Exemplos de vetor

RKA - O que é o Rⁿ, sobre o que são os vetores, sobre o que são as adições entre vetores, e até mesmo a multiplicação de escalar por um vetor. Mas, nesse vídeo, eu quero voltar ao básico e fazer o que seja mais tangível possível para que você entenda essa matéria. Na verdade, eu quero que você entenda como é que funcionam as somas de vetores, qualquer tipo de operação que nós podemos fazer com eles. Então, deixe-me desenhar um par de vetores aqui. Na verdade, eu vou desenhar esses vetores na maioria das vezes no R². Por que no R²? Porque é mais fácil de eu desenhar. Então, eu vou utilizar sempre o R². E lembre-se de que o conjunto do R² é o conjunto ordenado que tem todas as duas tuplas. Então, o conjunto ordenado que tem duas tuplas, né? Isso aqui pode ser expresso como? Pode ser expresso como (x₁, x₂), onde "x₁" pertence a R (pertence ao conjunto dos números reais), e “x₂” também (“x₂” pertence ao conjunto dos números reais). E, isso parece fazer sentido, né? Eu tenho aqui um eixo, onde vou trabalhar com (x₁, x₂), e eu vou colocar todas as coordenadas de (x₁, x₂) aqui nesse meu eixo. Eu posso pegar esse par aqui e dizer o seguinte, eu posso pegar esse par e dizer que este eixo vai ser o eixo “x₁”, e o outro eixo (tradicionalmente, como é o segundo eixo) será o eixo vertical, o eixo “x₂”. Então, vou trabalhar com “x₁” na horizontal e “x₂” na vertical. E você poderia representar todos os pontos do R² nesse plano cartesiano. Se você seguisse em todas as direções, por exemplo, seguisse nessa direção aqui, na outra direção, em todas as direções. Então, o conjunto de todos os pontos, em todas as direções aqui, infinitamente, é o R². Isso é que é o R². O R¹ seria apenas pontos espalhados em cima de apenas uma dessas linhas, então, apenas uma dessas linhas seria o R¹. Então, quando você compara com o R², você vê que o R² é alguma coisa bem maior, bem maior do que o R¹. De qualquer forma, eu falei para você que eu não seria muito abstrato, que eu só queria mostrar alguns exemplos. Então, vamos obter alguns vetores que vão em R². Então, o meu primeiro vetor vai ser o vetor "a". Vetor "a", que eu vou dizer que ele é o vetor (-1, 2). Então, esse aqui vai ser o meu vetor "a". E vamos dizer que o meu vetor "b" será o vetor, por exemplo, (3, 1). Então, o vetor (3, 1) é o meu vetor "b". E, então, vamos realizar uma operação com isso. Vamos utilizar, por exemplo, a operação de adição. Então, vamos fazer aqui "a + b". E "a + b" vai ser o quê? Bom, isso aqui vai ser, utilizando a nossa definição, "-1 + 3" aqui em cima; e, aqui embaixo, "2 + 1". Isso aqui vai ser igual a 2... em cima dá 2 e embaixo dá 3. Então, isso daqui vai ser (2, 3) e utilizamos apenas a nossa definição para adição. E, muito provavelmente, isso aqui está certo, porque isso saiu da nossa definição de adição. Mas como eu posso representar essa adição de vetores aqui no nosso plano cartesiano? E você sabe como é que nós colocamos pontos aqui nesses eixos, né? Como é que nós colocamos esses pontos aqui? Bom, vamos imaginar que eu tenha o ponto, por exemplo, (1, 1). Como é que eu coloco o ponto (1, 1) aqui? Então, eu ando na direção... primeiro, aqui, é o eixo "x", né? Esse primeiro eixo aqui, o eixo horizontal, “x₁”. E o segundo eixo aqui vai ser o meu “x₂”, o eixo vertical. Então, aqui, por convenção, eu vou andar 1 casa para a direita (para os positivos). Então, aqui. E aqui eu vou andar 1 para