Introdução às equações lineares com duas variáveis

RKA - O que eu quero tratar nesse vídeo é a noção de equações lineares, vou escrever equações da reta. Equações da reta. Vamos analisar por que isso aqui é chamado então de equações da reta. Digamos aqui que eu tenho uma equação do tipo y igual a 2x - 3. Essa daqui é uma equação linear, então uma equação da reta. Então, por que isso é chamado de equação da reta? Quando você pega os pares ordenados (x, y) aqui, que satisfazem a equação e joga lá no plano cartesiano, você tem uma reta como resultado. Vamos analisar essa nossa afirmação aqui que nós acabamos de fazer, analisando como ficaria então quando eu dou valores aqui para o x para determinar um valor para o y. Vamos dar aqui valores para o x para determinar o y e vermos aqui no gráfico como isso aqui seria, como seria determinar essa reta. É o seguinte, se o x for zero, por exemplo, quanto vai valer o y? Eu vou ter 2 vezes zero, que é zero, - 3, ou seja, o y aqui vai ser igual a - 3. Agora, se o x for igual a 1, por exemplo, se o x for igual a 1, vou ter 2 vezes 1 que dá 2, 2 - 3 que vai dar igual a -1. Então, já posso até colocar esses pontos aqui no gráfico, zero para x, - 3 para y. Vai ficar bem aqui o ponto. O outro ponto é o ponto 1 para x e -1 para y, então (1, -1), esse ponto está bem aqui. Já com 2 pontos conseguiria traçar uma reta, basta 2 pontos, mas eu vou dar mais um valor aqui. Digamos que eu dê o valor x = 2. Aí eu vou ter 2 vezes 2 que dá 4, 4 - 3 que dá 1. Então, esse ponto vai ficar aqui, 2 para x, 1 para y, vai ficar bem aqui. Já espero que você consiga verificar a existência dessa reta. Se nós ligarmos os pontos, se eu conectar aqui esses pontos eu vou ter a seguinte reta. Passando por esses 3 pontos aqui, a reta segue, eu teria mais ou menos essa reta. E essa reta aqui, que eu acabei de desenhar, é o gráfico da função y igual a 2x - 3. E essa reta contém todos os pares ordenados que satisfazem essa equação, tais valores do x e os valores para o y que satisfazem essa equação. Só que aí você pode pensar assim: ok, você deu apenas valores que são valores inteiros, bonitinhos, como é que isso aqui gera uma reta? Por que não pode gerar só esses pontinhos aqui? Porque você vai ter todos os pontos entre aqui, todos os pontos em cima dessa reta vão satisfazer essa equação. Por exemplo, digamos que eu dei um valor aqui igual a -0,5, bem aqui, valor para o x igual a -0,5. Como que vai ficar o meu valor do y? Vai ficar da seguinte maneira, se eu observar aqui na reta, se eu pegar um x igual a -0,5, esse valor aqui dá, lá na reta, ele vai estar bem aqui, eu suspeito que ele fique aqui no -4 para y. Será que vai dar isso mesmo? Vai ficar bem por aqui, vamos verificar. Se eu der o x igual a -1 sobre 2, isso vai ficar quanto? Eu vou simplificar esse 2 com esse 2 aqui, ai eu teria quanto? -1 menos 3, quanto é -1 menos 3? Vai dar exatamente -4, que eu encontrei aqui suspeitando, fazendo essa ligação dos pontos. Agora, perceba, eu não tenho apenas esses pontos aí, tenho outros, por exemplo. esse ponto aqui, digamos, ele é a solução para essa nossa equação, esse outro ponto aqui em cima também. Agora um ponto aqui, por exemplo, não é solução, ele não pertence a essa reta. Perceba que se o nosso x for igual a 6, por exemplo, o nosso y não vai ser igual a 4, pode jogar aqui que você vai ver que não vai dar igual a 4. Se você quiser saber quanto é o valor do y para quando o x é igual a 6, ele vai estar bem aqui sobre essa reta, tenho certeza que daria igual a 9. Pode jogar aqui, 2 vezes 6 dá 12, 12 - 3 dá quanto? Exatamente 9. Portanto, todos os resultados possíveis dessa equação aqui estão sobre essa reta. Outro ponto, por exemplo aqui, quando o x é igual a 5. Se o x for igual a 5, onde vai estar aqui na reta? Vai ser igual a 7. Vamos verificar isso daqui fazendo a conta. Se o x é igual a 5, o y vai ser igual a quanto? 