Razões trigonométricas de triângulos especiais

Até agora, usamos a calculadora para calcular os valores de seno, cosseno e tangente de um ângulo. No entanto, é possível calcular as funções trigonométricas de certos ângulos sem usar a calculadora.

Isso porque há dois triângulos especiais cujas razões dos lados nós conhecemos! Esses dois triângulos são o triângulo 45-45-90 e o triângulo 30-60-90.

Um triângulo 30-60-90 é um triângulo retângulo com um ângulo de ${30}^{\circ }$‍ e um ângulo de ${60}^{\circ }$‍.

Um triângulo 45-45-90 é um triângulo retângulo com dois ângulos de ${45}^{\circ }$‍.

Agora estamos prontos para calcular as funções trigonométricas desses ângulos notáveis. Vamos começar com ${30}^{\circ }$‍.

Estude o exemplo trabalhado abaixo para ver como se faz.

Confira um exemplo resolvido:

Passo 1: desenhe o triângulo especial que inclui o ângulo de interesse.

Passo 2: nomeie os lados do triângulo de acordo com as razões desse triângulo especial.

Passo 3: use a definição das razões trigonométricas para calcular o valor da expressão indicada.

Note que você pode pensar em $x$‍ como sendo $1x$‍, e então fica claro que ${\displaystyle \frac{x}{2x}}={\displaystyle \frac{1x}{2x}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$‍.

Agora vamos usar este método para calcular $\cos ({30}^{\circ })$‍ e $\mathrm{tg}({30}^{\circ })$‍.

Vamos tentar esse processo novamente com ${45}^{\circ }$‍. Aqui, podemos começar desenhando e nomeando os lados de um triângulo 45-45-90.

O processo de encontrar as razões trigonométricas dos ângulos notáveis ${30}^{\circ }$‍, ${45}^{\circ }$‍ e ${60}^{\circ }$‍ é o mesmo.

Embora ainda não tenhamos mostrado explicitamente como encontrar as razões trigonométricas de ${60}^{\circ }$‍, temos todas as informações de que precisamos!

Calculamos as razões trigonométricas para ${30}^{\circ }$‍, ${45}^{\circ }$‍ e ${60}^{\circ }$‍. A tabela abaixo resume nossos resultados.

Esses valores costumam aparecer frequentemente em problemas avançados de trigonometria. Por isso, é muito útil conhecê-los.

Algumas pessoas preferem memorizar esses valores, mas isso não é necessário. Neste artigo, você mesmo chegou a eles, então esperamos que possa refazer isso sempre que precisar deles no futuro.