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Curso: Matemática 1 > Unidade 18

Lição 1: Distância e pontos centrais

Preparação para geometria analítica

A geometria analítica relaciona figuras geométricas ao plano cartesiano e a representações algébricas. Para nos prepararmos, vamos fazer uma revisão sobre o plano cartesiano, distância e deslocamento, coeficiente angular e algumas habilidades aritméticas úteis.

Vamos repassar alguns conceitos que serão úteis quando você der início à unidade sobre geometria analítica do curso de geometria do Ensino Médio. Você vai ver um resumo de cada conceito, um item de exemplo, links para mais exercícios e algumas informações sobre por que você vai precisar desse conceito na unidade.

Há muitas seções neste artigo porque a geometria analítica reúne várias ideias!

Este artigo somente inclui conceitos de cursos anteriores. Há também conceitos no curso de geometria do Ensino Médio que são importantes para entender geometria analítica. Se você ainda não dominou a lição sobre o Teorema de Pitágonas, é importante fazer uma revisão dela antes de se aprofundar na unidade.

Pontos em um plano cartesiano

O que é isso e por que precisamos disso?

Usamos um plano cartesiano para mostrar posições relativas em um espaço bidimensional. Descrevemos todos os pontos no plano com um par ordenado na forma

(x, y)

, sendo que

x

representa a posição horizontal e

y

representa a posição vertical. Os pontos à esquerda da

têm coordenadas de

x

negativas e os pontos à direita têm coordenadas de

x

positivas. Da mesma forma, os pontos abaixo da origem têm coordenadas de

y

negativas e os pontos acima da origem têm coordenadas de

y

positivas.

Prática

Problema 1

Use o seguinte plano cartesiano para escrever o par ordenado de cada ponto.

Ponto	Par ordenado
$A$ ‍	$($ ‍ Sua resposta deve ser um número inteiro, como $6$ ‍ uma fração própria simplificada, como $3 / 5$ ‍ uma fração imprópria simplificada, como $7 / 4$ ‍ um número misto, como $1 3 / 4$ ‍ um número decimal exato, como $0, 75$ ‍ um múltiplo de pi, como $12 pi$ ‍ ou $2 / 3 pi$ ‍ , Sua resposta deve ser um número inteiro, como $6$ ‍ uma fração própria simplificada, como $3 / 5$ ‍ uma fração imprópria simplificada, como $7 / 4$ ‍ um número misto, como $1 3 / 4$ ‍ um número decimal exato, como $0, 75$ ‍ um múltiplo de pi, como $12 pi$ ‍ ou $2 / 3 pi$ ‍ $)$ ‍
$B$ ‍	$($ ‍ Sua resposta deve ser um número inteiro, como $6$ ‍ uma fração própria simplificada, como $3 / 5$ ‍ uma fração imprópria simplificada, como $7 / 4$ ‍ um número misto, como $1 3 / 4$ ‍ um número decimal exato, como $0, 75$ ‍ um múltiplo de pi, como $12 pi$ ‍ ou $2 / 3 pi$ ‍ , Sua resposta deve ser um número inteiro, como $6$ ‍ uma fração própria simplificada, como $3 / 5$ ‍ uma fração imprópria simplificada, como $7 / 4$ ‍ um número misto, como $1 3 / 4$ ‍ um número decimal exato, como $0, 75$ ‍ um múltiplo de pi, como $12 pi$ ‍ ou $2 / 3 pi$ ‍ $)$ ‍
$C$ ‍	$($ ‍ Sua resposta deve ser um número inteiro, como $6$ ‍ uma fração própria simplificada, como $3 / 5$ ‍ uma fração imprópria simplificada, como $7 / 4$ ‍ um número misto, como $1 3 / 4$ ‍ um número decimal exato, como $0, 75$ ‍ um múltiplo de pi, como $12 pi$ ‍ ou $2 / 3 pi$ ‍ , Sua resposta deve ser um número inteiro, como $6$ ‍ uma fração própria simplificada, como $3 / 5$ ‍ uma fração imprópria simplificada, como $7 / 4$ ‍ um número misto, como $1 3 / 4$ ‍ um número decimal exato, como $0, 75$ ‍ um múltiplo de pi, como $12 pi$ ‍ ou $2 / 3 pi$ ‍ $)$ ‍

Para mais exercícios, acesse Pontos no plano cartesiano.

Onde vamos usar isso?

Vamos usar os pontos em um plano cartesiano em praticamente todos os exercícios da unidade de geometria analítica! Veja alguns dos exercícios para os quais a revisão do plano cartesiano pode ser útil:

Soma, subtração e potenciação ao quadrado de números negativos

O que é isso e por que precisamos disso?

Números negativos nos permitem incluir informações sobre a direção de um número. Por exemplo, uma variação vertical positiva significa que nos movemos para cima, mas uma variação vertical negativa significa que nos movemos para baixo. Vamos procurar por distâncias e coeficientes angulares entre pontos no plano cartesiano. Os pontos com coordenadas negativas estão à esquerda ou abaixo da

Prática

Problema 2.1

Some.

- 7 + 4 =

Para mais exercícios, acesse Soma de números negativos, Subtração de números negativos ou Expoentes com bases inteiras.

Onde vamos usar isso?

Temos aqui alguns dos exercícios para os quais a revisão de números negativos pode ser útil:

Distância e deslocamento entre pontos

O que é isso e por que precisamos disso?