5 vezes 2 aqui que vai dar 10, 10 - 3 que dá 7, exatamente o que eu pensei aqui, quando coloquei esse ponto. Então, como eu tenho uma reta como solução aqui, por isso que isso aqui é chamado de equação da reta. Agora, não há apenas esse jeito aqui para escrever a equação de uma reta. Posso escrever também assim desse jeito, por exemplo: 4x - 3y igual a 12. Essa aqui também gera uma reta e eu posso verificar isso, fazendo novamente aqui uma tabela, valores para o x para obter o y. Perceba aqui, se eu fizer o x igual a zero, por exemplo, esse termo aqui cai fora, eu vou ter -3y = 12. Se - 3y é igual a 12, esse y tem que ser igual a -4. Eu posso verificar, se eu jogar o y = - 4 e o x = 0, eu vou ter o seguinte: -3 vezes -4, que vai dar 12, aqui vai dar zero, porque 4 vezes zero vai dar zero. Então, 12 é igual a 12, realmente satisfez a equação. Agora, eu quero saber o valor do x quando y=0. Então, se esse y = 0, esse termo vai embora, eu vou ter 4 vezes x igual a 12. 4 vezes 3 é igual a 12, então x aqui tem que ser igual a 3. Portanto, eu posso marcar esses pontos aqui também, (0, -4), quando x é zero, y é - 4, está bem aqui o ponto. E quando x é 3, o y é 0, x = 3, o y é igual a zero, então vai ficar bem aqui esse ponto. E aí eu vou ter, mais ou menos aqui, essa reta passando pelos dois pontos, mais ou menos esboçando o gráfico aqui. E, portanto, todos os pares ordenados (x, y), que eu jogar aqui, calcular o valor do x para obter um y, ou vice-versa, eu vou obter um ponto sobre essa reta. Mas, aí, você pode me perguntar assim: "Então, será que todas as equações geram uma reta?" Não! Vou, por exemplo, colocar aqui, equações que não formam reta. Então, vou colocar aqui, equações de não reta. Como é que seria isso? Por exemplo, uma equação que não forma uma reta? Por exemplo, o y = x², isso não forma uma reta. Se você colocar isso daqui em um gráfico, você vai perceber que isso aqui é uma curva e não uma reta. Eu poderia colocar também x vezes y igual, digamos 12. Isso também não vai ser uma reta, eu também poderia colocar uma outra equação aqui, digamos 5 sobre x + y = 10, que isso também não vai ser uma reta. Eu até te encorajo a você tentar fazer o gráfico dessas equações aqui, é bem interessante, mas essas são equações que não formam reta. Então, vamos fazer uma definição aqui para uma equação de uma reta. Então, para uma equação ser chamada de equação da reta, ou um dos termos é uma constante, perceba que esse -3, esse 12 aqui por exemplo, eles não mudam nunca, então são valores variáveis, são constantes, ou é uma constante seguida de uma variável que está elevada à potência 1. Aqui, por exemplo, o "x" e o "y" estão elevados à potência 1, aqui também. Perceba que eu não tenho aqui y², x² ou y dividido por x, eu não tem nada disso. Eu tenho simplesmente x e y elevados à potência 1, seguidos de uma constante multiplicando. E, portanto, se eu tiver esse esquema aqui em que o y e o x não estão se multiplicando, ou fazendo qualquer outra coisa, estão nessa forma aqui, então eu tenho uma equação de uma reta. Até o próximo vídeo!