Crescimento linear vs. exponencial: a partir dos dados (exemplo 2)

RKA2G - A temperatura de um copo de água morna, depois que é colocado no freezer, é representada pela seguinte tabela. Temos o tempo em minutos e a temperatura em graus Celsius. Que modelo C(t) melhor representa, de acordo com os dados da tabela, a temperatura do copo d'água, assim que é retirado do freezer, após "t" minutos? A primeira preocupação é que ele pede o modelo em minutos e a tabela está de dois em dois minutos. A segunda preocupação é saber se gente vai representar através de um modelo linear ou de um modelo exponencial. As respostas C e D representam modelos lineares, enquanto as respostas A e B representam modelos exponenciais. Então, a primeira pergunta ou primeira colocação é verificar se é linear ou é exponencial a representação ou o modelo. Para verificar se é linear, vemos que a temperatura está subtraindo. Então, temos que ver se a temperatura está subtraindo do mesmo montante o tempo todo. Vamos verificar: de 80 para 64,3, quanto foi subtraído? Deu -15, eu acho. 64,3 - 80 vai dar -15,7. Foi subtraído 15,7 entre zero e 2 minutos. Vamos verificar agora, entre 2 e 4 minutos, quanto foi subtraído. Deu 52,7 - 64,3, que vai dar uma subtração de 11,6. Ou seja, já dá para perceber que o modelo não deve ser linear. Vamos fazer mais uma para verificar se realmente não está constante, porque a primeira subtraiu 15, a segunda subtraiu 11... 42,6 - 52,7. Vai dar uma subtração de 10,1. Então, realmente, este modelo não está constante e podemos descartar, pois os valores são diferentes (os valores que estão sendo subtraídos a cada dois minutos). Podemos descartar o modelo linear. Vamos verificar se podemos representar através do modelo exponencial. Para isso, temos que ter um fator multiplicativo de zero para 2 minutos, de 2 para 4, de 4 para 6 e assim sucessivamente. Para determinarmos qual é o fator que está sendo multiplicado de zero para 2, pegamos 64,3 e dividimos por 80. Ou seja, 64,3 dividido por 80 vai dar... Vai dar um fator de 0,804. Se a gente multiplicar 80 por 0,804, vamos obter 64,3. Vamos agora ver do segundo minuto para o quarto minuto, ou seja, 52,7 dividido por 64,3. Vamos ver que fator foi esse que ele multiplicou. 52,7 dividido por 64,3. Deu 0,82. Saiu um pouco, mas não saiu tanto. Lembre-se que isto são dados experimentais, estamos tentando modelar para um modelo exponencial que vai dar uma aproximação, na realidade. 42,6 dividido por 52,7 vai dar o próximo fator, que é 0,808. Ou seja, está realmente próximo de 0,8 o fator multiplicativo a cada dois minutos. O fator multiplicativo é aproximadamente igual a 0,8. Ainda temos o problema que esse fator multiplicativo é de dois em dois minutos e queremos saber o fator multiplicativo de um em um minuto, para colocarmos no modelo exponencial para representar a função que vai dar esta tabela. Bem, de dois em dois minutos, nós temos que C(t) é igual a: começa com 80, vezes o fator multiplicativo, que é 0,8 aproximadamente, elevado a "t", lembrando que esse "t" é de dois em dois minutos, ou seja, quando "t" é o período de dois minutos. Quando "t" for 1, passaram-se dois minutos. Temos a tabela: quando "t" for zero, no modelo nós vamos ter 80. Quando "t" for dois minutos, é o primeiro período de dois minutos, então, vai ser 80 vezes 0,8 elevado a 1, e não a 2. Elevado a 1 porque é o primeiro período. Esse fator que a gente encontrou é de dois em dois minutos. Quando passar de dois para quatro, vai ser o segundo período. Então vai ser 80 vezes 0,8 elevado a 2. E nós temos o modelo de dois em dois minutos. Não é o que ele pediu. Ele pediu um modelo de um em um minuto. Como nós vamos saber qual é o fator multiplicativo a cada minuto? Nós temos o fator multiplicativo a cada dois minutos, que é 0,8. Mas eu quero saber a cada minuto, para que eu possa montar o modelo exponencial para cada minuto. Então, na tabela minuto a minuto, nós temos "t" e C(t) minuto a minuto. Em zero, vai ser 80. Em 1, eu não sei, mas em 2 eu sei que é 80 vezes 0,8. O que eu não sei é qual o fator que eu tenho que multiplicar em um minuto. O fato em dois minutos eu sei que é 0,8, que é dado do problema, é dado na tabela. 0,8 elevado a 1. Qual é o fator intermediário entre zero, que é 80 vezes o fator elevado a zero, e o fator elevado a 1? Vai ser o fator elevado a 1/2. Ou seja, 80 vezes 0,8 elevado a 1/2. Porque 1/2 é exatamente metade do período de zero a dois. Enquanto que o expoente de zero a dois é 1, o expoente de zero a um vai ser metade, ou seja, vai ser 1/2. Então, nós sabemos agora qual é o fator para o modelo em minutos. O modelo em minutos fica: 80 vezes 0,8 elevado a t/2. Então, o C(t) eu posso escrever como: 80 vezes 0,8, posso passar esse 1/2 para dentro, tenho 0,8 elevado a 1/2 e tudo elevado a "t", só que esse "t" agora está em minutos, porque o fator está em minutos. E quanto é esse fator? É 0,8 elevado a 1/2, ou seja, é a raiz quadrada de 0,8. Seria 0,89. O fator é de 0,89. Então, temos que o modelo fica: C(t) = 80 vezes 0,89 elevado a "t". Este é o modelo minuto a minuto. Vendo nas respostas, vemos que não tem a resposta, mas a que mais se aproxima é o de 0,9. O de 0,8 se aproxima de dois em dois minutos. 0,9 se aproxima de 0,89, portanto, o modelo escolhido é o modelo da letra A, onde nós temos C(t) = 80 vezes 0,9 elevado a "t". Isso representa o modelo minuto a minuto de forma exponencial.