cima. Então, aqui e aqui (então, o ponto está aqui). Opa! Na verdade, me desculpa, aqui é o ponto (2, 2). Então, deixe-me voltar aqui. O ponto (1, 1) está aqui. Aqui é 1, mais ou menos aqui no meio; e aqui também é 1. Então, na verdade, esse ponto está mais ou menos aqui assim. Mas essa é apenas a convenção para representarmos pontos. Agora, qual é a convenção que nós temos para representar vetores? Bom, para representar vetores, na verdade, eu posso começar de qualquer ponto; eu posso partir de qualquer ponto. Eu não preciso partir do (0, 0) como eu parti aqui para representar esse ponto. Então, na verdade, se eu quiser representar um ponto qualquer, eu posso partir desse ponto aqui: o ponto (x₁, x₂). Então, eu posso partir, na verdade, de qualquer ponto, tá? Então, eu posso partir de qualquer ponto, sempre que eu quiser representar um vetor. Obviamente que esse ponto aqui (né?), qualquer desses pontos têm que ser pontos do R² (qualquer ponto no R², tá?). E, por exemplo, vamos dizer que eu queira representar o vetor "a". Então, o vetor "a" pode ser representado da seguinte maneira: eu vou partir desse ponto... eu parti desse ponto aqui, (x₁, x₂)... então, eu vou partir de “x₁” e vou adicionar o "a"; então, -1. Deixe-me colocar aqui assim. Então, -1. E, aqui, eu vou começar de "x₂" e vou adicionar o ponto "a", que é +2. Então, "x₂ + 2". E talvez isso aqui possa ter ficado um pouquinho confuso para você, mas, quando nós colocarmos isso aqui com um exemplo prático, você vai entender melhor. E, em relação a isso, eu posso escolher qualquer ponto. Então, eu vou escolher, por exemplo... um ponto qualquer... eu vou escolher, por exemplo, esse ponto aqui. Esse ponto aqui é o ponto (-4, 4). Então, esse ponto aqui é o ponto (-4, 4). E eu vou começar o meu desenho a partir dele; eu vou desenhar o meu vetor a partir desse ponto. Então, o que eu vou fazer é pegar esse ponto aqui e somar o vetor "a" a esse ponto. Então, vamos dizer aqui... eu vou partir do 4... bom, deixa eu explicar melhor isso aqui aqui embaixo. Eu vou partir do ponto (-4, 4). É isso que eu vou fazer: vou partir do ponto (-4, 4), e eu vou desenhar o meu vetor a partir desse ponto; ou seja, eu tenho que somar o meu vetor a esse ponto aqui. Então, vai ser -4, aqui, com o -1. E, aqui, 4 com +2 (então, 4 com +2). E isso aqui vai dar -5... isso aqui vai dar -5 e 6. Então, eu vou ter que desenhar aqui no (-5, 6). Então, aqui está mais ou menos o -5, aqui está o 6. Então, está mais ou menos aqui. Basta ligar aqui. Basta ligar a esse ponto e desenhar a seta onde chegou. Bom, deixe-me só desenhar um pouquinho melhor porque está meio torto isso aí. Então, deixa eu melhorar um pouquinho o meu desenho... deixe-me colocar meu desenho aqui, porque aqui está mais ou menos na metade, né? Aqui está mais ou menos na metade. Isso aqui, (-5, 6). Agora, sim, está um pouquinho melhor. Vamos desenhar aqui. Então, esse aqui, de fato, é o meu vetor. E lembre-se de que a escolha desse ponto aqui foi completamente arbitrária. Eu poderia ter escolhido qualquer ponto. Por exemplo, esse ponto aqui. Eu poderia ter partido daqui, em vez de ter partido daqui desse ponto. E, aí, eu teria a mesma coisa. Se eu pegasse o meu vetor "a" aqui... se eu pegasse esse vetor, a primeira coordenada, -1, diz o quê? Que eu ando 1 para a esquerda, né? Ele se movimenta para a esquerda 1 unidade, e se movimenta para cima 2 unidades. Então, ele deve vir parar