zero. Então, neste caso aqui, ele acabou dando o mesmo elemento que já tinha dentro do conjunto, que aliás, neste caso, é o único elemento, então, ele também é fechado para multiplicação escalar. Então, ele é fechado para a multiplicação escalar. Quando a gente pegou ali, e multiplicou por um escalar, ele continuou caindo aqui dentro deste nosso conjunto "V". Então, isso aqui também foi checado. E a terceira condição que eu vou checar agora é se ele é fechado para a adição. Será que este conjunto é fechado para adição? Bom, na verdade eu só tenho uma opção. A única opção é pegar este vetor e somar com ele mesmo. Então, eu tenho o vetor [0, 0, 0] e vou somar com quem? Vou somar com ele mesmo, [0, 0, 0]. Bom, e aí, o que vai acontecer? zero mais zero vai dar zero e zero mais zero vai dar zero. Então, eu continuo com o vetor [0, 0, 0], que claramente está dentro aqui do meu subconjunto, do meu subespaço "V". Neste caso, ele é fechado para a adição. Então, ele é fechado para a adição também. As nossas 3 condições estão satisfeitas. As 3 condições aqui foram satisfeitas. Eu tenho o vetor nulo, eu tenho que ele é fechado para a multiplicação e também é fechado para a adição. Então, neste caso aqui, o "V" é um subespaço de R³. Embora possa parecer bem simples, este "V" aqui este subconjunto "V", é um subespaço de R³. Então somente para que isso fique um pouquinho mais claro para você, deixe-me mostrar aqui um exemplo do que não é um subespaço. Vamos lá. Deixe-me só colocar aqui, ajeitar aqui. Deixe-me subir isso aqui um pouquinho também. Então, vamos lá. Vamos fazer aqui mais um exemplo para a gente entender um pouquinho melhor. Vamos dizer que eu tenho o meu subconjunto "S". Meu subconjunto "S" vai ser da seguinte maneira: eu vou ter os meus vetores x₁ e x₂, eu vou colocar aqui no meu plano cartesiano, no R². Então, eu tenho os meus vetores do tipo x₁ e x₂, de forma que esses vetores, todos os vetores x₁ e x₂, tenho que x₁ tem que ser maior ou igual a zero. Então, x₁ tem que ser maior ou igual a zero. O que eu estou querendo dizer com isso aqui? Estou querendo dizer o seguinte: Eu tenho aqui, x₁ e x₂. Neste caso aqui, o x₁ é positivo, então ele vai correr toda esta linha aqui. O nosso x₂ pode ser positivo ou negativo. Então, o nosso x₂ vai estar aqui, dentro desta outra linha. Então, na verdade, a gente não está correndo todo o R², mas está correndo parte do R² aqui. Nossos vetores estarão aqui dentro. Então, nossos vetores estarão dentro desta região. Esta região aqui será a região que abrigará os vetores compostos aqui nesse conjunto "S". Logo neste caso aqui, todos os nossos vetores estão apenas no primeiro e no quarto quadrante. Então, a pergunta que eu faço para você é a seguinte: será que "S" é um subespaço de R²? Esta é a minha pergunta. Será que "S" é um subespaço de R²? Então vamos pensar um pouquinho nisso. Vamos vamos tentar responder a esta pergunta. E a primeira pergunta que nós temos que nos fazer é a seguinte: será que este conjunto aqui contém o vetor zero zero? Então eu preciso do vetor nulo, vetor [0, 0]. Bom, sim né? Porque o vetor [0, 0] estaria exatamente aqui, exatamente aqui neste ponto, porque x₁ pode ser maior ou igual a zero, e x₂ é livre. Então, esta questão aqui está ok. Agora, eu quero pensar no seguinte: se eu pegar dois vetores. Então, por exemplo, eu vou pegar dois vetores quaisquer aqui, que estejam dentro desta região aqui do conjunto "S". Então, eu pego dois vetores aqui, e eu vou somar esses dois vetores, eu quero ver se eles continuam aqui dentro do conjunto "S". Bom, então se eu fizer a soma aqui, eu vou ter o vetor para cá. Bom, então, eu vou ter o meu vetor aqui assim. E eu posso pegar por exemplo, um outro vetor aqui, então, tem as soma desses vetores. Na verdade eu estou só estou dando a ideia do que eu estou fazendo, né. Eu estou pegando a soma de vetores e quero ver esses vetores caem, ainda, dentro