Distância é um valor que nunca é negativo e que representa o quão longe dois pontos estão um do outro. Deslocamento é a quantidade de variação para ir de um ponto ao outro, incluindo a distância e a direção da variação.

Geralmente dividimos a distância e o deslocamento em componentes horizontais e verticais. Quando estamos trabalhando com a variação em apenas uma direção (somente horizontal ou vertical), então a distância é o valor absoluto do deslocamento.

Usamos deslocamento para calcular o coeficiente angular, e usamos as distâncias horizontal e vertical entre os pontos para calcular a distância total entre eles (com uma pequena ajuda do teorema de Pitágoras).

Prática

Problema 3.1

Complete a tabela de distâncias e deslocamentos do ponto $A$ ‍ ao ponto $B$ ‍.

	Deslocamento	Distância
Horizontal	Sua resposta deve ser um número inteiro, como $6$ ‍ uma fração própria simplificada, como $3 / 5$ ‍ uma fração imprópria simplificada, como $7 / 4$ ‍ um número misto, como $1 3 / 4$ ‍ um número decimal exato, como $0, 75$ ‍ um múltiplo de pi, como $12 pi$ ‍ ou $2 / 3 pi$ ‍	Sua resposta deve ser um número inteiro, como $6$ ‍ uma fração própria simplificada, como $3 / 5$ ‍ uma fração imprópria simplificada, como $7 / 4$ ‍ um número misto, como $1 3 / 4$ ‍ um número decimal exato, como $0, 75$ ‍ um múltiplo de pi, como $12 pi$ ‍ ou $2 / 3 pi$ ‍
Vertical	Sua resposta deve ser um número inteiro, como $6$ ‍ uma fração própria simplificada, como $3 / 5$ ‍ uma fração imprópria simplificada, como $7 / 4$ ‍ um número misto, como $1 3 / 4$ ‍ um número decimal exato, como $0, 75$ ‍ um múltiplo de pi, como $12 pi$ ‍ ou $2 / 3 pi$ ‍	Sua resposta deve ser um número inteiro, como $6$ ‍ uma fração própria simplificada, como $3 / 5$ ‍ uma fração imprópria simplificada, como $7 / 4$ ‍ um número misto, como $1 3 / 4$ ‍ um número decimal exato, como $0, 75$ ‍ um múltiplo de pi, como $12 pi$ ‍ ou $2 / 3 pi$ ‍

Para mais exercícios, acesse Distância entre pontos: vertical e horizontal.

Onde vamos usar isso?

Temos aqui alguns dos exercícios para os quais a revisão de distâncias e deslocamentos pode ser útil.

Simplificação de expressões com raízes quadradas

O que é isso e por que precisamos disso?

Na geometria, a função raiz quadrada pega a área de um quadrado como entrada e retorna o comprimento de um lado do quadrado como resultado. Vamos usar expressões com raiz quadrada quando usarmos o teorema de Pitágoras para calcular a distância. Vamos usar essas distâncias para calcular a área e o perímetro de figuras no plano cartesiano e para determinar se um ponto faz parte de um círculo.

Prática

Problema 4.1

Simplifique.
Remova todos os quadrados perfeitos de dentro da raiz quadrada.

\sqrt{180} =

Para mais exercícios, acesse Simplificação de raízes quadradas e Simplificação de expressões com raízes quadradas.

Onde vamos usar isso?

Temos aqui alguns dos exercícios para os quais a revisão de expressões com raízes quadradas pode ser útil.

Escala das relações proporcionais

O que é isso e por que precisamos disso?

Relações proporcionais são duas quantidades para as quais a razão entre elas é sempre a mesma.

O coeficiente angular é um tipo de relação proporcional que relaciona o deslocamento (ou variação) vertical ao deslocamento horizontal. Podemos fazer uma escala dos deslocamentos entre dois pontos para encontrar um terceiro ponto entre eles que divide um segmento de reta em comprimentos com uma razão dada.

Prática

Problema 5

As duas retas numéricas mostram que para fazer

4

tortas de maçã são necessários

7

quilogramas

(kg)

de maçã.

Selecione o par de retas numéricas que identifica corretamente o número de quilogramas de maçãs necessários para fazer $1, 2$ ‍ e $3$ ‍ tortas.

Para mais exercícios, acesse Crie pares de retas numéricas.

Onde vamos usar isso?

Este é um exercício para o qual a revisão sobre escala pode ser útil:

Divida segmentos de reta

Coeficiente angular

O que é isso e por que precisamos disso?

O coeficiente angular é uma forma de medir o quão íngreme é uma reta. Medimos o coeficiente angular como

\frac{Δ y}{Δ x}

, que é a razão entre o deslocamento vertical e o horizontal.

Podemos usar esse coeficiente angular de um par de retas para provar que elas são paralelas (ou não!). Então podemos dizer se podemos aplicar todas essas relações entre os ângulos das figuras com retas paralelas. Se usarmos o coeficiente angular para provar que dois lados de um triângulo são perpendiculares, podemos usar razões trigonométricas para relacionar as medidas dos ângulos aos comprimentos dos lados.

Prática

Problema 6.1

Qual é o coeficiente angular da reta que passa por $(- 4, 2)$ ‍ e $(3, - 3)$ ‍?

Para mais exercícios, acesse Coeficiente angular a partir de dois pontos, Introdução à equação reduzida da reta e Como calcular o coeficiente angular a partir da equação.

Onde vamos usar isso?

Temos aqui alguns dos exercícios para os quais a revisão de coeficiente angular pode ser útil.

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