If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Se você está atrás de um filtro da Web, certifique-se que os domínios *.kastatic.org e *.kasandbox.org estão desbloqueados.

Conteúdo principal
Tempo atual:0:00Duração total:9:56

Transcrição de vídeo

RKA - Aqui nós temos duas definições diferentes para a função d(t), onde d pode ser a distância (medida em metros) e o t pode ser o tempo (medido em segundos). Então, a distância aqui está em função do tempo. Para essa primeira definição 3t +1, quando a gente estiver no instante 0, no segundo 0, a nossa posição é de um metro, está aqui. Quando a gente estiver no instante um segundo, após passar um segundo, eu vou jogar o 1 aqui na fórmula. 3 · 1 = 3 + 1 = 4. Então, vai estar bem aqui. Após um segundo, você percebe que vai estar exatamente aqui no d = 4m. E depois de dois segundos, quando jogar aqui 3 · 2 = 6. E 6 + 1 = 7. Bem aqui. Perfeito. O que eu quero fazer aqui agora é o seguinte: Qual vai ser a taxa de variação da distância em relação ao tempo? O que eu quero fazer é a taxa de variação da distância, em relação à variação do tempo. Muita gente boa chama essa taxa de variação de velocidade. Nesse caso, em metros por segundo. Esse Δd significa variação. Então, a variação na distância dividido pela variação no tempo. Quanto vai ser isso? Muito simples! Se a nossa variação no tempo for de 1 segundo. Digamos que estamos saindo do tempo 0 para o 1s. Esse Δt vai ser igual a 1. A nossa variação na distância vai ser de quanto? Após um segundo, nós vamos andar três metros adiante. Nossa variação no espaço, na variação da distância, vai ser de 3 metros. Foi de 1 metro para 4 metros. Então, isso vai ser igual a 3 sobre 1. Isso significa 3 metros para cada 1 segundo. A gente pode pegar até um outro ponto. Outros dois pontos diferentes. Por exemplo, aqui se eu variar no tempo, 1 segundo novamente, eu vou variar quanto na distância? Quando eu vario 1 segundo, a variação na distância é novamente de 3. Então, dá 3 sobre 1 novamente. E tudo isso aqui que eu fiz, nada mais foi do que uma grande revisão. Se você pegar quaisquer dois pontos aqui sobre essa reta, isso aqui é uma reta, quaisquer dois pontos, e calcular essa taxa de variação da distância, em relação ao tempo, isso vai sempre dar igual a 3m/s. Essa, aliás, é uma das maneiras de pensar sobre uma reta. Em uma reta, a taxa de variação entre dois pontos, sobre essa mesma reta, sempre vai dar um valor constante. A gente está falando aqui no caso, a taxa de variação desse eixo vertical sobre esse eixo horizontal aqui. E quando a gente faz isso, a gente nada mais faz do que calcular a inclinação dessa reta. Nesse caso, eu posso dizer muito bem que essa reta aqui tem uma inclinação igual a 3. Olha aqui, a gente acabou de calcular. Portanto, eu posso dizer que o que define essa reta é essa inclinação constante igual a 3, entre dois pontos quaisquer sobre essa reta aqui. E aqui você pode perceber que essa equação está escrita na equação reduzida da reta. Aqui nós temos o quê? Nós temos a inclinação exatamente. A inclinação vai ser de 3. E aqui nós temos o valor onde essa reta vai encostar nesse eixo do (d), da distância, nesse eixo vertical. Eu te encorajo fortemente a assistir aos outros vídeos da Khan Academy, onde a gente fala sobre a inclinação da reta, sobre essa equação reduzida da reta. Agora, tudo que nós fizemos foi apenas uma grande revisão para a gente analisar essa curva aqui, que é mais interessante. Vamos lá! Você percebe nitidamente, nós não temos mais uma reta aqui. É uma curva. Essa equação é uma equação quadrática. É uma função do segundo grau. Então, essa curva é uma parábola. E agora? Se essa distância em relação ao tempo for definida dessa maneira, através de uma equação quadrática, como eu vou lidar com a taxa de variação? Você percebe que não é mais 3t +1, e sim t² +1. Você percebe também que está sempre variando, sempre crescendo nossa curva. É sempre uma crescente. Se eu pegar um ponto arbitrário sobre essa reta, digamos aqui assim, e desenhar uma reta tangente, que só encoste nesse ponto, você percebe que é uma reta tangente bem positiva, bastante positiva. Agora, se eu pegar outro ponto embaixo, você percebe que ainda vai ser uma reta positiva porém menos positiva do que aquela outra. Olha a inclinação dela como está menor. Essa inclinação, essa outra reta é bem mais inclinada do que essa aqui. A gente pode perceber que a taxa de variação está, nesse caso, sempre variando. Está cada vez ficando mais inclinado, mais íngreme, conforme a gente vai subindo nessa curva. Isso quer dizer que a nossa taxa de variação está sempre crescendo. Está cada vez