Desafio: pontos em duas circunferências

RKA - O ponto "A" está em (-5, 5) e é o centro da circunferência "A". Então, -5 está aqui e o 5, está bem aqui. Então aqui está o ponto ''A'', desse jeito aqui, (-5, 5), e é o centro da circunferência ''A''. Eu não vou desenhar agora porque eu não sei o raio da circunferência ''A''. Então, deixa eu sublinhar aqui com a cor apropriada. O ponto "B" está em (3, 1). Aqui está o ponto ''B'' e é o centro da circunferência ''B''. O ponto "P" está em (0, 0), portanto, aqui está o ponto ''P'', bem na origem, e pertence às circunferências "A" e "B". Bom, isso é uma bela informação, já que, se o ''P'' pertence às duas circunferências, a circunferência ''A'' e a circunferência ''B'', isso significa que de ''P'' até ''B'' nós temos o raio da circunferência ''B'', e de ''P'' até ''A'' nós temos o raio da circunferência ''A'', já que ''B'' é o centro da circunferência ''B'' e o ''A'' é o centro da circunferência''A''. Então, vamos descobrir o que são esses dois raios. A gente sabe que o ''P'' está sobre a circunferência ''A'', portanto, esse aqui é o raio da circunferência ''A''. E agora, você pode usar a fórmula da distância, que decorre do teorema de Pitágoras. O raio da circunferência ''A'', que é a distância entre o ponto ''A'' e o ponto ''P'', isso elevado ao quadrado, o raio do ''A'' elevado ao quadrado, vai ser igual à variação no ''x'' do ponto ''A'' até o ponto ''P'', portanto, -5 menos zero, então eu vou botar aqui, (-5 - 0)² mais a variação no ''y'', também em relação do ponto ''A'' ao ponto ''B'', portanto, 5 menos zero, vou botar aqui, (5 - 0)². Isso nos diz, então, que o raio da circunferência ''A'' ao quadrado vai ser igual a (-5)² + 5², que é resultado disso aqui, ou simplesmente podemos dizer que o raio da circunferência ''A'' será igual à raiz quadrada disso aqui, -5² é 25, mais 5² que dá 25 também, portanto, 25 + 25, é 50. E 50 nós podemos escrever como 25 vezes 2. Então, isso daqui é igual à √25, que é 5, multiplicado pela √2 que vou deixar aqui como raiz quadrada de 2, portanto, essa distância aqui é 5√2. Bem, eu acabei de dizer que isso daqui é igual ao teorema de Pitágoras, por quê? Pois bem, se nós fôssemos construir um triângulo retângulo aqui, estamos construindo um triângulo retângulo bem aqui, isso seria a distância em módulo do zero até ao -5, ou seja, zero menos o 5 negativo, logo, essa distância aqui é 5, essa outra distância aqui em relação ao eixo do ''y'' também vai valer 5, e o que o teorema de Pitágoras diz? Que esse valor aqui ao quadrado, 5² mais esse outro 5 elevado ao quadrado, vai ser igual à hipotenusa desse triângulo retângulo elevado ao quadrado. Quanto vai valer essa hipotenusa então? 5√2. E isso é exatamente o que nós fizemos aqui. Mas aí você pode dizer: ''espera aí, eu tenho aqui um -5², e aqui eu tenho 5", mas a razão pela qual eu posso fazer isso, é que quando eu elevo isso ao quadrado, esse número negativo aqui ao quadrado, ele se torna positivo. E a fórmula da distância, você pode escrever desse jeito ou pegar o valor absoluto, e aí se torna bem claro que isso aqui é exatamente o teorema de Pitágoras. Aqui seria 5² + 5², 5² +5². Da mesma forma que nós determinamos esse raio da circunferência ''A'', vamos fazer também a mesma coisa para o raio da circunferência ''B'', portanto, aqui é o raio na circunferência "B'', exatamente a mesma