mais ou menos aqui, assim. Deve vir parar aqui, assim, mais ou menos. Então, ele vai chegar até aqui e a gente vai desenhar aqui o nosso vetor. Então, aqui, vai estar o nosso vetor "a". E repara que isso aqui é o mesmo desenho, né? Na verdade, é o mesmo vetor. Então, isso aqui é apenas uma outra maneira de a gente interpretar o mesmo vetor "a". A única coisa que eu tive que fazer foi andar 1 casa para a esquerda, -1 (por isso, -1); e 2 casas para cima. Eu deveria ter desenhado o meu vetor aqui com a cor que eu escrevi o meu vetor "a", então, deixe-me colocar isso aqui de azul. Então, aqui é o vetor "a"... e aqui, também, vetor "a", né? E os dois são exatamente a mesma coisa. Então, deixe-me escrever aqui, sobre cada um deles. Esse aqui é o meu vetor "a", e esse aqui também é o meu vetor "a". Essa setinha em cima é apenas uma notação que indica que isso aqui é um vetor. E eu não posso dizer que tenha apenas esses dois vetores. Sei lá, eu poderia ter começado o vetor daqui, e eu teria mais um vetor; então, esses vetores são infinitos. Bastaria que eu andasse 1 casa para a esquerda e subisse 2. Então, o meu vetor estaria mais ou menos aqui assim. Então, aqui também seria o meu vetor "a". A mesma coisa acontece com o vetor "b". Então, como é que nós podemos fazer com o vetor "b"? Da mesma forma, eu poderia ter partido de qualquer ponto. Então, vamos dizer que eu partisse desse ponto aqui. Vou partir desse ponto e vou fazer o quê? Eu vou andar 3 casas para a direita e 1 para cima. Então, aqui eu tenho uma, duas, três para a direita; e aqui, uma para cima. Então, está mais ou menos aqui, assim. E, aí, aqui, eu vou fazer o meu vetor "b". Então, aqui, está mais ou menos o meu vetor "b". Mas eu também poderia ter iniciado o meu vetor aqui. Eu poderia andar uma, duas, três casas para a direita, e uma para cima. Então, o meu vetor "b" também poderia estar representado desta maneira aqui. E, assim como no caso do vetor "a", o vetor "b" tem infinitas possibilidades de representação. O que, geralmente, fazemos é escolher um ponto padrão para que esse vetor inicie desse ponto. Então, esse ponto padrão geralmente é o ponto (0, 0). E, deixe-me escrever isso aqui aqui em cima: então, isso aqui é a nossa posição... nós chamamos de "posição padrão" (então, posição padrão, né?). Então, essa aqui, quando eu parto do (0, 0), é a minha posição padrão. Então, aqui, eu vou desenhar meu vetor "a" na forma padrão. Então, aqui, eu vou marcar o ponto (0, 0), e eu vou andar 1 casa para a esquerda e 2 para cima; eu vou andar até aqui. Então, agora, eu vou marcar aqui o meu vetor "a". O meu vetor "a" vai ser isso aqui, mais ou menos, né? Então, aqui o meu vetor "a". E o meu vetor "b"? Bom, o vetor "b", eu vou partir aqui também do mesmo ponto, só que eu vou andar uma, duas, três casas para a direita, e uma para cima. Vai estar mais ou menos aqui assim. Então, aqui vai ser o meu vetor "b". Então, esse aqui vai ser o meu vetor "b". Qualquer uma das outras representações que fizemos são tão válidas quanto essas. Só que essas aqui são representações padrões para "a" e "b". E, agora, eu já acho que nós estamos prontos para colocar aqui o nosso vetor "a + b". Então, onde é que nós vamos colocar o nosso vetor "a + b" aqui? Se eu partir da posição padrão... se eu partir aqui da posição padrão, eu vou chegar no meu vetor da seguinte maneira: eu vou chegar em (2, 3). Então, o meu vetor vai ser um 2 (aqui