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Cálculo de progressões na forma recursiva

Transcrição de vídeo

RKA - Olá. Neste vídeo, nós temos essa sequência definida dessa maneira aqui, por partes, e aqui é o seguinte. Será que você consegue descobrir quanto é a g(1), a g(2), a g(3) e a g(4)? Eu peço para você agora pausar o vídeo, tentar primeiro descobrir quanto que é, que agora vou dar a resposta. Quanto será então aqui a g(1)? A g(1) é muito fácil, muito simples. Quando "n" = 1, então eu vou ter a minha g(1), isso vai ser igual a quanto? A 4. G(1), rapidamente, é igual a 4. Agora g(2). A g(2) vai ser o seguinte. Eu vou ter que usar agora essa parte aqui de baixo. Então, vai ser a g(n - 1). Perceba que eu não vou colocar o 2 direto, a g(2) direto, porque aqui eu vou ter g(2 - 1), então vai ser a mesma coisa que a g(1), ou seja o termo anterior + 3,2. O termo anterior, como nós vimos o g(1), é igual a 4. Então, esse termo aqui é 4. Logo, vou ter 4 + 3,2 = 7,2. Então, eu fiquei dependente aqui desse termo g(1) para poder calcular a g(2). Agora, eu posso calcular também aqui a g(3). Quando eu colocar, no lugar do "n", o 3, então a minha g(3) vai ser igual a g(n -1), ou seja, g(3 - 1), que é a mesma coisa que a g(2), que acabamos de calcular, mais o 3,2. Então, aqui vai ser o seguinte. G(2) é 7,2. 7,2 + 3,2 = 10,4. A g(4), pelo mesmo motivo, vai ser a g(3), porque aqui vai entrar 4 - 1, que vai dar 3. Ou seja, vai ser esse termo anterior que acabamos de calcular + 3,2. Você percebe que a cada novo termo eu estou adicionando 3,2. Então agora, a g(4) vai ser a g(3) que é 10,4 + 3,2 = 13,6. Então aqui, como já calculei esses quatro primeiros termos, eu posso escrever o conjunto com a minha sequência, ou seja, começa com 4, depois 7,2, depois aqui o 10,4, depois 13,6 e daí em diante. Agora, perceba que não preciso, nesse caso aqui, dessa função recursiva dessa função recursiva aqui, função recursiva, para poder determinar a sequência, tendo esses termos aqui. Eu estou percebendo aqui agora que cada novo termo de sequência é só adicionar 3,2 ao anterior. Então, aqui é + 3,2. Daqui para cá, eu adiciono 3,2 e assim por diante. Então, bate de fato com que nós temos aqui. Perceba que o primeiro termo é 4. E depois, eu vou ter que somar uma vez o 3,2, que é o que acontece aqui, depois eu somo mais uma vez 3,2, ou seja, duas vezes para o terceiro termo, somo duas vezes o 3,2 e assim por diante. Agora aqui, eu faço uma pergunta para você. Será que você consegue calcular agora quanto é a g(6)? Quanto é a g (6)? Pause o vídeo e tente pensar sobre isso. A g(6), como você já deve estar pressupondo, vai ser a g(5), ou seja, o termo anterior ao 6º, o 5º termo, somado com 3,2. Mas, e agora? Quanto que é o 5º termo? Bom, não sei. Então, preciso calcular. Agora vou calcular quanto é a minha g(5). A minha g(5) vai ser a g(4), que já calculei, deu 13,6 13,6 somado com 3,2. Então, isso vai dar quanto? 16,8. 16,8. E agora, como eu já calculei a g(5), posso substituir aqui em cima. Então, aqui vai ser 16,8 e a minha g(6) vai dar igual a quanto? 16,8 + 3,2 vai dar aqui 19, 8 + 2 dá 1 inteiro. Então, vai dar 20. Minha g(6) = 20. Se eu não tivesse calculado nenhum desses valores aqui, eu poderia muito bem pegar a g(6) e começar a calcular de trás para frente, até chegar nesse caso base aqui, que é quando "n" = 1, a minha função é igual a 4. Disso, eu consigo deduzir todo o resto. Vamos fazer mais uma agora. É interessante. Vamos fazer mais essa aqui. h(n) = 14, quando "n" é igual a 1 e, para os outros termos, vai ser 28 ÷ h × (n - 1), ou seja, se o "n" for um número maior do que 1 e um número inteiro. Então, eu peço que você pause o vídeo e tente descobrir os primeiros termos da sequência. Vamos lá? Pausou o vídeo? Então, beleza. A h(1) vai ser igual a quanto? Bem direto, vai ser igual a 14. Se "n" = 1, h(n) ou seja h(1) = 14. A h(2), eu já vou usar essa fórmula, que vai ser igual a 28 ÷ pelo termo anterior porque h(2) aqui eu vou ter h(2 - 1), que é igual a h(1). Então, o h(1), como eu acabei de calcular, dá 14. A h(2), então, vai ser igual quanto? 