Introdução às progressões

RKA1JV O objetivo deste vídeo é familiarizar você com a ideia de sequência. O que é uma sequência em Matemática? Como lidar com ela? Vamos pegar um exemplo, uma sequência que começa com o número 1 e vou adicionando 3 para obter o próximo termo. 1 mais 3, 4, 4 mais 3, 7, 7 mais 3, 10 e eu quero que esta sequência pare por aqui. Por ter o primeiro e último termos bem definidos, só quatro termos, eu digo que esta é uma sequência finita. Por outro lado, se eu definir esta outra sequência começando em 3 e adicionando 4 para obter o próximo termo, 3 mais 4 são 7 que mais 4, 11, que mais 4, 15, assim infinitamente. Mais 4, mais 4, mais 4 sem fim. Eu tenho uma sequência que eu chamo de sequência infinita. Muito bem, a ideia é descrever com símbolos matemáticos cada uma destas sequências, nós dizemos que esta sequência é composta por vários termos. O primeiro termo é este e nós vamos dizer que ele é representado pela letra "a" com o subíndice 1, a₁. Este é o segundo termo, que seria a₂, este é o terceiro termo a₃, este aqui é o quarto termo que seria a₄. O símbolo a com índice "k" para representar todos estes termos. Mas com o "k" começando em 1, primeiro termo, indo até 4, quarto termo, é o que simbolicamente representa os termos dessa função, escritos um por um aqui. Nós podemos usar uma outra notação para representar todos esses termos da sequência por meio da ideia de função. Teremos o seguinte: estamos falando da sequência com os termos aₖ com "k" começando em 1 e indo até 4. Definidos da seguinte forma: o aₖ é igual a um certo cálculo com índice "k". Que cálculo seria esse? O primeiro termo é 1, então, eu vou usar aqui 1, e a partir dele eu obtenho os outros termos. Para obter o segundo termo, eu devo adicionar 3 uma vez. Para obter o terceiro termo, eu devo, a partir do primeiro, adicionar 3 duas vezes. Para obter o quarto termo, eu devo adicionar 3, três vezes. Então para obter um termo qualquer, eu parto do primeiro termo e adiciono uma quantidade de vezes que é "k - 1", por exemplo, para o quarto termo. 3 vezes "k - 1" vezes, eu fui adicionando sempre 3, então, "k - 1" vezes 3. Esta seria a forma explícita de representar os termos dessa função aₖ. Eu posso usar também a notação mais tradicional de função. Seria a(k) igual a 1 mais 3 vezes o "k - 1". Neste caso, o domínio da função seria os possíveis valores de "k" que são os inteiros de 1 a 4. Como descrever esta outra sequência então? Estamos falando de uma sequência de termos que eu vou indicar por "aₖ", claro que poderia usar outra letra. Com o "k" iniciando em 1 para representar aqui o primeiro termo, que é a₁, o segundo termo, que é o a₂ e vai infinitamente, então "k" vai de 1 a "infinito", esse infinito é uma ideia, e a sequência é formada dessa forma. Agora, eu quero representar, quero descrever esta sequência por meio da ideia de função. Eu teria aₖ, com "k" indo de 1 infinitamente. Com, agora vamos lá, aₖ igual, seguindo a mesma ideia do anterior, eu poderia observar que do 3, que é o primeiro termo, eu vou obtendo os outros termos, o primeiro termo é 3 e a ele vou adicionando uma quantidade de vezes o número 4, veja. Para obter o segundo termo, adiciono uma vez o número 4, para obter o terceiro termo, adiciono duas vezes o número 4, para obter o quarto termo, adiciono três vezes o número 4. Novamente, a mesma ideia, para um certo termo, eu uso o índice subtraindo uma unidade, vezes o 4, que é o número que eu estou adicionando de um termo para obter o próximo. Aqui nós descrevemos de maneira explícita, ou explicitamente, duas sequências. Mas que outra maneira existe para descrever uma sequência? Muito bem. Existe uma outra maneira chamada recursiva, em que nós colocamos aqui aₖ no caso da primeira sequência, com "k" indo de 1 até 4. Nós vamos definir o primeiro termo, que é o a₁, que vale 1, primeiro termo. Definimos a partir do próximo termo com relação ao anterior, quero dizer, o próximo termo depois do aₖ vai ser o a(k + 1) que é o anterior que é o aₖ, somado de 3. Por exemplo, o segundo termo é o primeiro somado de 3, então, aₖ + 3. Se eu falar do terceiro termo, pego o segundo e adiciono 3, e assim por diante. Da mesma forma, eu posso fazer a definição recursiva da outra sequência que temos aqui. Eu teria então aₖ com "k" de 1 a infinito. Com, o primeiro termo a₁ é 3, o valor do primeiro termo é 3. E o aₖ+₁ um termo seguinte é obtido a partir do anterior aₖ, adicionado de 4, neste caso. Podemos verificar que isso funciona direitinho, colocando valores para "k", por exemplo. Se eu quiser obter o valor do segundo termo, o segundo termo é o a₂, o a₂ seguindo esta ideia aqui, vamos entender. No lugar do 2, eu tenho aqui o "k + 1". Para que isto seja 2, o "k" tem que ser 1. Em outras palavras, o aₖ+₁ que está definido ali acima seria a₂ igual a "a", no lugar do "k", tenho 1 mais 4. O a₁ quanto é? É 3. Então, 3 mais 4 igual a 7, que é o valor do segundo termo, que bate certinho com o que temos aqui. Da mesma forma, poderíamos escrever o a₃. O a₃ seria, isso tudo é 3, então isso aqui é 2, a₂ o termo anterior, mais 4, quanto é o a₂? a₂ é o 7, 7 mais 4 é igual a 11. É exatamente o que temos aqui para o a₃. Esta é a maneira recursiva, ou seja, descrevemos recursivamente uma sequência. Estas sequências que nós estudamos aqui são chamadas progressões aritméticas, estudaremos em breve em detalhes. Elas podem ser descritas recursivamente ou explicitamente, entretanto, tem que ficar claro que não é toda sequência que tem essas duas opções para serem descritas. Há sequências que não podem ser descritas de uma ou de ambas as maneiras. Neste momento, terminamos algo sobre a sequência, esse estudo continua. Estude bastante, e até o próximo vídeo!