tem um 2), e aqui, 3. Então, o meu vetor vai vir parar mais ou menos aqui assim. Então, vou desenhar ele aqui. Então, aqui estará o meu vetor. Esse vetor aqui é o meu vetor "a + b". Então, esse aqui é o meu vetor "a + b". Quando você olha para isso aqui assim, parece não fazer muito sentido, né? Qual é a relação que esse vetor tem com o vetor "a" e com o vetor "b"? Bom, mas o que nós vamos fazer é colocar esses vetores aqui de ponta-cabeça; e, dessa forma, nós chegaremos até uma conclusão sobre isso. Bom, nós temos que lembrar que qualquer vetor pode partir de qualquer ponto; então, é isso que nós vamos utilizar para chegar a esse raciocínio aqui. E, então, pelo que nós já estudamos, fica claro, por exemplo, que se eu partisse com o vetor "b" daqui, eu teria uma outra representação possível. Qual seria essa representação? Eu vou andar 3 casas para a direita e 1 para cima. Então, aqui: uma, duas, três casas para a direita, e uma para cima. Está mais ou menos aqui, assim. Então, aqui, eu também tenho a representação para o meu vetor "b". Essa aqui é uma representação para o meu vetor "b". Mas esse vetor aqui, esse vetor "b" aqui, ele não partiu do ponto padrão, da posição padrão (0, 0); ele partiu do final do vetor "a". Então, na verdade, eu fiz o quê? Eu peguei o vetor "a"; depois, acabou o vetor "a", eu somei o vetor "b". Então, aqui eu tenho o vetor "b". E esses dois vetores juntos, eles dão exatamente o "a + b". Então, o "a + b", que está aqui, é exatamente isso (é exatamente isso aqui). É o vetor "a" mais o vetor "b"; então, dá "a + b". E eu poderia, sei lá, ter feito isso a partir de outro ponto qualquer também. Por exemplo, esse ponto aqui. Eu poderia ter partido do vetor "a" (terminou aqui), e, a partir desse ponto aqui, eu vou colocar o meu vetor "b". Então, vai ser "a + b". Então, aqui eu vou andar 3 casas para a direita e 1 para cima. Então, eu tenho aqui: uma, duas, três para a direita e uma para cima. Está mais ou menos aqui, assim. Então, aqui eu tenho o meu vetor "b". E o que que seria isso aqui então? Isso aqui seria o meu vetor "a + b". Então, daqui até aqui, eu tenho o meu vetor "a + b". Então, isso aqui é o que representa "a + b". E, somente para confirmar, vamos ver se esse resultado aqui é exatamente "a + b". Então, saindo daqui e chegando até aqui, o que que eu fiz? Eu andei uma casa, duas casas para a direita, então, 2, e subi 3 (então, um, dois, três), que é exatamente o meu vetor (2, 3). Logo, isso aqui está correto e representa "a + b". Agora, vamos pensar no que acontece quando nós escalamos os nossos vetores, ou seja, quando a gente pega o nosso vetor e aumenta esse vetor multiplicando-o por um número escalar qualquer. E, para isso, deixe-me escolher outro vetor aqui, porque aqueles já se tornaram um pouco monótonos. Então, eu vou escolher um novo vetor "v", e esse vetor, por exemplo, eu vou dizer que ele seja o vetor (1, 2). Então, o que que eu vou fazer? Eu vou desenhar esse vetor aqui na forma padrão. Então, na forma padrão, eu tenho o meu vetor partindo do ponto (0, 0), que está aqui, e eu vou andar 1 casa para cá (1 casa para a direita) e 2 para cima. Então, o vetor vai vir parar aqui, assim. Então, basta eu ligar isso aqui... basta eu ligar isso aqui e eu tenho o meu vetor "v". Bom, se eu quisesse partir de um outro ponto qualquer, eu também poderia desenhar o meu vetor "v". Então, por exemplo, eu poderia partir desse ponto aqui e