Crescimento exponencial versus crescimento linear

RKA - A Companhia A está oferecendo 10 mil reais para o primeiro mês e irá aumentar essa quantidade mensalmente em 5 mil reais. Já a Companhia B está oferecendo 500 reais para o primeiro mês e irá dobrar essa quantidade mensalmente. Qual será o mês no qual o pagamento da Companhia B irá superar o pagamento da Companhia A? Bem para começar a entender esse problema, vamos montar uma tabela e colocar os respectivos valores aqui apresentados. Temos aqui nossa tabela em que a primeira coluna são os meses, a segunda coluna são os valores da Companhia A em reais para cada mês, e, na segunda coluna, os valores da Companhia B em reais para cada mês. Então. vendo os valores da Companhia A e B, no primeiro mês, temos que a Companhar A irá oferecer 10 mil reais no primeiro mês e a Companhia B irá oferecer 500 reais no primeiro mês. Se formos considerar como esse valor irá aumentar a cada mês para a Companhia A, teremos que no mês 2, a Companhia A irá oferecer 15 mil reais. No mês 3, 20 mil reais; no mês 4, 25 mil reais; 30 mil reais no mês 5; 35 mil reais no mês 6; no mês 7, 40 mil reais; no mês 8, 45 mil reais. Fazendo o mesmo raciocínio para a Companhar B, que irá dobrar essa quantidade mensalmente, nós teremos que no mês 2, 2 ×500 será mil reais; no mês 3, a companhia irá oferecer 2 mil reais; no mês 4, 4 mil reais; no mês 5, 8 mil reais; no mês 6, 16 mil reais; no mês 7, 32 mil reais e, finalmente, no mês 8, 64 mil reais. Veja que, no mês 8, a Companhia B já estará oferecendo 64 mil reais que é maior do que 45 mil reais. Ou seja, o pagamento da Companhia B irá superar o pagamento da Companha A no oitavo mês. Veja que os valores crescentes da Companhia A ocorre a uma taxa constante de cinco mil reais a cada mês. Já a Companhia B, essa taxa é multiplicativa, caracterizando uma função exponencial. Esse mês é resultado do mês anterior multiplicado por 2, e assim sucessivamente. Ao plotarmos esse crescimento em um gráfico, teremos o seguinte: aqui na linha roxa temos uma função linear, uma função crescente linear. Já na linha laranja, nós temos uma função exponencial. Veja que, em um determinado momento, a função exponencial, ela intercepta a função linear. E a partir desse momento todos os valores dessa função laranja são maiores do que os valores da função roxa. Mesmo que as taxas do crescimento linear inicialmente fossem muito maior do que a dado pelo problema, e o crescimento exponencial fosse muito menor que o fornecido pelo problema, eventualmente, em um determinado momento, lá na frente, esse gráfico pontilhado laranja, por ser exponencial, irá interceptar o crescimento roxo que é linear.