28 ÷ 14 = 2. Agora, o h(3). O h(3) vai ser igual a 28 dividido pelo termo anterior, ou seja, o termo anterior que vai ser o h(2), aqui vai entrar o h(3 -1), que é o h(2). Então, 28 ÷ h(2), que é 2, vai dar 14. Agora, o h (4). O h(4) vai ser 28 ÷ pelo termo anterior, que é o 14. E 28 ÷ 14 = 2. Eu acho que você já está entendendo como está funcionando o comportamento dessa sequência. Essa sequência, como você pode perceber, está alternando entre 14 e 2 nos seus resultados. Ou seja, 14, o outro termo é 2, o outro é 14, o outro é 2 e daí em diante. Eu posso pensar nessa sequência aqui da seguinte maneira. O primeiro termo é 14, depois eu pego 28 ÷ 14 = 2. Depois, 28 ÷ 2 = 14. 28 ÷ 14 = 2 e daí em diante. Então, vai ficar alternando entre 14 e 2 essa sequência. Nada difícil. Bem tranquilinho. Esse é o nosso caso base. Quando "n" = 1, h(n) = 14. Então, fica bem tranquilo de definir aqui como essa sequência. Vamos fazer mais uma? Vamos lá então. Gosto de ânimo. Ânimo aí, vamos estudar galera. Aqui é o seguinte. Agora temos essa função e você percebe aqui que eu tenho 3 casos. O primeiro caso é quando o "n" = 1, eu defino como essa função f(1) vai ser igual a -6. Quando "n" = 2, a minha f(2) vai ser -4 e eu vou precisar desses dois casos base, vou chamar isso aqui de casos base. Nessa daqui, eu vou ter dois casos base que eu preciso dos dois anteriores para determinar os próximos porque olha aqui os próximos termos vão ser a soma dos dois anteriores. Então, eu agora quero que você pause o vídeo e tente você descobrir os termos dessa sequência. Pois bem, vamos começar primeiro tentando definir qual é a f(4). Será que você consegue definir qual é a f(4)? Aqui vai ser o seguinte. A f(4), como o "n" é maior do que 2, ele aqui no caso é igual a 4, eu vou usar essa fórmula, vai ser a f(n - 2), ou seja de 4 - 2 que é 2, mais a f(n -1), ou seja, 4 - 1 que é 3. Só que eu sei qual é a f(2). Está aqui -4. Porém, a f(3) eu não sei quanto é ainda. Então, aqui não vou conseguir calcular a f(4), eu vou precisar voltar. Então, aqui vou calcular a f(3). A f(3) ela vai ser igual a f(n - 2), ou seja, 3 - 2 = 1 mais a f(n - 1). 3 - 1 = 2. Então, a f(2). Perceba que eu sei qual é a f (1) e a f(2). Então, tranquilo. Vamos voltar até chegar na f(1) aqui. Então, a f(2) aqui vai ser o quê? Vai ser tranquilo. A f(2), se "n" = 2, a minha f(2) vai ser igual a quanto? A -4, é um caso base. Então, f(2) = -4. E a f(1) é um outro caso base, é o primeiro termo da nossa sequência, que é esse termo aqui -6. -6, tranquilo? Agora, a gente já consegue calcular a f(3) e a f(4). A nossa sequência aqui vai ser o seguinte. Você percebe que cada termo da sequência é a soma dos dois anteriores. A f(3) vai ser f(1) + f(2), os dois termos que vem antes da f(3). A f(4) vai ser f(2) + f(3), ou seja, os dois termos que vem antes da f(4). Então, a gente vai pegar os dois primeiros termos que são os casos base e a gente vai colocar aqui: -6 é o primeiro termo e -4 é o segundo termo. O terceiro termo, como a gente pode ver aqui, é o f(1) + f(2), ou seja, a soma desses aqui. Então, -6 - 4, que é -6 + (-4), vai dar -10. O quarto termo vai ser a soma dos dois anteriores também. Então, se o quarto termo está aqui, vai ser a soma do -10 com -4, ou seja , -10 + (-4), que vai dar -10 -4, que vai dar -14. Portanto, aqui f(3) calculamos que é -10 e f(4) calculamos que é -14. O objetivo do vídeo é fazer você ficar familiarizado com as funções recursivas para poder determinar, então, essas sequências. Até o próximo vídeo!