vir até aqui. Então, aqui, também eu tenho o meu vetor "v", igualmente ao que eu tenho aqui em cima. Tanto faz a maneira com a qual eu desenhe o meu vetor "v". O importante é que ele ande 2 casas para cima e 1 casa para a direita. E o que eu quero saber agora é o que acontece, por exemplo, se eu pegar o meu vetor "v" e multiplicar esse vetor "v" aqui por 2, por exemplo. Então, vou fazer "2‧(v)". E isso aqui vai ser o quê? Isso aqui será igual a... o que eu vou fazer aqui é multiplicar cada uma dessas coordenadas aqui por 2. Então, 2 vezes 1 dá 2; e 2 vezes 2 vai dar 4. Então, aqui eu tenho o par (2, 4). Então, aqui, é o meu novo vetor. E com o que que isso aqui vai se parecer lá no nosso plano cartesiano? Então, só para compreendermos, deixe-me desenhá-lo aqui numa posição qualquer. Vou desenhá-lo aqui... não vou desenhá-lo na posição padrão... então, eu vou andar 2 casas para a direita, (então, está aqui, 2 casas) e 4 casas para cima (duas, quatro). Então, aqui, vai parar o meu vetor "2v". Então, aqui, basta ligar esses dois pontos e colocar a setinha onde está chegando. Então, aqui, eu tenho o meu vetor "2v". E, nesse caso aqui, eu coloquei-o num ponto qualquer; mas e se eu o colocasse no ponto (0, 0), na posição padrão? Bom, ele pareceria ser duas vezes maior, né? Se você olhar aqui, vai parecer ser duas vezes maior. E isso faz sentido, uma vez que eu estou multiplicando isso aqui por 2, né? Eu estou multiplicando o meu vetor por 2. Então, o que acontece quando eu multiplico um vetor por um escalar é que eu não mudo a direção desse vetor. Eu mudo apenas o comprimento desse vetor. Ele vai ser maior ou menor proporcionalmente ao número que eu coloquei aqui para multiplicar o vetor. Então, por exemplo, aqui, o meu escalar faz o quê? Faz-me dobrar esse vetor; e ele fica duas vezes maior. Então, o meu vetor, partindo aqui do ponto padrão, ele iria até aqui; e esse aqui seria o meu vetor "2v" (duas vezes o tamanho do meu vetor "v"). Então, o que acontece agora se eu multiplicar, por exemplo, o meu vetor "v" por -4? Então, se eu fizesse, por exemplo, aqui, "-4v", o que que vai dar isso? E, portanto, isso aqui seria "-4v". Isso seria -4 vezes 1, que daria -4; e -4 vezes 2, que daria -8. E vamos desenhar esse vetor aqui para ver o que acontece. Bom, deixe-me desenhar aqui em outro lugar... não, na verdade, eu vou desenhar aqui no ponto padrão. Então, partindo aqui da minha posição padrão, o que que vai acontecer? Eu vou andar 4 casas para a esquerda (então, aqui, está 4 casas para a esquerda) e vou andar 8 para baixo (então, 8 para baixo, está aqui). Então, aqui é que eu vou ligar; eu vou colocar aqui o meu vetor. Então, vamos lá. Essa linha aqui é uma linha meio longa, né? Então, vamos lá. Eu vou fazer aqui. Esse aqui é o meu vetor; então, esse aqui é o meu vetor "-4v". Então, deixe-me só escrever isso aqui... esse é o meu vetor "-4v". E o que aconteceu aqui? Repara bem no desenho para ver o que aconteceu. E, na verdade, é fácil ver o que aconteceu, né? Porque esse vetor aqui, o vetor "2v" e o vetor "-4v", eles estão na mesma direção, eles estão na mesma linha. Então, o que nós podemos reparar aqui é o seguinte: se eu fizesse aqui o meu vetor "-v" (ou seja, eu multiplicasse ele por -1), o que que ia acontecer? Eu ia inverter esse vetor aqui, ou seja, em vez de ele ir para cima, ele viria para baixo. Então, ele viria para cá. Então, esse aqui seria o meu vetor "-v". E