ideia. Aqui, raio da circunferência ''B''. Portanto, o raio da circunferência ''B'' ao quadrado vai ser igual à variação do ''x'' aqui do ''B'' em relação ao ''P'', portanto, (3 - 0)² mais a variação do ''y'', (1 - 0)². E aí, o raio da circunferência ''B'' vai ser igual à raiz quadrada de 3 menos zero ao quadrado 3 menos zero dá 3, 3² é 9, 1 menos zero dá 1, 1² vai dar 1, portanto, 9 + 1, isso vai dar igual a √10. O raio do ''B'', então, é igual a √10. Agora, ele pergunta assim: quais dos seguintes pontos pertencem à circunferência "A", à circunferência "B" ou a ambas? Então, tudo que nós temos que fazer é olhar para esses pontos. Se esse ponto aqui, por exemplo, estiver em uma distância √10 desse ponto ''B'', ele vai estar sobre a circunferência ''B'', pois ele vai estar um raio de distância, uma vez que a circunferência é o lugar geométrico de todos os pontos que estão a um raio de distância do centro. E se o ponto estiver a 5√2 de distância desse ponto ''A'', ele vai estar sobre a circunferência ''A'', pelo mesmo motivo. Então, vamos testar aqui com o ponto ''C''. Esse ponto ''C'', que eu vou colocar aqui de laranja, ele está em (4, -2), portanto, o ponto ''C'' está onde? 1, 2, 3, 4, -1, -2, ele está bem aqui, aqui está o a ponto ''C''. Pois bem, parece bem pertinho do ponto ''B'', parece que está esse raio de distância, está desenhada à mão livre, então não está muito acurado, mas ele parece bem próximo desse ponto ''B''. Aqui, a distância de ''B'' até ''C''. Logo, vamos verificar isso. Vou levantar um pouquinho a nossa tela. A distância do ponto ''C'' até o ponto ''B'' ao quadrado vai ser igual a variação do ''x'', portanto, como estamos considerando do ''C'' até o ''B'', vai ser 4 menos 3, então vou colocar aqui, (4 - 3)² mais a variação no eixo do ''y''. Então vamos lá. -2 menos 1, vou botar aqui (-2 -1)², e isso aqui é igual a 4 menos 3, que vai dar 1, 1² + (-2 - 1), vai dar (-3)². Então, essa distância ao quadrado será igual a 10, já que 1² é 1, -3² é 9, 1 + 9 dá 10 e a nossa distância é igual a √10, olha aí. Essa distância aqui também é √10, logo, como tem a mesma medida do raio da circunferência ''B'', eu posso deduzir que esse ponto ''C'' está sobre a circunferência ''B''. Se nós quiséssemos desenhar esse círculo ''B'', ele seria algo mais ou menos assim, lembrando que isso aqui está desenhado à mão livre né, então, não está 100% acurado, mas seria algo mais ou menos assim. E esse ponto ''C'' em relação ao ponto ''B'', vai estar a um raio de distância, logo, eu posso escrever que esse ponto ''C'' está na circunferência ''B''. Agora, vamos olhar para esse ponto aqui, o ponto ''D'', (5, 3). Eu vou fazer nesse caso, o ponto ''D'' de rosa. Portanto, vamos ver aqui, o ponto ''D'' está 1, 2, 3, 4, 5, 1, 2, 3, ele vai tá mais ou menos aqui assim, e, novamente, ele parece bem próximo do ponto ''B'', parece que está um raio de distância, mas vamos verificar. Portanto, nesse caso aqui do ponto ''D'', a nossa distância ao quadrado vai ser igual à variação no eixo do ''x'', que no caso do ponto ''D'' em relação ao ponto ''B'' é 5 menos 3, então vou botar aqui, (5 - 3)² mais a variação no eixo do ''y'', 3 menos 1, mais (3 - 1)². Agora, eu já posso calcular isso daqui, a nossa distância ao quadrado vai ser igual, vou pular alguns passos aqui da conta, 5 menos 3, que dá 2, 2² dá 4, mais 3 menos 1, que dá 2, e 2² dá 