maior. Ela não é mais uma constante. Ela está, sim, variando, ficando cada vez maior, conforme a gente vai andando para frente no tempo. Conforme você vai prosseguindo para os seus estilos de matemática, você vai perceber que isso você vai ver em cálculo. Todo o cálculo é baseado nesse conceito. E o que eu quero colocar é uma coisa mais básica, que vai ser a taxa de variação média. Vou até escrever aqui. Taxa de variação média. Eu vou precisar do cálculo para saber, neste instante, qual vai ser a inclinação dessa reta tangente. Se eu quiser saber a taxa de variação média, não preciso usar o cálculo. Mas posso usar ferramentas bem parecidas com que as que nós usamos aqui, nesse outro exemplo mais básico. Eu posso calcular, nesse caso, a taxa de variação média entre dois pontos quaisquer sobre essa curva. Então, por exemplo, se eu pegar esse ponto e esse ponto aqui em cima. Eu consigo calcular a taxa de variação média entre esses dois pontos. Eu vou até colocar aqui, para você perceber melhor como funcionaria isso. É uma reta secante a esses dois pontos. Agora, eu consigo determinar a inclinação dessa reta. Você percebe que, nesse caso, essa reta não traduz essa curva. Mas é uma taxa média de variação que eu consigo calcular. Se eu quiser calcular exatamente nesse instante, eu precisaria do cálculo. Nesse caso, eu vou calcular a taxa de variação média entre estes dois pontos. Você percebe que essa curva começa bem devagarzinho e vai aumentando. Quando chega perto desse ponto aqui, ela está bem mais alta. Portanto, essas taxas de variação não vão me dizer exatamente qual é o comportamento dessa curva, mas é uma taxa de variação média. Só para ficar claro para você. Portanto, vamos parar de falar e calcular qual vai ser essa taxa de variação média. Isso vai ser Δd novamente. A variação na distância sobre a variação no tempo. Nesse caso, na variação na distância o meu ponto final vai ser aqui. Então, vou ter que calcular o d(3), após três segundos, menos o d(0), que vai ser meu ponto inicial. Dividido pela variação do tempo. Só que antes vamos observar qual é a nossa variação na distância. Vai ser bem aqui assim, desse ponto até aqui em cima. Vai ser a nossa variação na distância. Aqui nosso Δd. Você percebe que é exatamente o d(3) - d(0), que vai nos dar essa altura, que é a mesma que essa aqui. E a nossa variação no tempo é o seguinte, nós vamos finalizar aqui com 3 segundos. E começamos com 0 segundos. Então, é 3 - 0. Você percebe que isso é a nossa variação no eixo vertical dividido pela nossa variação no eixo horizontal. E o que isso vai me dar? Vai me dar a inclinação dessa reta, que é uma reta secante a essa curva. Portanto, calculando isso, nosso d(3) vai ser 3² = 9 + 1 = 10 - o d(0) = 0² = 0 + 1 = 1. Isso vai dar igual a 9 (10 - 1). Então nosso Δd vai ser igual a 9 sobre 3 - 0 = 3. E você percebe exatamente isso. Δd = 9. A gente vai daqui até aqui. Se você contabilizar, vai dar exatamente 9 metros. E como nós estamos crescendo 9 metros, por isso que esse valor é positivo. Então, fazendo essa divisão agora. Δd sobre ΔT = 9 ÷ 3 = 3. E se eu quiser saber a unidade de medida, que é sempre importante, 3 metros por segundo. Aqui está em metros e aqui está em segundos. Agora, perceba! Essa taxa de variação média deu exatamente igual a essa reta porque a gente pegou esses dois pontos bem distantes uns dos outros. E deu exatamente igual a 3. Agora perceba que se eu pegar aqui, com 2 segundos, e calcular a taxa de variação média entre 2 segundos e 3 segundos, vai ser essa reta, a inclinação dessa reta secante. Isso vai dar diferente. Você percebe que a reta tem inclinação diferente da outra. Então, vai ser como isso aqui? Vai ser Δd sobre ΔT. Mesma coisa. Só que eu vou ter d(3), que vai ser nosso ponto final, menos o ponto inicial, que vai ser d(2) porque eu estou considerando entre 2 e 3, dividido pelo nosso tempo final que é 3, menos o tempo inicial que é 2. Percebe que nesse caso vai dar igual a 10. D(3) = 10. A gente acabou de calcular. Menos o d (2) = 2² = 4 + 1 = 5. Então aqui vai dar 5. E 3 - 2 = 1. Então aqui vai dar o seguinte: 10 - 5 = 5. 3 - 2 = 1. Então vai dar exatamente 5 metros por segundo. Perceba que está diferente. 5 metros por segundo. Diferente dos 3 metros por segundo que eu peguei nesse intervalo. Você percebe que essa reta tem uma inclinação diferente dessa aqui. O importante é que você consiga perceber exatamente isso. Que a nossa taxa de variação média vai mudar dependendo do intervalo que eu pegar, por causa dessa curva que está sempre crescendo. Isso aqui é uma boa introdução para aqueles que querem estudar o cálculo, beleza? Até o próximo vídeo!