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Introdução de vetores para álgebra linear

Transcrição de vídeo

RKA - Um vetor é algo que tem módulo e sentido. Então, vetor é uma coisa que tem módulo e sentido. Isso é o que a gente chama de vetor. Vamos dar um exemplo, vamos pensar nisso. Bom, vamos dizer que alguém fale que está andando a 5 km/h, então 5 km/h. Isso aqui ainda não é um vetor. Por quê? Porque isso está indicando para a gente apenas o módulo. E para termos um vetor, isso teria que estar indicando também o sentido. Então, isso aqui vai ser o quê? Vai ser a rapidez, ou seja, quão rápido essa pessoa se move. Esta é a rapidez, não é uma grandeza vetorial, é uma grandeza escalar. Então vamos dizer aqui, que é uma grandeza escalar. Portanto, esse 5 km/h só representa a rapidez, isso é uma grande escalar. E para a gente ter uma grandeza vetorial? A gente precisa atribuir a esse módulo um sentido, então tem que atribuir isso a um sentido. Vamos dizer que essa pessoa diga que está se movendo para o leste. Agora sim, a gente tem um módulo e tem um sentido para esse módulo. Logo, isso tudo aqui não vai mais ser chamado de rapidez, vai ser chamado de velocidade. Isso vai ser chamado de velocidade. Isso é uma grandeza vetorial que expressa um vetor. A velocidade vai ser um vetor que tem módulo, nesse caso, 5 Km/h, e sentido, então, aqui vai para leste. A velocidade vai ser um vetor. A velocidade tem módulo e sentido, o módulo aqui é 5 Km/h e o sentido, para leste. Agora vamos tentar fazer o seguinte, vamos tentar colocar isso em um eixo bidimensional, de duas dimensões. Isso é fácil visualizar em duas dimensões, a gente consegue fazer um gráfico sem problema nenhum. A gente consegue fazer até em três dimensões, depois já começa a ficar mais complicado. Mas a álgebra linear ajuda a entender isso e expandir para 4, 5, enfim, várias dimensões. E o que nós estamos fazendo agora é representar esse vetor na forma bidimensional. Nos próximos vídeos, nós veremos como fazer isso para mais dimensões, só que utilizando álgebra linear. Então vamos lá, vamos representar esse vetor neste eixo cartesiano. Uma das maneiras de fazer isso é através de uma seta que aponte para a direita, ou seja, que aponte para o leste, de forma que o tamanho da seta seja relativo ao módulo, ou seja, 5 Km/h. Vou marcar aqui, 1, 2, 3, 4, 5. E vou fazer uma seta na direção para o leste, ou seja, para a direita, apontando para a direita. E aqui, então, eu tenho 5 unidades que vão representar meus 5 Km/h. Nesse caso, a seta aponta para o sentido que nós temos. Essa seta poderia apontar para cima, para baixo ou para o oeste, para a esquerda. Mas nesse caso, ela aponta para o leste. E o que é muito interessante nos vetores é que o vetor não precisa começar necessariamente do zero, ele pode, por exemplo, começar daqui e manter o mesmo comprimento, ou seja, o mesmo módulo, e manter o mesmo sentido. Esse vetor, por exemplo, é exatamente igual a esse, ele tem o mesmo módulo e o mesmo sentido. Logo, podemos dizer que esses vetores são equivalentes. Uma coisa que você talvez diga é o seguinte: "será que eu vou ter que desenhar toda vez que eu quiser fazer alguma conta com isso? Como eu posso representar isso de forma matemática?" O jeito típico de fazer isso normalmente é escolher uma variável para representar o seu vetor. Por exemplo, aqui vou representar o meu retorno por uma variável "v". Se você for um escritor de livros e for usar o vetor "v" no seu livro, você pode escrever isso com letra minúscula e em negrito, mas, geralmente, quando escreve no seu caderno, o que você faz? Você coloca uma setinha aqui em cima para indicar que é um vetor. E existem várias maneiras de expressar numericamente esse vetor. A gente pode dizer que é um vetor que tem 5 Km/h a leste ou pode dizer também, pegando o plano cartesiano, quanto ele se mexeu aqui dentro do plano. Nesse caso, ele andou 5 casas para a direita e não subiu nem desceu nenhuma. Então, na verdade, a gente pode representar essa aqui por (5, 0), ou seja, eu pego o quanto ele se mexeu dentro do plano cartesiano. Nesse caso, ele andou 5 casas para a direita no valor positivo e zero, não subiu nem desceu. Geralmente, temos o primeiro valor para a posição horizontal e o segundo valor para a posição vertical. E essa notação poderia mudar, essa notação poderia ser assim, em colunas. Aqui poderia ser 5 e zero. Novamente, a gente tem 5 para o eixo horizontal, quanto ele se move no eixo horizontal, e zero para quanto se move no eixo vertical. E essa segunda forma de representar é a forma mais comum de representar um vetor. Essa forma não é tão interessante assim para a gente. Você também poderia ter outras representações para isso. Vamos dizer que nós tenhamos um vetor marcando 3 na direção horizontal, no sentido positivo, e aqui também, 4, no sentido positivo, mas na direção vertical. Então, estaria mais ou menos aqui e o meu vetor se pareceria com algo como isso aqui. Esse vetor, vamos chamá-lo de vetor "a". Eu posso desdobrar isso e dizer que esse vetor está deslocando 3 unidades no sentido horizontal, para a direita, e 4 unidades para cima, no sentido vertical. Esse é o desdobramento desse vetor. E nesse caso, notamos que se a gente andar 3 para a direita e daqui andar 4 para cima, a gente vai chegar exatamente onde termina o vetor. Da mesma forma, também se invertermos, se andarmos 4 para cá e depois 3 para cá. Enfim, esse vetor pode ser representado pelo par 3, 4. Essa aqui é a representação desse vetor. E a gente poderia tentar calcular qual o módulo desse vetor, porque a gente tem 3 aqui, 4 aqui, então tem o triângulo, na verdade, 3, 4, 5. E a gente vai poder realizar problemas com isso com 4, 5, 6 dimensões. É óbvio que a gente só vai desenhar em 3 dimensões, porque a partir de 3 dimensões, a quarta, a quinta dimensão já se torna muito complexo desenhar. Então, essa notação facilita para a gente, porque nem sempre é tão simples assim desenhar uma flecha em 5, 6, sei lá, 20 dimensões. Espero que vocês tenham gostado e até o próximo vídeo.