Multiplicação de um vetor por um escalar

RKA2G Digamos que nós temos um vetor aqui, representado pela letra minúscula "a". Importante não esquecer da flechinha, ok? E vamos usar a notação matricial: dimensões 2 e 1. Você sabia que a matriz de uma única coluna é chamada de vetor? Se a gente representá-la geometricamente aqui no sistema cartesiano, começando da origem (não é obrigado a começar da origem, mas, por questão de simplicidade, não deixa de ser interessante), 2 e 1 significa: duas unidades na horizontal, uma unidade na vertical. O vetor tem a extremidade aqui. Vamos agora desenhar com cuidado o vetorzinho. Tem a setinha dizendo que o sentido dele é para cima e para a direita. Este é o vetor "a". Se quiser calcular o módulo, ou seja, a intensidade, o valor dele, basta usar Pitágoras: um cateto é 2, o outro é 1. A gente calcula o valor da hipotenusa, o valor é o módulo deste vetor. Mas o que nos interessa agora é multiplicar o vetor por um escalar. Esse escalar pode ser o número que a gente quiser. Vamos, por exemplo, multiplicar pelo escalar número 3. Escalar é um número comum como qualquer outro. 3 vezes o vetor "a". Vamos lá. Vamos colocar o 3 aqui. 3 que multiplica a representação matricial do vetor: 2 e 1. Como fica a multiplicação de um número por uma matriz? Bastante simples: a matriz praticamente continua a mesma. A gente faz 2 e 1 multiplicado pelo escalar. 3 vezes 2, 3 vezes 1. E isso resulta em um outro vetor, também de duas dimensões. 3 vezes 2 = 6, 3 vezes 1 = 3. Está aqui o novo vetor, o vetor "a" multiplicado pelo escalar 3. Então, como é que fica? Agora temos seis unidades na horizontal: 1, 2, 3, 4, 5, 6 e três unidades na vertical, sempre no sentido positivo, para a direita e para cima. Vamos representar o vetor. Claro, desenhei lá imaginando que a gente começa aqui, também, na origem, assim como o vetor original, para facilitar a compreensão. Temos aqui o vetor 3a: o vetor "a" multiplicado pelo escalar 3. Continua no mesmo sentido e na mesma direção. A direção vai embora para cá e também para o outro lado, mas o mesmo sentido (basta observar a flecha) e o seu módulo é três vezes maior do que o vetor "a". E se, agora... Vamos tornar interessante a brincadeira... a gente multiplicar este mesmo vetor pelo escalar 1 negativo? O que vai acontecer? -1 vezes "a". É sempre interessante você parar o vídeo, fazer uma pausa e tentar fazer isso no papel milimetrado ou papel quadriculado, para ver se você entendeu bem. Qualquer coisa, tire dúvidas depois. Vamos lá. Aqui no caso vai dar: -1 que multiplica 2 e 1. Uma conta bastante simples. Sem graça até, na verdade. Temos -2 e -1. A graça está, talvez, em representar o vetor aqui no plano cartesiano. Começando na origem, para facilitar. A gente tem -2 e -1. Andamos duas unidades para a esquerda e uma unidade para baixo, ou seja, sentido negativo. Veja só, o vetor agora tem o mesmo módulo do vetor "a", ou seja, o mesmo valor, e sentido contrário. Mesma direção, porém, sentido contrário ao vetor original, ao vetor "a". A gente simplesmente multiplicou por -1. Bom, agora acho que você entendeu bem. Mesmo assim, eu vou mostrar um exemplo aqui. Multiplicação por -2. Mais uma vez eu digo: é interessante parar o vídeo, dar uma pausa e tentar fazer antes da gente. -2 vezes "a" é igual a: - 2 que multiplica, mais uma vez, o vetor "a" representado matematicamente: 2 e 1. Quanto vai dar isto? -2 vezes 2... Não esqueça o sinal. Vamos fazer a cor legal aqui. -2 vezes 2 = -4. -2 vezes 1, está aqui, bastante simples. -4 e -2. Então, vamos para a esquerda quatro unidades e duas unidades para baixo. Está aqui, começando da origem. O vetor, então, está aqui. Mesma direção e sentido oposto ao vetor "a" e o dobro do módulo, o dobro do valor do vetor original "a". Repare que eu disse que a gente não precisa desenhar os vetores sempre começando da origem. Posso começar onde eu quiser. Se eu quiser desenhar o vetor "a" começando daqui, claro, ele estará no sentido positivo duas unidades para a direita e uma unidade para cima. Aqui está o vetor "a". E se eu quiser desenhar o vetor -2a, o "a" multiplicado pelo escalar 2 negativo? Temos lá, representado. Podemos começar onde a gente quiser. Por exemplo, começando aqui o vetor -2a. Veja só: -4 e -2. Tem 1, 2, 3, 4 unidades para a esquerda, duas unidades para baixo. Termina o vetor aqui e podemos representar geometricamente o vetor -2a. O lugar onde ele está, tanto faz. O importante é a direção, o sentido e, naturalmente, o módulo, ou seja, o valor do vetor.