Simplificação de raízes com índices de valores maiores

RKA - Até agora, ao lidar com radicais, usamos apenas a raiz quadrada. Vimos que, se eu escrever um sinal radical assim e colocar um 9 sob ele, isso significa a raiz quadrada positiva de 9, que é +3. Ou podemos ver como a raiz quadrada positiva de 9. Agora, o que está implícito quando escrevemos assim é que extraí a raiz quadrada. Eu também poderia escrever assim; também posso escrever a raiz assim e escrever o índice 2 aqui, que significa a raiz quadrada, a raiz quadrada principal ou positiva, de 9. Encontre algo que, se elevar o quadrado, obtém o 9. E o radical não se aplica somente à raiz quadrada. Podemos mudar o índice aqui e extrair a raiz arbitrária de um número. Por exemplo, se eu perguntasse a você: qual... você pode imaginar que é chamada de raiz cúbica, ou pode chamar de terceira raiz de 27... Qual é a raiz? Bom, esse é o número que, se elevado a 3, obtenho 27. O único número que, se for elevado à terceira potência resulta em 27, é o número 3. 3 vezes 3 vezes 3 é igual a 27; 9 vezes 3 é 27. Da mesma forma, vamos fazer mais um. Se tiver 16... (vou fazer numa cor diferente)... se tiver 16 e quiser extrair a raiz quarta de 16, que número vezes ele mesmo quatro vezes é igual a 16? E, se não aparecer imediatamente para você, podemos fazer a fatoração em números primos de 16 para descobrir. Vejamos: 16 é 2 vezes 8; 8 é 2 vezes 4; 4 é 2 vezes 2. Então, isso é igual à raiz quarta de 2 vezes 2 vezes 2 vezes 2. Temos quatro vezes o 2 aqui. Tenho a multiplicação de quatro vezes o 2 por ele mesmo; então, a raiz quarta disso deve ser igual a 2. E também podemos ver isso como a raiz quarta positiva, porque, se esses números fossem todos "-2", também funcionaria. Temos múltiplas maneiras... assim como temos múltiplas raízes quadradas, temos múltiplas raízes quartas, mas o radical implica a raiz principal. Agora, dito isso, antes de simplificarmos a raiz quadrada tradicional, espero que possamos simplificar agora os radicais com raízes de índices maiores. Vamos tentar alguns. Digamos que eu queira simplificar essa expressão: raiz quinta de 96. Como eu disse antes, vamos fatorar esse termo. 96 é 2 vezes 48, que é 2 vezes 24, que é 2 vezes 12, que é 2 vezes 6, que é 2 vezes 3. Então, isso é igual à raiz quinta de 2 vezes 2 vezes 2 vezes 2 vezes 2. 2 vezes 2 vezes 2 vezes 2 vezes 2 vezes 3. Ou outra maneira de visualizar é ver como uma potência de expoente fracionário. Podemos visualizar como uma potência de expoente fracionário (já falamos sobre isso). Isso é o mesmo que (2 vezes 2 vezes 2 vezes 2 vezes 2 vezes 3) elevado a 1/5. Vamos esclarecer isso: a enésima raiz de um número equivale a elevar esse número elevado a "1/n". Estas afirmações são equivalentes. Se elevarmos a 1/5, é o mesmo que (2 vezes 2 vezes 2 vezes 2 vezes 2) elevado a 1/5 vezes 3 elevado a 1/5. Agora, temos algo sendo multiplicado. Eu multipliquei 2 por ele mesmo cinco vezes, e estou elevando isso a 1/5. Bom, isso elevado a 1/5 é 2; ou a raiz quinta disso será 2. Teremos 2 aqui. E isso fica 3 elevado a 1/5. 2 vezes 3 elevado a 1/5, que é isso simplificado ao máximo possível. Mas, se quisermos manter na forma radical, podemos escrever como: 2 vezes a raiz quinta de 3. Dessa forma. Vamos tentar outro. Vamos tentar mais um. Vamos colocar umas variáveis no meio. Digamos que a gente queira simplificar a raiz sexta de "64 vezes 'x' elevado à oitava". Vamos fazer o 64 primeiro. 64 é igual a 2 vezes 32, que é 2 vezes 16, que é 2 vezes 8, que é 2 vezes 4, que é 2 vezes 2. Então temos: um, dois, três, quatro, cinco, seis. Isso em si é 2 elevado à sexta. Isso equivale à raiz sexta de 2 elevado à sexta, que é 64. Vezes "x" elevado à oitava. Agora, a raiz sexta de 2 elevado à sexta é bem simples: essa parte aqui será igual a 2. Teremos 2 vezes a raiz sexta de "x" elevado à oitava ("x" elevado à oitava potência). Como podemos simplificar isso? Bom, "x" elevado à oitava é a mesma coisa que "x" elevado à sexta vezes "x" ao quadrado. Temos a mesma base, basta adicionar os expoentes. Isso é o mesmo que "x" elevado à oitava. Então, isso é igual a 2 vezes a raiz sexta de "x" elevado à sexta vezes "x" ao quadrado. E a raiz sexta (essa parte aqui)... a raiz sexta de "x" à sexta é apenas "x". Então, isso é igual a "2x" vezes a raiz sexta de "x" ao quadrado. Podemos simplificar ainda mais se raciocinarmos bem. Lembre-se: esta expressão aqui é exatamente o mesmo que "x" ao quadrado elevado a 1/6. E, se você se lembrar das propriedades das potências: quando levamos uma potência a um expoente, devemos multiplicar os expoentes "x" elevado a 2 vezes 1/6; ou... (deixa eu escrever)... 2 vezes 1/6, que é a mesma coisa... não vamos esquecer do "2x" aqui... então, temos "2x" aqui e "2x" lá. E isso é o mesmo que "2x" (é o mesmo "2x" de lá) vezes "x" elevado a 2/6. Ou, se quisermos descrever essa fração na sua forma mais simples, ou forma irredutível, temos "2x" vezes "x" elevado a... o que temos aqui? "x" elevado a 1/3. Se quisermos escrever na forma radical, podemos escrever que isso é igual a "2x" vezes a raiz cúbica de "x". Ou, a outra maneira de pensar, podemos dizer... podemos partir desse ponto aqui; podemos escrever isso; podemos ignorar isso que fizemos antes e podemos dizer: isso é o mesmo que "2x" à oitava elevado a 1/6 ("x" à oitava elevado a 1/6), e isso é igual a "2x" elevado a "oito vezes 1/6", "x" elevado a 8/6. Agora podemos reduzir essa fração. Isso é "2x" elevado a 4/3. E esses dois são totalmente equivalentes. Por quê? Porque temos "2x", ou 2x elevado a 1, vezes "x" elevado a 1/3. Adicionamos "1 + 1/3" e temos 4/3. Espero que tenha achado esse pequeno tutorial sobre radicais mais interessante. Eu acho que é útil para ver a forma de fatoração em números primos e perceber: "ah, se eu extrair a raiz sexta, eu tenho que encontrar a fatoração em números primos que aparece pelo menos seis vezes, então posso descobrir que é 2 à sexta". Enfim, espero que tenha achado útil.