do conjunto "S". E se eu quiser fazer uma prova um pouco mais formal disso aqui? Então, vamos pegar aqui dois vetores, por exemplo, o vetor [a, b] e o vetor [c, d], e eu vou somar esses dois vetores. Eu vou somar o vetor [a, b] com o vetor [c, d]. E quando eu somar esses dois vetores, eu vou encontrar um terceiro vetor. Esse terceiro vetor será o seguinte: "a + c", e aqui, "b + d". Então, eu tenho estas duas coordenadas aqui para o meu terceiro vetor. Agora, aqui, eu tenho que pensar o seguinte: eu tenho que pensar que "a ≥ 0", já por definição. O "c" também é maior ou igual a zero. Então aqui, "a ≥ 0" e "c ≥ 0". Se eu somo dois números maiores ou iguais a zero, então, quer dizer o quê? Quer dizer que todo este número aqui, também vai ser maior ou igual a zero. Já com as coordenadas aqui de x₂, eu não preciso me preocupar muito, porque "b + d" pode dar qualquer valor. Então, com certeza, este vetor, se eu somo dois vetores quaisquer, ele continua sendo um elemento do conjunto "S". Bom, então agora nós podemos dizer o seguinte: nós podemos dizer que este conjunto aqui é fechado para a adição de vetores. Então, ele é fechado para a adição de vetores. Bom, e por fim a gente tem que garantir que isto aqui é fechado para multiplicação escalar. Vamos dizer que a gente pegue aqui um vetor qualquer, um vetor [a, b]. E eu posso multiplicar este vetor por qualquer escalar. Vamos dizer que eu multiplique ele por um escalar real igual a -1. Pode ser qualquer valor. Então, isso aqui vai dar o quê? Isso aqui vai dar [-a, -b], o que claramente já foge da nossa ideia, que a gente tinha inicialmente, porque o x₁ tem que ser positivo, e como o "a" aqui é positivo, "-a" se torna negativo. Vamos fazer um exemplo aqui, vamos dizer que a gente tenha o vetor [2, 4]. Então, a gente tem o vetor [2, 4] que está aqui assim né, e aqui, assim. Aqui a gente tem o vetor [2, 4]. Este aqui é o nosso vetor. A gente tem o nosso vetor, e agora vamos pegar aqui o [-2, -4], que é este ponto aqui, [-2, -4], [-a, -b]. Então o nosso vetor original [a, b] é [2, 4], nosso vetor agora é [-2, -4] depois da multiplicação do escalar por -1. E aí a gente tem o quê? Claramente, este vetor aqui está caindo fora do nosso conjunto padrão, que é o nosso conjunto "S", a gente está aqui fora deste conjunto. Então, já fica claro para a gente o seguinte: que esse conjunto não é fechado para multiplicação escalar, e, portanto, isso aqui não é um subespaço. Vamos dizer que o "a" seja um número positivo, estritamente positivo. Vamos esquecer que ele possa ser zero também, vamos dizer que ele seja positivo neste caso. Então, "-a" vai ser o quê? "-a" ser um número negativo. Então, se eu tenho que "-a" é um número negativo, quer dizer o quê? Quer dizer que este vetor aqui não faz parte do nosso conjunto "S", porque no nosso conjunto "S", o x₁, que é a primeira coordenada, tem que ser o quê? Tem que ser maior ou igual a zero, e este valor aqui claramente é menor do que zero. Isso aqui aconteceu por quê? Porque eu peguei o meu escalar -1 e multipliquei pelo meu x₁. E aí, quando eu multipliquei por x₁, eu tive um valor negativo. Então, posso dizer o seguinte: que este subconjunto não é fechado, então não é fechado, para a multiplicação. Então, não é fechado para a multiplicação escalar. Então é isso que aconteceu aqui neste caso. Eu posso dizer o seguinte: eu posso dizer que esse conjunto aqui não é um subespaço. Então, ele não é um subespaço, uma vez que ele não é fechado para a multiplicação escalar. O que nós mostramos aqui é que este conjunto não é fechado para a multiplicação escalar, logo, este conjunto "S" não é um subespaço do que o R². Então é isso aqui que nós acabamos de mostrar. Agora deixe-me fazer uma pergunta que talvez seja interessante para você. Então vamos lá. Eu quero saber o seguinte: eu quero saber qual é o espaço gerado, então, eu quero saber qual é o espaço gerado, vamos dizer