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Soma de vetores algébrica e graficamente

Transcrição de vídeo

RKA2G Temos aqui representados os vetores "a" e "b" usando a notação de coluna, bastante simples de se trabalhar. E este vídeo pretende mostrar a você como se faz, tanto analiticamente como graficamente, a adição, a soma vetorial, usando esses vetores do exemplo. Vamos dar uma olhada primeiro nos dois vetores. A gente pode verificar que ambos são vetores bidimensionais, têm duas dimensões. Então nós podemos escrever aqui, para maior clareza, que tanto o vetor "a" como o vetor "b"... Olha só, eu esqueci. Não pode se esquecer da flechinha, senão, não é um vetor. Tanto o vetor "a" como o vetor "b" (agora, sim, são dois vetores) pertencem ao espaço R², o espaço em duas dimensões. O vetor soma, você vai ver, também vai ter duas dimensões. Vamos representar esse vetor, escolher uma corzinha para ele, também usando a notação coluna, que é uma notação bastante simples. Inclusive, bastante simples de a gente trabalhar, como você vai ver. Veja só, para eu determinar o vetor soma, basta a gente fazer a soma, fazer a adição da componente horizontal do vetor "a" com a componente horizontal do vetor "b". Sempre o horizontal está em cima e o vertical, embaixo, sempre nesta ordem. Vamos lá. Somando aqui: 6 mais 4 negativo. Tenho 6, devo 4, fico com 2. Tenho o valor 2 positivo. Na componente vertical: -2 para o vetor "a" e 4 para o vetor "b". Devo 2, pago 4, continuo com 2 de saldo. Valor 2 positivo. Então, as coordenadas do vetor soma são 2 positivo em x e 2 positivo em y. Para enxergar bem isso, nada melhor do que usar o gráfico, fazer a representação gráfica dos vetores "a" e "b". Vamos começar pelo vetor "a", como é bastante simples. Ele tem dimensão horizontal 6 e dimensão vertical 2 negativo. Para ficar mais simples ainda, o ideal é começar da origem, embora não seja obrigatório. Você pode começar o desenho de onde quiser. Vamos colocar a origem do vetor "a" na origem do sistema coordenado. A dimensão horizontal é igual a 6 unidades. Vamos lá: 1, 2, 3, 4, 5, 6 unidades no eixo x, sentido positivo e duas unidades paralelo ao eixo y, no sentido negativo. Temos aqui a extremidade do vetor "a". Vamos fazer o desenho dele tão reto quanto a gente conseguir. Muito bem. O tamanho do vetor que eu acabei de desenhar representa seu módulo, sua intensidade. Comumente, a gente diz módulo. A reta infinita à qual ele é paralelo representa sua direção e a flecha representa o sentido do vetor "a". Este vetor, como eu disse, pode ser desenhado em qualquer lugar. Vamos dar uma copiada aqui, dar um jeito de copiar este vetor e representar em qualquer lugar que a gente queira. Pode ser aqui no meio do terceiro e quarto quadrantes, pode ser também lá no primeiro quadrante exclusivamente. Onde a gente quiser, nós vamos ter o mesmo vetor. Mesma intensidade, mesma direção e mesmo sentido do vetor "a". Representa exatamente a mesma coisa. O local de origem não importa. Este foi o vetor "a". Vamos representar também o vetor "b". Que tal pausar o vídeo e tentar você mesmo fazer isso? O vetor "b", se a gente começar aqui na origem, é bastante simples. Então, na origem, o início do vetor "b". A dimensão horizontal dele tem quatro unidades no sentido negativo, vamos lá: 1, 2, 3, 4 A dimensão vertical: 4, mas no sentido positivo. 1, 2, 3, 4. Chegamos à extremidade do vetor "b". Agora é só fazer o desenho. Uma linha aqui, entre a origem e a extremidade, não esquecendo do sentido do vetor. Aqui está o vetor "b", que também pode ser copiado e pode ser colocado em qualquer lugar que a gente queira. Então, vamos ao vetor "b", vamos lá... Copiando e colando onde a gente quiser, vamos colocar no terceiro quadrante exclusivamente, vamos colocar também um vetor "b" ali no quarto quadrante. Muito bem. Bastante simples de representar. E veja que são todos iguais, todos paralelos ao vetor "b". Agora vamos tratar geometricamente do vetor soma. A gente tem as suas coordenadas aqui: 2 positivo e 2 negativo. Partindo, também, da origem para simplificar, vamos lá. 2 no sentido positivo na horizontal e 2 unidades no sentido positivo vertical. 2 positivo na horizontal, 2 unidades em sentido positivo da vertical, chegamos aqui. Origem (coincidente com a origem do sistema) e extremidade do vetor soma (2, 2). Vamos desenhar o vetor soma, sua flechinha... Muito bem. Este vetor representa a soma do vetor "a" com o vetor "b". Para você ter uma ideia fisicamente do que isso representa, pense que você está nadando em um rio. Você está nadando em uma determinada velocidade, a intensidade está marcada por este vetor. E você nada deste ponto até este. Só que esse rio tem uma correnteza que tem esta intensidade aqui. Então, se você partir deste ponto e nadar com a sua velocidade, sabe onde você vai parar? Por causa da correnteza, você vai parar exatamente na extremidade do vetor soma. É assim que funciona. E a soma vetorial, graficamente a gente pode representar de uma maneira mais lógica fazendo o seguinte: nós temos aqui o vetor "a". Na extremidade do vetor "a", nós vamos desenhar o início do vetor "b". Vamos ver como é que a gente faz isso. Aqui está o vetor "b", que a gente já tinha copiado antes. Vamos desenhar o início do vetor "b" na extremidade do vetor "a". Veja que a extremidade de "b" coincide com a extremidade do vetor soma. É exatamente isso que a gente tem aqui. É a soma vetorial representada graficamente. O vetor soma começa no início do vetor "a" e termina, tem a extremidade na extremidade do vetor "b". Representa a soma de maneira gráfica, bastante simples de se representar. Aqui nós fizemos "a + b". Primeiro o vetor "a" e depois o vetor "b", chegando ao mesmo ponto. E se nós fizéssemos o contrário? Será que "a + b" é a mesma coisa... Vamos fazer a conta de maneira analítica, fazer a adição vetorial. Vetor soma, vamos caprichar um pouquinho aqui. Vetor "b" mais vetor "a". O que acontece se a gente fizer a soma de outra maneira? Será que a soma vetorial também tem propriedade comutativa, assim como a soma dos números reais? Vamos lá, vamos usar a notação de coluna e pensar. "b + a", veja só: -4 + 6. Devo 4, pago 6, realmente tenho 2 positivo. Agora, na dimensão vertical. Tenho 4, mas devo 2. Então, fico com 2 apenas. Se eu pagar 4, fico com 2 apenas positivo. Veja só, analiticamente chegamos ao mesmo resultado. E graficamente, com certeza, vamos chegar também. Vamos examinar como é que funciona . Vamos usar aqui... A gente tem o vetor "b". Nós vamos fazer a adição, vamos desenhar, copiando aqui o vetor "a". Veja só o que acontece: eu vou copiar o vetor "a" e colar, de modo que o início do vetor "a" está na extremidade do vetor "b". Veja o que vai acontecer: vou chegar novamente à extremidade do vetor soma, mostrando que dá na mesma, tanto faz você fazer "a + b" como "b + a". Tanto analítica quanto graficamente obtém o mesmo resultado.