Demonstrações que envolvem triângulos equiláteros

RKA - O que temos aqui é um triângulo em que os três lados têm o mesmo comprimento. Todos os três lados são congruentes, e um triângulo como este é chamado de "triângulo equilátero". Agora, o que eu quero fazer é provar que, se os três lados são iguais, então, sabemos que os três ângulos terão a mesma medida. E vamos pensar em como eu posso fazer isso. Antes de mais nada, sabemos que o lado AB é igual ao lado AC. Vamos fazer de conta que não sabemos que eles também são iguais a BC. Então, os dois ângulos serão iguais. E a gente sabe que num triângulo isósceles, se dois lados têm o mesmo comprimento... então, vamos escrever isso... a gente sabe que o triângulo ABC é congruente ao ACB. Vamos lá! A gente sabe que o ângulo ABC é congruente ao ângulo ACB, porque... e essa é minha afirmação aqui... temos a razão... a razão aqui... vou escrever... a razão é que esse é um triângulo isósceles porque sabemos que esse lado... é claro que esse... e, se os dois lados são iguais, implicam em ângulos da base iguais... dizemos que os dois lados iguais implicam que os ângulos da base serão iguais. Isso vem do que já vimos no outro vídeo relativo a um triângulo isósceles. A gente também pode ver esse triângulo de outra forma. Podemos dizer que talvez (talvez!) este ângulo aqui seja o ângulo do vértice, e aqueles, os outros dois da base. Teremos outra situação em que esse lado e aquele lado são congruentes entre si; e aquele ângulo e aquele outro serão os ângulos da base. Você pode dizer que o ângulo CAB será congruente ao ângulo ABC. Na verdade, pela mesma razão. E, agora, então, estamos procurando por dois lados diferentes, e os ângulos da base passam a ser aqueles; e a gente pode imaginar um triângulo isósceles sobre um de seus lados com exatamente a mesma lógica. Vamos rever o que eu falei a respeito. Esses dois ângulos são iguais, o que significa que esses dois lados são iguais. Se esses dois ângulos são iguais, quer dizer que esses dois ângulos da base são iguais. Assim como o ângulo ABC é congruente ao ACB, e é congruente ao ângulo CAB, então todos esses ângulos são congruentes entre si; e isso nos dá todos os ângulos. Assim, temos um triângulo equilátero; um triângulo de três ângulos iguais, onde todos os ângulos e lados serão iguais. E sabe o tamanho que eles têm, porque, se tem três coisas iguais, você as chama de "x", "x", "x", e soma com 180; então, temos: "x + x + x" que serão iguais a 180. Dividindo os dois lados por 3, você terá que "x" é igual a 60 graus. Então, tem um triângulo equilátero com três ângulos iguais. Não só isso, mas todos serão iguais a 60 graus; serão todos ângulos de 60 graus. Agora, vamos pensar nisso de trás para a frente: digamos que temos um triângulo onde todos os ângulos são iguais; são todos iguais. Temos: ponto "X", ponto "Y", ponto "Z". E a gente sabe que todos os ângulos são iguais; esse ângulo é congruente àquele ângulo, que é congruente àquele outro. Assim, o que mostramos no último vídeo é que um triângulo isósceles, nele os dois lados são iguais; e os ângulos correspondentes também serão iguais. Assim, sabemos que YX é congruente a YZ. A gente sabe que XY é congruente a YZ; e sabemos isso porque os ângulos da base são congruentes. Agora, também sabemos que YZ é congruente a XZ. Assim, também sabemos que YZ é congruente a XZ. Usando o mesmo argumento; mas, aqui, estamos lidando com diferentes ângulos da base, e a gente sabe disso. Agora, novamente, você pode ver que estamos lidando com um triângulo isósceles virado sobre sua base, e aqui é o vértice do ângulo. Aqui, são os ângulos da base. E a gente sabe disso. Esses dois ângulos são congruentes pela mesma lógica. No primeiro caso, os ângulos da base eram esse e aquele. No segundo caso, os ângulos da base são esse e aquele. Deixe-me escrever isso: ângulos da base, no primeiro caso aqui, em roxo, são os ângulos YXZ... é congruente ao ângulo YZX. Isso no primeiro caso. Esses são os ângulos da base. Baseados na prova que vimos no último vídeo, ou que os dois lados são congruentes, aqui temos esses dois ângulos da base. A gente usa o verde para o ângulo XYZ, que é congruente ao ângulo YXZ. E isso implica que estes dois ângulos aqui sejam congruentes. Provamos isso! Dissemos que esses dois lados, YX é congruente ao YZ, e mostramos que YZ é congruente a XZ. Então, todos os lados são congruentes uns aos outros. De novo, a gente tem os três ângulos iguais, todos terão medidas de 60 graus, e sabe que todos os lados também serão congruentes.