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Espaços de coordenadas reais

Versão original criada por Sal Khan.

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Transcrição de vídeo

RKA - Quando você chegar a um ensino mais elevado de matemática, pode ver seu professor escrevendo assim: "R²", com tracinho extra aqui, ou assim: em negrito, bem negrito, escrevendo assim "R²". Ambos significam o quê? Ambos significam que a gente está se referindo ao espaço de coordenadas reais em duas dimensões. Então, isso aqui é: espaço de coordenadas reais. Nesse caso, em duas dimensões. Uma outra maneira de ver isso é através do plano de coordenadas, que você já conhece, mas não necessariamente você precisa desse plano para enxergar isso, para enxergar o espaço de coordenadas reais. E, nesse caso, nós podemos pensar nisso de uma forma mais abstrata. Só para não quebrar a notação, deixa eu escrever que isso aqui é uma dimensão 2 (então deixa eu escrever aqui, dimensão 2). Esse 2 está dizendo para nós o quê? Qual é o espaço de coordenadas reais que estamos trabalhando, nesse caso, a segunda dimensão. É importante sempre lembrar que isso é apenas uma maneira de representar o "R²", é apenas uma forma de visualizar. Mas, é importante saber que o espaço bidimensional é aquele que contém todas as duas tuplas. Então, deixa eu escrever isso aqui embaixo. Todos os valores, possíveis para o quê? Para as duas tuplas. E aí, você vai me perguntar: "Bom, mas o que é uma tupla?" Uma tupla é uma lista ordenada de números. E como nós estamos falando de duas dimensões em números reais, vamos ter o quê quando temos duas tuplas? Teremos, na verdade, dois números reais ordenados. Isso é exatamente o que fizemos aqui quando nós falamos de vetores bidimensionais. Isso, na verdade, é uma duas tuplas, por quê? Porque tem duas coordenadas, o 3 e o 4. Não é nenhum número imaginário, os dois são números reais. E isso aqui, por exemplo, tem importância quanto à sua ordem, no caso, "3, 4". Isso é diferente de escrevermos a tupla "4, 3". São coisas diferentes e, portanto, se quiséssemos desenhar essa tupla no nosso plano coordenado, nós a desenharíamos aqui: 4 para a direita e 3 para cima. Está aqui, 1, 2, 3, mais ou menos aqui, assim. Aqui está o nosso vetor. E lembre-se, nós não necessariamente precisamos desenhar o nosso vetor partindo do zero zero. A gente poderia, por exemplo, desenhá-lo partindo daqui. É só manter o módulo e o sentido, são as únicas coisas que precisamos manter no nosso vetor. Esse segundo vetor também seria nosso vetor coluna "4, 3". Por isso, quando estamos falando de "R²", estamos falando, na verdade, de todos os valores possíveis para as duas tuplas. Dessa forma, todos esses vetores, todos os componentes que compõem as tuplas, podem ser qualquer um, qualquer valor. E assim você poderia ter a tupla "3, 4". Ou pelo menos 3 - 4. Então, aqui -1, -2, -3, aqui 1, 2, 3, 4. Deixa eu fazer isso numa escala um pouquinho maior, porque nessa escala não ficou muito boa. Então, aqui, -1, -2, -3, -4, o vetor vai estar mais ou menos por aqui, assim. É só ligar. Esse aqui é o meu vetor "-3, -4", por exemplo. Portanto, esse seria o meu vetor -3. Esse seria o meu vetor, "-3, -4". O que isso significa? Se você tomar todas as duas tuplas possíveis, com todos os números possíveis, ou seja, os infinitos números, inclusive o "0, 0" que, embora não tenha magnitude nenhuma, não tenha nenhum módulo, nenhuma importância, você talvez até possa discutir que a direção dele, o sentido, estão aqui por cima mesmo. Mas, enfim, se você tomar todas essas coordenadas, o que vai acontecer? Você vai ter o espaço de coordenadas reais em duas dimensões, ou seja, isso na verdade vai ser o quê? Vai ser o nosso "R²". E aí você pode me perguntar: "Bom, eu coloquei o 2 aqui em cima e eu tenho o 'R²'. Será que eu poderia colocar o 3 e ter 'R³', por exemplo?" Sim, a resposta para isso é sim. Aqui você teria um espaço tridimensional e esse espaço é chamado também de espaço de coordenadas reais tridimensional. Também coordenadas reais, nesse caso aqui, 3D, tridimensional. E nesse espaço, a gente vai ter o quê? Vai ter valores reais para 3 tuplas. Então, 3 tuplas. Esse vai ser o nosso espaço real para três tuplas. Assim, por exemplo, esse vetor aqui seria um vetor para o espaço "R³", porque ele tem 3 coordenadas. Deixa só eu criar o hábito de rotular isso. Vou chamar aqui de vetor "x". O vetor "x" vai ser isso aqui. E vamos dizer que eu tenha também um vetor "b" e o meu vetor "b" será -1, 5 e 3. Ambos esses vetores fazem parte do "R³". E agora, se você quiser ver alguma notação abstrata em relação a isso, vamos fazer aqui. Nós podemos dizer que "x" pertence ao "R³" ("x" pertence ao "R³"). E por que isso? Bom, porque ele tem 3 coordenadas. Ele é um espaço tridimensional e todas as suas coordenadas são números reais. Você poderia me perguntar: "E o que não é um elemento do "R³"?" Bom, esse elemento aqui, por exemplo, não é um elemento do "R³, ele é um elemento do "R²", só tem duas coordenadas. Você até poderia improvisar isso colocando um "0" ou qualquer outro número aqui para ele se tornar um elemento de "R³". Mas, a princípio, esse elemento não é um elemento do "R³", é um elemento do "R²". Outro vetor que poderia não ser um membro do conjunto "R³" seria o vetor complexo. Então, vamos dizer que eu tenha um vetor que seja assim e tenho um número complexo, "i", 0 e 1, por exemplo. Nesse caso, ele também não é um elemento do "R³". Por quê? Porque esse número é um número complexo, ele deveria ser um número real. Ele não está no "R³", porque tem um número complexo, embora ele seja uma tris tupla. E essas coisas não param por aí, com álgebra linear, a gente pode fazer muito mais, pode ver em 3 dimensões ou em 4 dimensões, enfim, em quantas dimensões a gente quiser. Embora seja fácil desenhar alguma coisa em 3 dimensões ou até visualizar algo em 3 dimensões, por exemplo, os hologramas, nós podemos ainda expandir isso para 4, 5, 6, 7, 20, 100 dimensões, mas talvez não seja tão fácil assim desenhar ou visualizar alguma coisa em 4, 5, 6, 20, 100 dimensões. Isso se não for impossível de fazer. Mas, pelo menos, nós podemos representar através da matemática como uma "n" tupla de vetores. Assim, quando temos que falar de um espaço geral de coordenadas, por exemplo, falamos no espaço "Rn". Então, nós chamamos esse espaço de "Rn", onde "n" aqui é o sobrescrito da letra "R" De forma genérica, isso aqui é o quê? Isso é um espaço "n" dimensional, ou seja, um espaço que tem "n" dimensões. Então, espaço "n" dimensional tem "n" dimensões. Espaço "n" dimensional de coordenadas. Então, espaço "n" dimensional de coordenadas. Eu espero que vocês tenham gostado e até o próximo vídeo.