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Por que fazemos a mesma coisa nos dois lados: Variável em ambos os lados

Vamos usar uma balança para tentar atingir o equilíbrio e para ajudar na explicação do porquê fazemos a mesma coisa nos dois lados de uma equação, mesmo quando a variável aparece em ambos os lados. Versão original criada por Sal Khan.

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  • Avatar blobby green style do usuário Ernando Batista
    não achei esses materiais no site, poderia mandar o link Cálculo combinatório Pré-cálculo e Probabilidade e Estatística
    Gráfi cos e tabelas Fundamentos da Matemática / Álgebra I
    Grandezas, razões, proporções e médias Noções de Álgebra / Pré-Álgebra e Álgebra I
    Introdução à probabilidade e estatística Probabilidade e Estatística
    Os números e a aritmética Pré-Álgebra
    Porcentagem e juros Pré-Álgebra
    Relação entre grandezas: diretamente ou inversamente
    proporcionais Álgebra I
    Regra de três
    (4 votos)
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  • Avatar blobby green style do usuário Thiago Castro Dias
    O problema que vejo com o uso da analogia da balança é que ela não necessariamente justifica por que é preciso repetir qualquer ação em ambos os lados da equação. Por exemplo, se você tomar a equação "2x = 10", e subtrair 3 do lado direito, vai ter que "2x=7". Ora, uma equação "2x = 7" não é intrinsecamente falha, ela não está necessariamente em desequilíbrio, pois há um valor de x que torna a equação verdadeira.
    O que dá pra fazer é o seguinte: explicar que a solução de uma equação algébrica nada mais é do que uma sequência de ações que devem ser executadas de forma a preservar o valor da (s) incógnita (s). De outro modo não há sentido em se resolver uma equação. A única forma de se realizar uma ação sem alterar o valor da incógnita é realizá-la em ambos os lados da igualdade, tornando a equação resultante equivalente à equação anterior. Dessa forma, 2x = 10 seria equivalente a 2x - 3 = 7.
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  • Avatar mr pink red style do usuário klebersilvaluzz
    e se a icognita for expoencial
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    • Avatar sneak peak green style do usuário João Pedro Sachete de Souza
      Use raiz como operação oposta à exponencial em uma equação se a incógnita for a base, se a incógnita for o expoente, use logaritmo.
      Obs: quando digo operação oposta quero dizer que estou usando uma operação para cancelar outra.
      Ex: 4 x = 20
      Nessa operação o "4" está multiplicando. A operação oposta é dividir por 4. Assim:
      multiplicar é oposto a dividir
      somar é oposto a subtrair
      elevar a um número é oposto a uma raiz com esse número (9³ <-> raiz cúbica de 9)
      logaritmo se usa quando eu não sei o expoente, ou seja, o número o qual estou elevando (o "3" do exemplo anterior)
      Mais exemplos:
      se 3^x = 2 então... x=log(3)2 -> logaritmo de 2 na base 3
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  • Avatar leafers tree style do usuário Ismael Aquilla
    Realmente o Khan Academy é um site bem importante em nossas vidas, porém, contudo, todavia, não será necessário o acréscimo do mesmo em minha vida pessoal na qual ficarei 24/48h no quarto vendo vídeos relacionados a matemática na qual não me servirá futuramente, pois, ficarei velho o suficiente para não pensar em futilidades(matematica). Sou apenas um adolescente que quando envelhecer serei só mais um peso pro governo com aposentadoria. Eu não preciso da matemática, eles precisam.!
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Transcrição de vídeo

