Introdução à equação fundamental da reta

RKA - Desenhei aqui uma reta em amarelo e a gente sabe duas coisas sobre essa reta. Uma é que seu coeficiente angular é "m" e a outra é que o ponto (a, b) pertence a esta reta. O que queremos saber é se dá para construir facilmente uma equação para essa reta usando estas informações. Vamos tentar. Qualquer ponto (x, y) teria que satisfazer a condição de que o coeficiente entre este ponto, este é um ponto (x, y) arbitrário na reta, o fato dele estar na reta nos diz que o ângulo entre (a, b) e (x, y) tem que ser igual a "m". Vamos usar essa informação para construir a equação. Qual é o coeficiente angular entre (a, b), (x, y)? Lembre-se que o coeficiente angular é a variação em "y" sobre a variação em "x". O coeficiente angular é igual à variação em "y" sobre a variação em "x". Esse triângulo aqui é a letra grega delta que significa variação, diferença. A variação "y", vamos começar por "y", que é igual a "b", e se terminar em "y" é igual a esse "y" arbitrário aqui. A variação "y" vai ser o "y" menos "b". Vou usar as mesmas cores, vai ser "y" menos meu "b" laranja. Tudo isso sobre a variação em "x", a mesma lógica. Começamos em "x" igual a "a" e terminamos em "x" igual a esse "x" arbitrário de qualquer valor. A variação em "x" vai ser o ponto de chegada menos o ponto de partida, menos "a". E sabemos que esse é o coeficiente entre esses dois pontos, é o coeficiente entre quaisquer dois pontos na reta. E isso será igual a "m". O que fizemos foi criar uma equação que descreve essa reta. Pode ser uma forma estranha para você, mas essa equação descreve, qualquer (x, y) que satisfaça esta equação estará na reta porque qualquer (x, y) que satisfaça isso, o coeficiente entre esse (x, y) e esse ponto aqui, entre o ponto (a, b), vai ser igual a "m". Vamos converter em equações mais fáceis para você reconhecer. Vou colar aqui para simplificar um pouco essa expressão ou, ao menos, nos livrar do "x" menos "a" no denominador. Vamos multiplicar os dois lados por "x" menos "a". Se multiplicar os dois lados por "x" menos "a", "x" menos "a" do lado esquerdo e "x" menos "a" do lado direito, faltam os parênteses. Vamos multiplicar os dois lados. Teremos "x" menos "a" dividido por "x" menos "a" que será igual a 1. Do lado direito só tem "m" vezes "x" menos "a". Isso foi simplificado para "y" menos "b" é igual a "m", vezes "x" menos "a". E essa é uma equação que os matemáticos categorizaram como equação fundamental da reta. Esta é a equação fundamental da reta. E por que tem esse nome? Porque é fácil analisar e dizer: este em verde é o coeficiente angular da reta. E posso incluir os dois pontos, se o ponto (a, b) está nessa reta, terei o coeficiente vezes "x" menos "a" é igual a "y" menos "b". Vamos ver por que é útil ou por que as pessoas gostam de usar isso. Não vamos mais usar as letras "a", "b", e "m". Vamos a algo mais concreto. Digamos que digam que tem uma reta na qual o coeficiente angular é igual a 2. O coeficiente angular é igual a 2 e ele passa pelo ponto, digamos, (-7, 5). Rapidamente, você pode usar essa informação e seu conhecimento sobre a equação fundamental da reta para escrever dessa forma porque uma equação que contém esse ponto e tem essa inclinação seria "y" menos "b", que é 5, "y" menos o par ordenado "y" do ponto que essa reta contém, é igual ao meu coeficiente angular vezes "x" menos o par ordenado "x" que essa reta contém. Portanto, x menos -7 e, assim, escrevemos uma equação que tem coeficiente angular de 2 e que contém esse ponto aqui. Se não gostar de "x" menos -7, a gente pode reescrever como "x" mais 7. Mas essa é equação fundamental da reta, se quiser simplificar pode escrever como "y" menos 5 é igual a 2, vezes "x, mais 7. Para confirmar que essa é apenas uma das formas de expressar a equação dessa reta, tem várias outras formas e a que conhecemos melhor é da interceptação em "y". A gente pode converter para forma de interceptação "y". Basta distribuir esse 2, ficamos com "y" menos 5 é igual a 2 vezes "x", mais 2 vezes 7. Então, é igual a 14. E podemos nos livrar desse -5 à esquerda somando 5 aos dois lados. Daí, fica do lado esquerdo com "y" e do lado direito 2x mais 19. Essa é equação reduzida da reta, tem a inclinação e a interceptação em "y". Equação reduzida da reta. E essa aqui é a equação fundamental da reta.