aqui o que que aconteceu? Ele é "-4v", então é como se fosse o vetor "4v", ou seja, 4 vezes esse vetor aqui, só que invertido, ou seja, em vez de ir para cima, é vindo para baixo. Então, aqui, o meu vetor "-4v". Ou seja, eu inverti o vetor e multipliquei por 4. E, agora que a gente conhece a ideia de multiplicar por escalares, a gente pode fazer a subtração de vetores. Então, deixe-me desenhar o meu vetor aqui. E, aqui, eu vou colocar o meu vetor "x", que vai ser igual a (2, 4). Aqui, eu continuo no R². Eu poderia estar colocando isso daqui no R³ ou no R⁴, assim como eu falei no início do vídeo, porém eu vou fazer no R². E, também, vou colocar aqui o meu vetor "y". Então, o meu vetor "y" será, por exemplo, o meu vetor (-1, -2). Então, (-1, -2), 1 e 2 negativos. E o que eu quero fazer é o seguinte: eu quero saber qual é o vetor "x - y". Logo, eu quero saber o que é "x - y"; e isso aqui, na verdade, eu posso escrever como sendo "x + (-1)‧(y)". E o que vai ser isso aqui? Então, isso aqui vai ser igual a... (deixe-me trocar a cor aqui)... então, isso vai ser igual ao vetor "x", que é (2, 4)... então (2, 4)... mais o vetor "-y". Então, "-1‧(y)". Então, eu vou fazer "(-1)‧(-1)", que vai dar +1; e "(-1)‧(-2)", que vai dar +2. Então, (1, 2), isso aqui é o meu vetor "-y". Portanto, isso aqui será igual a... "2 + 1" é 3; "4 + 2" é 6. (3, 6), então, esse aqui é o nosso vetor "x - y". E vamos ver com o que que isso aqui se parece aqui no nosso plano cartesiano. E o nosso vetor "x" era o vetor (2, 4), então, na posição inicial, é esse vetor aqui; vetor (2, 4). Então, esse aqui é o nosso vetor "x". E o nosso vetor "y"... deixe-me colocar o "y" aqui, para a gente não confundir, com outra cor (então, deixe-me colocar o "y" com essa cor). Então, partindo também da posição inicial, eu tenho que ele é -1 (então, 1 aqui para a esquerda) e -2. Então, ele vai vir parar aqui. Então, basta eu colocar aqui. Então, é esse vetor aqui. Então, esse aqui é o meu vetor "y". E, sem querer, eu acabei fazendo dois vetores também colineares, né? Ou seja, eles estão na mesma linha. Então, esse aqui é o meu vetor "y"; que está na mesma linha do vetor "x". Mas o que eu quero saber não é isso; o que eu quero saber é a diferença, ou seja, o que que é "x - y". Nesse caso aqui, (3, 6). Então, aqui, vamos dizer que eu parta daqui... então, eu vou andar 3 casas (uma, duas, três; está aqui); e 6 casas para cima (mais ou menos, aqui, assim). Então, na verdade, o meu vetor vai ser alguma coisa parecida com isso aqui. O meu vetor, a diferença, vai ser alguma coisa parecida com isso. Portanto, isso aqui é o meu vetor "x - y", que é exatamente a diferença entre esses dois vetores aqui. E, na verdade, se você colocar esse ponto aqui, aqui, você vai começá-lo aqui e vai até aqui em cima. Então, você vai vir aqui e vai vir até aqui em cima. Na verdade, eu acabei marcando bobeira aqui porque eu fiz vetores colineares. Eu devia ter feito de uma outra maneira. Então, vamos fazer um outro caso que pode ser um pouco mais interessante. Então, vamos lá; vamos fazer um outro caso aqui. Então, deixe-me definir aqui o meu vetor "x". O meu vetor "x" será (2, 3); e o meu vetor "y" será, vamos dizer, (-4, -2). Então, esse aqui será o meu vetor "y". Partindo da posição original, o meu vetor "x" está mais ou menos aqui, assim: (2, 3). Então, o meu vetor "x" está aqui. Esse aqui é o meu vetor "x" E, agora, vamos desenhar o nosso vetor "y". Então, aqui, eu vou fazer o "y" com uma cor um pouco mais alaranjada aqui para a gente não confundir. Então, aqui, eu vou colocar (-4, -2). O -4 está aqui, o -2 aqui. Então, vai ser esse ponto aqui assim. Então, aqui nós temos o nosso vetor "y". Então, esse aqui é o vetor "y". Então, vamos lá, eu quero saber o que vai dar "x" menos... deixe-me colocar aqui "x - y". Isso aqui vai ser igual a...? Então, nesse momento aqui, você tem que parar para pensar o seguinte: isso aqui vai ser "x - 1‧(y)"; só que fazer isso aqui é multiplicar por um escalar -1. Então, na verdade, a gente pode fazer 2 vezes "(-1)‧(-4)". Acho que você já entendeu a ideia. Então, só para a gente não ficar repetindo isso aqui (multiplicação por escalar e tudo mais), vamos lá... isso aqui vai ser "2 + (-1)‧(-4) ou "2 - (-4)". Isso aqui vai dar 6. E, aqui, "3 - (-2)", isso aqui vai dar 5. Então, "x - y" vai ser (6, 5). Então, mais uma vez, vamos partir de um ponto qualquer aqui. Partindo desse ponto aqui, o que seria (6, 5)? Então, eu tenho 6 aqui e 5 aqui em cima. Então, 5 aqui em cima. Então, esse aqui seria o meu vetor (6, 5). Então, esse aqui seria o meu vetor "x - y". E, então, se eu partisse daqui, eu sairia daqui e viria até aqui. Então, fazendo isso aqui, eu teria andado 6 casas para a direita e 5 casas para cima. Então, da mesma forma que eu andei ali, nessa projeção que eu acabei de fazer. Então, aqui, eu também tenho o meu vetor "x - y". E isso é bem intuitivo, né? Porque isso aqui, na verdade, é um vetor menos o outro, então, a gente chega na outra posição. Imagine que a gente estivesse voltando lá para o mundo do primeiro grau, onde a gente só tem soma com escalares. Então, se a gente fizesse a conta, sei lá, por exemplo "7 - 5"... e você diria: bom, "7 - 5", isso aqui é 2. E, de forma análoga, você poderia escrever o seguinte: que "5 + 2" é igual a 7. E o que nós estamos fazendo aqui é a mesma coisa. Se aqui eu faço "7 - 5 = 2", aqui eu faço "x - y", que dá "x - y". E, por outro lado, eu poderia dizer o seguinte: eu poderia dizer que "5 + 2" é igual a 7. Assim como eu posso dizer aqui que "y + x - y" dá o quê? Dá "x". E, agora, vamos fazer algo um pouquinho mais interessante que isso aqui. Vamos fazer o contrário disso; vamos fazer "y - x". Isso aqui vai ser o quê? Bom, deixe-me só trocar a cor aqui. Vamos fazer assim então: "-4 - 2", isso vai dar -6. Então, "-2 - 3", isso vai dar -5. Então, agora, nós vamos ver o que esse vetor aqui, como esse vetor pode ser representado aqui no nosso plano cartesiano. Então, vamos lá. Vamos colocar esse vetor no nosso plano cartesiano. Vamos dizer que eu tivesse partido, sei lá, desse ponto aqui. Então, eu vou fazer o quê? Eu vou andar 6 casas para a esquerda e vou descer 5 casas. Então: uma, duas, três, quatro, cinco, seis. E vou descer 5: uma, duas, três, quatro, cinco. Aqui, assim, mais ou menos. Então, eu desci 5, e andei 6 para a esquerda. Então, esse aqui é o meu vetor. E, agora, você pode reparar o quê? Que esse vetor aqui, o vetor "y - x", tem o mesmo tamanho do vetor "x - y". E eles estão na mesma direção, só estão em sentidos opostos. Então, se eu partisse daqui... se eu partisse daqui, eu poderia desenhar esse vetor aqui por cima, e aqui eu teria o vetor "y - x". E eu não sei se você entendeu bem essa ideia, mas, apenas para deixar claro, vamos ver aqui o que seria o vetor "-x". Então, por exemplo, eu vou pegar aqui um lugar