por 3 vetores. Vamos dizer v₁, v₂, e v₃ dentro do Rⁿ. Então, se eu pegar estes 3 vetores aqui, será que eles são subespaço, um subespaço válido para o Rⁿ? Será que eles são subespaço válido para o Rⁿ? Bom, e para que eu possa utilizar esses 3 vetores, vou fazer uma combinação linear desses 3 vetores. Na verdade, eu vou chamar esse conjunto aqui de conjunto "U", que é a combinação linear dos vetores v₁, v₂, e v₃. E aí você pode se perguntar: será que esses 3 elementos aqui formam o vetor nulo? Bom, e a resposta é sim, se eu pego esses 3 elementos aqui e multiplico cada um por zero, então, eu tenho 0v₁+ 0v₂ +0v₃, isso aqui dá o quê? Dá o zero. Então, dá aqui o meu elemento nulo, que nada mais é do que o meu vetor zero. Portanto, através dessa combinação aqui, claramente eu o consigo o meu vetor nulo. Agora vamos pensar no seguinte: será que eu posso pegar um vetor "x", que é gerado através de uma combinação linear desses 3 vetores? Por exemplo, o vetor "x" igual a c₁v₁, c₁ vezes o vetor v₁, que é a constante, mais c₂ vezes o vetor v₂ mais c₃ vezes o vetor v₃. Isso aqui dá o vetor "x" para mim. Será que isso aqui é fechado para multiplicação escalar? Então, vamos dizer que eu multiplique isso aqui tudo por "c". Vamos fazer "c" vezes "x". Isso aqui vai ser igual a, na verdade, deixe-me fazer isso aqui com uma outra cor e também com uma outra constante. Deixe-me fazer isso aqui com a constante "a". Eu vou pagar "a" e vou multiplicar por "x". Então, isso aqui vai dar o quê? Aqui, basta multiplicar todo mundo por "a", basta multiplicar a equação inteira por "a". Então vai ficar ac₁v₁ + ac₂v₂ e por fim aqui, mais "ac₃v₃" . Então é isso que eu tenho. Bom, e aqui, claramente, isso aqui é uma combinação de duas constantes, duas constantes arbitrárias, o que me dá uma outra constante arbitrária. Então, por exemplo, eu poderia reescrever isso aqui da seguinte maneira: eu poderia reescrever isso da forma c₄v₁. Então, c₄v₁, mais c₅v₂. Neste caso aqui, isso aqui é o c₄, ac₁ é c₄, ac₂ é c₅, mais c₆v₃. Eu poderia ter escrito dessa forma aqui. O que você pode reparar é o seguinte: isso aqui é uma combinação linear dos vetores v₁, v₂ e v₃, que claramente estão aqui no espaço gerado por v₁, v₂ e v₃. Então, com certeza, este espaço gerado por v₁, v₂ e v₃ é fechado para multiplicação escalar. Portanto, isso aqui está em "U" e isso aqui é fechado para a multiplicação. Fechado para a multiplicação. Agora deixe-me provar aqui que isso é um subespaço válido para Rⁿ. Então vamos lá. Para isso, vamos dizer que eu tenho um segundo vetor, que é o vetor "y". Vetor "y" seja da forma d₁v₁ + d₂v₂ + d₃v₃. E eu quero saber o seguinte, o que será que vai dar, o meu vetor "x" mais o meu vetor "y"? O que vai dar isso aqui? Então basta que eu faça o seguinte: basta que eu pegue o meu "x", que é isso aqui, e some aqui com o meu ''y'', então, eu vou ter aqui o seguinte: (c₁ + d₁)v₁, que são esses dois aqui somados vezes v₁, mais (c₂ + d₂)v₂, eu tenho isso aqui, mais esses caras aqui, o c₃v₃ e d₃v₃. Então, aqui eu tenho c₃ + d₃ vezes o meu vetor v₃. Então é isso que eu tenho. E claramente, isso aqui continua sendo uma combinação linear porque c₁ + d₁ é uma constante arbitrária. c₂ + d₂ também é uma constante arbitrária e c₃ + d₃ também é uma constante arbitrária. E estou usando os vetores v₁, v₂ e v₃, então, eu peguei 3 constantes arbitrárias que estamos multiplicando pelos vetores v₁, v₂ e v₃. Então com certeza isso aqui é uma combinação linear de v₁, v₂ e v₃. Portanto, o que eu posso dizer é que o meu vetor v₁, o meu vetor v₂ e o meu vetor v₃ estão gerando o meu vetor "x + y". Então "x + y" com certeza está aqui, dentro do meu espaço gerado por v₁, v₂ e v₃. Então com certeza nós podemos dizer o seguinte: que isso aqui é fechado para a adição. Então, isso aqui é fechado para a adição. E aí você talvez me diga: "bom, tudo bem, até entendi até aqui o que você disse, mas será que