RKA Muito bem, temos uma situação muito interessante: nos dois lados da balança temos a nossa massa misteriosa, e agora estou chamando a massa misteriosa de y para te mostrar que nem sempre ela deve ser chamada de x. Mas, sim, que pode ser qualquer símbolo, contanto que possa identificá-lo. Mas, tudo isso tem a mesma massa, por isso escrevi y em todos. E também temos algumas caixas de 1 quilo nos dois lados dessa balança. A primeira coisa que eu quero fazer, vamos passo a passo, é tentar descobrir quanto vale essa massa misteriosa. A primeira coisa que eu quero é fazer com que pense se é possível representar isso algebricamente com um pouco de simbologia matemática. Você pode representar o que está acontecendo nessa balança. Aqui tenho 3y e 3 dessas caixas, e a massa total é igual a esse 1y mais, acho que eu tenho, deixa eu ver, tenho 7 caixas aqui. Então, vou te dar alguns minutos para fazer isso. Vamos pensar na massa total aqui. Temos 3 caixas de massa y. Então, elas terão uma massa de 3y, e temos 3 caixas com a massa de 1 quilo. Então, elas terão juntas uma massa de 3 quilos. Agora, aqui eu tenho uma caixa com a massa de y, y quilogramas. Então, esse vai ser meu y. Eu poderia ter escrito 1y, mas não precisa, y é a mesma coisa que 1y. Então, tenho o y quilograma bem aqui e tenho 7 dessas. Certo? 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Certo, 7 dessas! Tenho y mais 7 quilos no lado direito, e mais uma vez a balança está em equilíbrio. Essa massa total é igual a essa massa total. Portanto, podemos escrever um sinal de igual. Assim, isso é um bom ponto de partida, fomos capazes de representar essa situação. Essa situação da vida real. Sabe, em uma época em que as pessoas, de fato, tinham que descobrir a massa das coisas. Se fosse à joalheria ou qualquer coisa assim, eles de fato tinham problemas como esse. E fomos capazes de representá-lo matematicamente. Agora, a próxima coisa descobrir é: quais são as próximas etapas? Como podemos começar a simplificar isso um pouco? De novo, vou dar alguns segundos para você pensar. Bom, o que é legal sobre álgebra é que, na verdade, há muitos caminhos que podemos tomar. Podemos dizer: "Bom, por que não tiramos 3 desses blocos amarelos dos dois lados?" Isso seria completamente válido. Podemos dizer: "Bom, por que não tiramos 1 desses y dos dois lados? Também seria válido. E podemos fazer em qualquer ordem. Então, vamos escolher uma. Digamos que queremos, em primeiro lugar, tirar 1 y de cada lado para a gente se sentir mais confortável com todos os y de um lado só. A melhor maneira, se a gente quiser todos os y em um único lado, é tirar 1 y de cada lado. Lembre-se de que, se tirássemos o y de um único lado, a balança ficaria desequilibrada. A balança está equilibrada, o que você fizer de um lado, tem que fazer do outro. Então, vou retirar 1 massa y dos dois lados. Como isso ficaria algebricamente? Retirei o y dos dois lados. Então, subtraí y do lado esquerdo e do lado direito, foi exatamente isso que eu fiz. Tinha uma massa de y quilos, não sei quanto isso é mas a retirei de lá, retirei aquela caixa, aquele pequeno bloco. Então, com o que eu fico do lado esquerdo? Poderíamos pensar matematicamente ou até olhar aqui em cima e ver com o que ficamos. Se tenho 3 de algo e tiro 1 desse algo, fico com 2 desse algo. Fico com 2 y bem aqui. E podemos ver, tinha 3, livrei-me de 1. Então, fiquei com 2. E ainda tenho aqueles 3 blocos amarelos. No lado direito eu tinha 1 y, tirei esse y, agora não tenho nenhum y. Vemos aqui, mas ainda tenho 7 dos blocos amarelos. Uma vez que tire, exatamente, a mesma massa dos dois lados da balança, a balança ainda estará equilibrada. Estava equilibrada antes, retirei a mesma coisa dos dois lados. Então, a balança ainda está equilibrada. Portanto, isso será igual àquilo. Agora, isso está começando a parecer com o que vimos no último vídeo. Mas eu vou perguntar: o que podemos fazer a partir desse ponto para simplificar mais? Ou melhor, pensa em como podemos isolar esses y no lado esquerdo? Vou te dar alguns segundos para pensar nisso. Bom, se quisermos isolar esses y no lado esquerdo, esses 2 y, a melhor maneira é a gente se livrar desse 3. Nos livrarmos desses 3 blocos. Por que não fazemos isso? Vamos pegar 3 blocos desse lado, mas não podemos apenas pegar de um lado se quisermos manter em equilíbrio. A gente tem que fazer desse lado também, temos que retirar 3 blocos daqui. Estamos subtraindo 3 daquele lado e 3 do lado direito. Então, no lado esquerdo ficaremos com apenas esses 2 blocos de massa y. Então, a nossa massa total agora é 2y. Esse 3 menos 3 é 0, e vemos isso aqui, a gente ficou apenas com 2y. No lado direito, nos livramos de 3 dos blocos. Então, restaram apenas 4, temos apenas 4. Temos que 2 dessas massas y é igual a 4 quilos. Pelo fato de fazermos o mesmo nos dois lados, essa balança ainda está equilibrada. Agora, como resolvemos isso? Você pode ser capaz de resolver de cabeça. Eu tenho 2 vezes algo, é igual a 4. Poderia pensar quanto a isso, mas se quiser manter o que estávamos fazendo antes, vamos pensar nisso. Tenho que 2 de alguma coisa é igual a outro alguma coisa. E se multiplicasse os dois lados por 2, desculpa, e se multiplicasse os dois lados por um meio, ou outro jeito é dividir os dois lados por 2. Se eu multiplicar esse lado por um meio, se basicamente tirar um meio da massa, ou se deixar apenas um meio da massa, então, terei 1 bloco aqui. E se eu tirar um meio da massa aqui, terei que tirar 2 desses blocos aqui. O que eu fiz? Poderia dizer que multipliquei os dois lados por um meio. Poderia dizer que dividi os dois lados por 2. No lado esquerdo fiquei com uma massa de y, e no lado direito, fiquei com uma massa de 4 dividido por 2, que é 2. Mais uma vez, ainda posso escrever o sinal de igual, porque a balança está equilibrada. Fiz exatamente a mesma coisa nos dois lados. Deixei um meio do que estava no lado esquerdo e um meio do que estava no lado direito. Estava equilibrada antes, um meio de cada lado. Então, estará equilibrada de novo. Acabou! Resolvemos algo que, na verdade, não é tão fácil de resolver, ou pode não parecer fácil logo de cara. A gente descobriu que nossa massa misteriosa y é 2 quilos, e você pode verificar isso. Isso é que é divertido sobre a álgebra. Uma vez que chega a esse ponto, pode voltar e pensar se o problema original que resolvemos faz sentido. Vamos fazer isso. Vamos pensar se o problema original faz sentido. Para fazermos isso, eu quero que calcule, agora que sabemos que a massa é 2 quilos, qual era o total de massa em cada lado? Vamos calcular. Você já tem 2 aqui, isso é 2 quilos. Vou fazer na cor roxa. Isso é um 2, esse é um 2, esse é um 2, logo temos 6 quilos mais esses 3, temos 9 quilos no lado esquerdo, e no lado direito temos esse 7, mais 2 aqui, 7 mais 2 é 9 quilos. Por isso estava equilibrada. Nossa massa misteriosa, a gente tinha 9 quilos no total nos dois lados.