Por que podemos subtrair uma equação de outra em um sistema de equações?

RKA - Agora temos um problema muito, muito interessante: do lado esquerdo da balança tenho dois tipos diferentes de massas desconhecidas. Uma são essas massas x, e sabemos que elas têm a mesma massa idêntica, vamos chamar de idênticas, cada uma tem massa de x. Mas, então, temos essa outra, essa coisa azul que tem uma massa de y que não necessariamente vai ser a mesma massa de x. Mas quando tenho dois desses x e um y, parece que a massa total deles se equilibra com esses 8 quilos aqui. Cada um desses é um bloco de 1 quilo e isso se equilibra. A primeira pergunta que vou fazer é: você consegue expressar isso matematicamente? Consegue expressar o que estamos vendo aqui? O fato que essa massa total se equilibra com essa massa total, consegue expressar isso matematicamente? Bom, vamos pensar na nossa massa total desse lado. Temos duas massas de massa x. Então, essas duas vão ser 2x no total, e ainda tem essa massa y. Daí vai ter outro y. Logo, a massa total do lado esquerdo e, deixa eu escrever mais perto do centro só para não ficar muito espalhado, do lado esquerdo tenho 2x mais a massa de y, isso é a massa total, a massa total do lado esquerdo é 2x mais y, a massa total do lado direito é o 8. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, é igual a 8. Já que a balança está equilibrada, essa massa total deve ser igual a essa massa total. Então, podemos escrever um sinal de igual aqui. Agora minha pergunta: podemos fazer alguma coisa, só nos baseando na informação que temos aqui, para achar ou a massa de x, ou a massa de y? Podemos fazer alguma coisa? Bom, a resposta é simples: só com essa informação aqui realmente é pouco. Pode dizer: deixa eu tirar um y dos dois lados. Você pode tirar desse bloco o y, mas se fizer isso vai ter que tirar um y desse lado e não sabe quanto é y. E se pensar nisso algebricamente, pode se livrar do y aqui subtraindo o y, mas, então, vai ter que subtrair y deste lado também e não vai se livrar do y. A mesma coisa com o x, você na verdade não tem informação o bastante. y depende do valor de x, e x depende do valor de y. Para nossa sorte, no entanto, nós temos mais desses blocos por aí, o que fazemos é: pegamos um desses blocos x e colocamos aqui. E também pegamos um desses blocos y e o colocamos aqui, e coloco isso aqui. Então, sigo adicionando estes 1 até equilibrar essas coisas. Sigo adicionando, obviamente se eu colocar isso, isso vai descer, porque não tem nada no outro lado, mas se seguir adicionando estes blocos, sigo adicionando esses blocos até que se equilibrem, até que se equilibrem, e descubro que o equilíbrio da balança acontece quando coloco 5 quilos do lado direito. Mais uma vez eu pergunto: essa informação, que agora, ter um x e um y do lado esquerdo e 5 quilos do lado direito, e o fato de estarem equilibrados, como podemos representar isso matematicamente? Bom, nossa massa total do lado esquerdo é: x mais y, x mais y, e nossa massa total do, deixa eu escrever de novo um pouco mais perto do centro, é x mais y do lado esquerdo, e do lado direito tenho 5 quilos. Tenho cinco quilos. Cinco quilos do lado direito. Sabemos que isso realmente equilibrou a balança. Então, essas massas totais têm que ser iguais entre si. Essa informação sozinha, mais uma vez eu, não tem nada que possa fazer com isso, não sei os valores de x e y, eu posso, se y é 4, talvez x seja 1, talvez x seja 4 e y seja 1, quem sabe o que são? A coisa interessante é que podemos usar as duas informações para descobrir os valores de x e y. Vou dar alguns segundos para pensar sobre como abordar essa situação. Bom, pense dessa forma: sabemos que x mais y é igual a 5. Se nos livrarmos de um x e um y desse lado, do lado esquerdo da equação, de quanto teríamos que nos livrar do lado esquerdo? Eu me livro de um x e de um y do lado esquerdo da balança. O que teremos que tirar do lado direito da balança para termos uma massa igual? Se tiramos um x e um y do lado esquerdo, sabemos que x mais y é 5 quilos. Então, só teríamos que tirar 5 quilos do lado direito. Então, vamos pensar no que faríamos. Temos um x sobrando aqui, e tenho algumas dessas massas sobrando ali, e eu saberia o valor de x. Vamos pensar sobre como podemos representar isso algebricamente. Essencialmente, estamos tirando um x e um y do lado esquerdo, se estou tirando um x e um y do lado esquerdo, estou subtraindo um x, e estou subtraindo, na verdade, deixa eu pensar assim, estou subtraindo um x, estou subtraindo um x mais y, um x e um y do lado esquerdo. Mas aí, o que eu vou fazer do lado direito? Bom, um x e um y, sabemos, tem uma massa de 5, então, podemos subtrair 5 do lado direito. O único jeito de sabermos disso é por causa da informação que a gente tem dessa segunda balança. Então, posso tirar 5 e isso vai ser igual a tirar 5. Tirar um x e um y é o mesmo que tirar 5, e sabemos disso por causa do x mais y igual a 5 quilos. Então, se tiramos um x e um y do lado esquerdo, o que sobra? Bom, isso vai ser o mesmo que, deixa eu escrever, reescrever essa parte, tirar um x e um y, isso é a mesma coisa, é o mesmo que distribuir o sinal de negativo, como tirar um x, tirar um x e tirar um y. Então, do lado esquerdo ficamos com, do lado esquerdo nós ficamos só com 2x, e estamos tirando um dos x, ficamos só com um x. A gente tinha um y e tiramos um y. Então, não sobrou nenhum y. Então, vemos isso aqui visualmente, temos só um x aqui. E o que temos no lado direito? Temos um 8 e sabemos que x mais y é igual a 5. Então, tiramos 5 para manter a balança equilibrada. 8 - 5 é 3. 8 - 5 igual a 3. Assim, usando a informação extra, a gente foi capaz de descobrir que a massa de x é igual a, a massa de x é igual a 3. Agora, a pergunta final: fomos capazes de descobrir qual é a massa de x, mas consegue agora descobrir qual é a massa de y? Podemos voltar a qualquer uma das balanças, porém, seria provavelmente mais simples voltarmos a essa aqui. Sabemos que a massa de x mais a massa de y é igual a 5. Então, podemos dizer, então, uma coisa que sabemos é que x, agora, é igual a 3. A gente sabe que isso agora é uma massa de 3 quilos. Podemos reescrever isso como 3 mais y, 3 mais y é igual a 5. Agora, dizemos: "Podemos tirar 3 dos dois lados." Se tiro 3 dos dois lados, do lado esquerdo eu só tenho que tirar 3, do lado direito, para manter minha balança equilibrada, e sobra que a massa de y está equilibrada com uma massa de 2, ou y é igual a 2. Isso é análogo a tirar 3 dos dois lados dessa equação. E do lado esquerdo fiquei só com um y, e do lado direito fiquei só com um 2. Então x é igual, x é igual a 3 quilos e y é igual a 2 quilos. O que eu te encorajo a fazer é verificar que isso faz sentido aqui em cima. Descubra qual é a massa total dos lados esquerdo e direito, ou verifique se a massa total aqui realmente era 8, pra começar. E verá que 2x vão ser 6 quilos, mais meu y é 2 quilos, isso vai equilibrar 8 quilos, e 3 mais 2 é igual a 5.