dá para mostrar um exemplo prático disso?" Então bom, vamos tentar mostrar isso aqui. Para isso, vou pegar um espaço "U". O meu espaço "U", será um espaço gerado por um vetor bem simples. Apenas pelo vetor [1, 1]. Então, apenas este vetor aqui vai gerar o meu espaço. Vamos verificar isso aqui. E então, por exemplo, este vetor [1, 1] está mais ou menos aqui assim. E se eu fizer a multiplicação escalar deste vetor [1, 1] aqui, eu vou ter toda essa linha aqui. Toda essa linha aqui vai ser a multiplicação escalar do vetor [1 ,1]. Aqui também, mutiplicação do escalar por um número negativo, então, eu tenho toda esta linha aqui. Toda esta linha aqui vai dar a multiplicação escalar por um número negativo. Então, com isso, eu estou mostrando que todos os vetores multiplicados estão aqui nessa linha assim como todos os vetores somados. Se eu somar 2 vetores dentro desta linha aqui, eles continuarão caindo dentro desta linha aqui na sua posição original. Bom, e é claro que eu tenho o seguinte: é claro que aqui eu tenho o vetor [0, 0]. Bom, o vetor [0, 0] claramente está aqui, e eu poderia fazer o seguinte, eu poderia pegar este vetor e multiplicar por zero, meu escalar zero. Então, zero vezes 1, isso daria o quê? Isso aqui daria o vetor [0, 0]. Então aqui, claramente, eu tenho o vetor nulo. Eu posso mostrar ainda que qualquer vetor aqui cai dentro desta linha, basta que eu pegue isso aqui e multiplique por uma constante "c". Então multiplico "c" por [1, 1], e eu tenho "c" e "c" aqui, então, com certeza ele cai dentro desta linha. Eu posso ainda mostrar que ele é fechado para a adição de vetores. Para mostrar que é fechado, basta pegar, por exemplo, dois vetores. Vamos dizer o vetor "a", e aí o vetor "a" eu posso pegar aqui, o vetor seguinte maneira, c₁[1, 1] mais o meu vetor "b". E "b" vai ser quem? "b" vai ser por exemplo o vetor c₂[1, 1]. Isso aqui vai ser o quê? Isso aqui vai ser igual a "c₁+ c₂", e isso aqui vezes 1. Mas "c₁ + c₂" é uma constante arbitrária e com certeza vai cair dentro desta linha aqui quando multiplicar pelo vetor [1, 1]. Isso aqui com certeza faz parte do espaço gerado por [1, 1] que é uma constante multiplicada por [1, 1], e isso aqui também faz parte, porque isso aqui, "c₁ + c₂" pode ser chamado de uma constante, por exemplo, c₃, então isso aqui também faz parte do espaço gerado por [1, 1]. Talvez você queira ver isso aqui de uma maneira um pouco mais visual, então vamos dizer que eu tenha, por exemplo, aqui: este vetor aqui e eu some com este vetor aqui. Então, somo estes 2 vetores. O que eu vou ter de resposta? A soma desses 2 vetores vai dar esse vetor verde aqui. Esse vetor verde como resposta para a soma destes 2 vetores. Eu não sei se você está conseguindo enxergar isso aqui bem então, deixa eu forçar aqui um pouquinho mais com uma cor um pouco mais vermelhada. Então, isso aqui é o nosso vetor resultante. Bom, e qualquer vetor que eu multiplicar por um escalar ou somar aqui, vai cair dentro desta linha, basta eu multiplicar por um outro escalar, qualquer coisa desse tipo. Então, nós mostramos que este espaço gerador é um espaço gerador que tem o vetor [0, 0], vetor nulo, ele é fechado para a multiplicação escalar, porque se eu multiplicar por um escalar, sempre cai dentro desta linha, e se eu somar dois vetores que são gerados por este espaço aqui, ele também vai cair dentro desta linha. Ou seja, ele é um subespaço do R², embora seja um subespaço bem trivial. E a gente poderia ter visto aqui também da seguinte forma: a gente mostrou aqui em cima, quando a gente pegou 3 vetores quaisquer, e a gente mostrou que esses 3 vetores eram subespaço válido para o Rⁿ, desde que este espaço aqui fosse gerado por esses 3 vetores. A gente poderia utilizar a mesma ideia aqui e mostrar que isso aqui também é verdade, através disso aqui que já foi mostrado anteriormente. Bom, espero que vocês tenham gostado e até um próximo vídeo!