4. Então, a nossa distância será igual à √8, que é a mesma coisa que a raiz quadrada de 2 vezes 4, que por sua vez, raiz quadrada de 4 vai ser 2, raiz de 2 aqui dentro, então 2√2. Então, essa distância do ponto ''D'' até o ponto ''B''' é diferente de √10, e logo, definitivamente, esse ponto ''D'' não está sobre a circunferência ''B''. Já que não está já que não está sobre a circunferência ''B'', será que está sobre a circunferência ''A''? Só de olhar aqui, esse ponto ''A'' até o ponto ''D'', ele está bem distante, então, também não estará sobre a circunferência ''A''. Isso pode ser feito da mesma forma com esse ponto ''C'' aqui, ele está bem distante daquele ponto ''A", portanto, ele não vai estar sobre a circunferência ''A'', você pode, apenas através do visual, perceber isso, ele está bem mais longe que esse raio da circunferência ''A''. Portanto, esse ponto ''D'' está sobre nenhuma das duas circunferências. E agora, nós temos esse ponto aqui, o ponto ''E'', (-2, 8). Vou fazer com uma outra cor, deixa eu ver aqui, vou fazer de amarelo novamente. Aqui está o ponto ''E'', (-2, 8). Onde vai dar esse ponto ''E'' aqui? Vamos ver. -2, que está o aqui, e 8 lá no eixo do ''y'', portanto, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ele vai estar mais ou menos aqui assim. Esse, então, é o ponto ''E'', logo, só de olhar, a gente já percebe que ele está bem longe desse ponto ''B'', portanto, não faz parte da circunferência ''B'', está bem longe só de olhar. E olhando em relação ao ponto ''A'', ele parece estar bem mais próximo do que o raio dessa circunferência ''A'', que é 5√2, parece que ele está bem mais próximo só de observar. Portanto, olhando aqui, esse ponto ''E'' parece bem mais próximo que esse ponto ''P'', que vai estar sobre a circunferência ''A''. Então, a gente já pode sacramentar aqui, que vai estar também sobre nenhuma das duas circunferências. Mas a gente pode também verificar isso. A distância ao quadrado vai ser igual à variação no eixo do ''x'', portanto, -2, e aqui no ''A'', menos -5, logo, eu vou ter aqui -2 menos -5 ao quadrado, mais a variação no ''y'', que vai ser 8 menos 5, está aqui, (8 -5)². Nós temos então, que a distância ao quadrado vai ser igual a -2 menos -5, esse menos com esse menos aqui fica positivo, então -2 + 5 vai dar 3, vou ter 3², mais 8 menos 5, que dá 3, vai ficar 3², e claro, você pode observar através do teorema de Pitágoras, essa distância aqui vai ser 3, essa distância também vai ser 3, e aqui nós temos um ângulo reto. Então, 3² + 3² vai ser igual à distância do ''A'' até o ''E'' ao quadrado, ou seja, a hipotenusa desse triângulo retângulo ao quadrado. E então, nossa distância aqui vai ser igual, vou economizar alguns passos, vai ser igual à raiz quadrada de 9 vezes 2, já que eu vou ter 9 + 9, que dá 18, que é mesma coisa que 9 vezes 2. Então, a nossa distância vai ser igual a 3√2, e o raio dessa circunferência ''A'' é igual a 5√2, e não 3√2, portanto, esse ponto ''E'' vai estar dentro na circunferência, não sobre ela. Eu vou desenhar aqui aproximadamente, como seria essa circunferência ''A'', então esse é um desenho aproximado da circunferência ''A'', e aí você percebe que o ponto ''E'' está dentro da circunferência, o ponto "D'' está lá fora, lá longe, assim como o ponto ''C''. Portanto, o único ponto que está sobre uma das circunferências, está aqui, é o ponto ''C''.