qualquer, nesta posição aqui, por exemplo, e vou desenhar o vetor "x". Então, o que que eu vou fazer com ele? Ando 2 casas para a direita e 3 para cima. Então, 2 para a direita e 3 para cima. Está mais ou menos aqui. Esse é o meu vetor "x". E quem vai ser o vetor "-x"? Então, vamos, por exemplo, partir desse ponto aqui. Ando 2 casas para a esquerda e 3 casas para baixo (faço o contrário do que eu fiz no vetor "x"). Então, aqui, eu tenho o meu vetor "-x". Então, esse é o meu vetor "-x". E repare: eles têm o mesmo tamanho (o comprimento deles é exatamente igual), eles estão na mesma direção (a inclinação dos dois é exatamente a mesma), só que eles estão em sentidos contrários. Esse aqui está indo para cima e esse aqui está descendo (está vindo para baixo). E, tudo o que foi feito por nós até agora foi feito no R². Então, deixe-me fazer alguma coisa um pouco mais geral. Deixe-me fazer isso aqui no R⁴. Então, vamos colocar aqui que o nosso espaço vetorial será o R⁴ (então, vamos fazer no R⁴) e eu vou definir aqui, agora, dois vetores. Vou definir o vetor "a" (então, vou definir o vetor "a") e o vetor "a" vai ser o seguinte vetor: (0, -1, 2, 3). E o vetor "b" (vou definir também o vetor "b"), o meu vetor "b" será... deixe-me colocar aqui... (4, -2, 0, 5). Bom, e o que eu vou fazer agora? Eu vou fazer uma operação com eles, de forma que eu tenha que fazer uma subtração ou uma soma de vetores. Embora a gente não vá poder ver isso aqui agora, no R⁴, desenhado, a gente vai fazer as operações a partir da nossa definição. A gente não desenha no R⁴, a gente só desenha no R³. Então, aqui, a gente não vai fazer o desenho, apenas as operações. Então, vamos dizer que eu queira saber quanto é "4a - 2b". Então, eu quero saber quanto que é isso aqui. Então, nós vamos fazer pela definição. Vamos fazer 4 vezes o "a", que é (0, -1, 2, 3); isso aqui menos 2 vezes quem? 2 vezes o "b". O "b" é (4, -2, 0, 5). Então, agora, quanto é que vai dar isso aqui? O que que vai dar isso? E eu vou escrever essa parte aqui... eu vou escrever essa parte aqui aqui. Bom, na verdade, deixe-me colocar isso aqui aqui embaixo. Vou colocar isso aqui aqui e vai ficar: 4 vezes 0 dá 0; 4 vezes -1 dá -4; 4 vezes 2 dá 8; e 4 vezes 3 dá 12. Então, esse aqui é 4 vezes o vetor "a". Então, agora, eu vou fazer o quê? Eu vou fazer menos isso aqui. Então, menos isso aqui. Então, isso aqui vai ser o quê? Isso aqui vai ser 2 vezes 4, que é 8... já deixei o sinal de menos separado, vou fazer a conta só com o 2.... 2 vezes -2, que é -4; 2 vezes 0, que é 0; e 2 vezes 5, que é 10. Então, agora, vamos fazer aqui um pouquinho mais para baixo para a gente chegar na nossa resposta. E, vamos lá. Isso aqui vai dar o quê? Isso aqui vai dar... bom, aqui nós temos "0 - 8", isso vai dar -8. Aqui nós temos "-4 - (-4)" (-4 com o seu oposto), então, isso aqui vai dar 0. Aqui, "8 - 0" dá 8. Aqui, "12 - 10" vai dar 2. Como é que nós chegamos a isso aqui? Bom, nós chegamos a isso fazendo o seguinte: nós pegamos 4 vezes o vetor "a", que é isso aqui, menos 2 vezes o vetor "b". E, fazendo essas contas, chegamos a esse resultado. A multiplicação de "4a" é isso aqui. E, aqui, "2b". Então, "4a - 2b". E o resultado disso é esse valor aqui. Embora a gente não consiga desenhar isso aqui no plano cartesiano, isso aqui vai ser muito útil quando a gente trabalhar com espaços vetoriais multidimensionais. Eu espero que vocês tenham gostado e até um próximo vídeo.