Sistemas de equações com eliminação: batatas fritas

RKA - Todos no reino estão muito impressionados com sua habilidade ajudando com o planejamento da festa. Todos, exceto esse senhor aqui. Esse é Arbegla. Ele é o principal conselheiro do rei e está comandando o planejamento da festa. Ele está se sentindo um pouco ameaçado por sua habilidade em resolver problemas que parecem insolúveis, pelo menos do ponto de vista dele. Porque ele continua comprando coisas de menos ou mais para a festa, como os cupcakes. Ele diz: "Rei, o problema do cupcake foi fácil. Conte para ele sobre o problema da batata frita, porque é impossível acertar nas batatas fritas". O rei diz: "Arbegla, essa é uma boa ideia, a gente precisa acertar nas batatas fritas". Ele vem até você e diz: "Como podemos descobrir quantas batatas fritas precisamos pedir em média?" Para isso, precisamos descobrir quanto cada homem e cada mulher comem em média. E você diz: "Bom, mas, e as crianças?" E o rei responde: "No nosso reino batatas fritas são proibidas para crianças". E, você diz: "Ah! Beleza! Isso é ótimo! Diga-me o que aconteceu nas festas anteriores". O rei diz: "Você pode lembrar que, na última festa, na verdade, nas 2 últimas festas, nós recebemos 500 adultos, na última festa, 200 dos convidados eram homens e 300 eram mulheres. No total tínhamos 1.200 pacotes de batatas fritas". E você diz: "E na festa anterior?" Ele diz: "Naquela, tivemos uma maior presença de mulheres. Recebemos apenas 100 homens e 400 mulheres. E, nessa festa menos pacotes foram consumidos: mil e cem, 1.100 pacotes de batatas fritas". Você diz: "Muito bem! Senhor rei. E, Arblega, esse parece um problema bastante simples, deixe-me definir algumas variáveis para representar os nossos valores desconhecidos". Depois, você diz: "Bom, deixemos que 'm' seja o número de pacotes consumidos por cada homem". E poderíamos raciocinar isso em média, e, talvez todos os homens do reino sejam completamente idênticos, ou talvez pelo número médio de pacotes consumidos por cada homem. Vamos fazer "w" igual ao número de pacotes consumidos por cada mulher. Depois de definir as nossas variáveis, vamos pensar em como podemos representar essa primeira informação. Essa informação, em verde. Vamos pensar sobre o número total de pacotes que os homens comeram. Tínhamos 200 homens, 200, vamos descer um pouquinho. Tínhamos 200 homens e cada um comeu "m" pacotes, "m" pacotes por homens. Os homens dessa primeira festa comeram, coletivamente, 200 vezes "m" pacotes. Se "m" fosse 10 pacotes por homem, então teríamos 2.000. Se "m" fosse 5 pacotes por homem teríamos 5.000. Não sabemos o valor de "m", mas 200 vezes "m" é o total consumido pelos homens. Usando a mesma lógica, o total consumido pelas mulheres é de 300. Trezentas mulheres vezes o número de pacotes consumidos por cada mulher. Então, se adicionarmos o total consumido por homens e mulheres teremos 1.200 pacotes. Mil e duzentos pacotes. Portanto, temos aqui essa informação escrita algebricamente, considerando essa definição de variáveis. Vamos fazer a mesma coisa para a segunda festa com a informação que nos deram aqui. Vamos pensar em como podemos representar isso algebricamente. Usando uma lógica similar, qual foi o total que os homens comeram nessa festa? O total foi 100 homens vezes "m" pacotes por homem. Estamos assumindo que "m" seja igual nas duas festas e que os homens em média comem sempre o mesmo número de pacotes. Quanto as mulheres comeram na segunda festa? Nós tínhamos 400 mulheres e, em média, comeram "w" pacotes por mulher. 400 vezes "w" é número total que as mulheres comeram. Se somarmos esses 2 números teremos o total que todos os adultos comeram. Então, aqui será 1.100 pacotes. Agora, está bem familiar, temos um sistema de 2 equações com 2 incógnitas. Você dá o seu máximo para resolver o problema. Quando resolve, você nota algo interessante. Da última vez, isso foi muito conveniente, acho que tínhamos 500 aqui, por 500 adultos, e mais um 500, foi muito fácil anular uma das variáveis. Aqui, está um pouco mais difícil. Embora, o valor que estamos multiplicando por "m" seja diferente aqui, o coeficiente do "w" é diferente, mas diz: "Talvez, eu possa mudar uma dessas equações para deixá-la um pouco mais fácil de anular com a outra equação". E se, por exemplo, pegasse essa azul, e multiplica-se por -2? E pode se perguntar: "Por que estamos multiplicando por -2?" Se multiplicarmos por -2 esse 100m se tornaria -200m, se tivermos -200m poderia se anular com 200m positivo quando somarmos os dois. Então, vamos ver o que acontece. Vamos multiplicar essa equação azul por -2. Deixe-me ir para esquerda um pouquinho. Lembre-se a multiplicar uma equação não podemos simplesmente fazer isso só com o termo e não podemos fazer isso em um só lado da equação. Temos que fazer a operação com a equação inteira para que ela continue sendo verdadeira. Então, temos -2 vezes 100m igual a -200m, -2 vezes 400w, temos um positivo aqui, por isso ele se torna -800w, -2, fizemos do lado esquerdo, mas também temos que fazer do lado direito, -2 vezes 1.200 é igual a -2.200. Só para ficar claro, essa equação que escrevi aqui tem essencialmente a mesma informação. Nós apenas manipulamos. Apenas alteramos a equação multiplicando os dois lados por -2, mas temos o mesmo tipo de restrição. O que torna-se interessante é que agora podemos reescrever essa equação verde. Vamos fazer isso aqui, essa primeira, 200m + 300w é igual a 1.200. O único motivo de multiplicarmos por -2 é para que, quando somarmos essas duas coisas, possamos nos livrar dessa variável. Vamos somar o lado esquerdo e o lado direito. Podemos literalmente visualizar como, a gente começa com essa equação azul e estamos somando essa quantidade no lado esquerdo do amarelo para o lado esquerdo do azul. 1.200 é exatamente a mesma coisa que estamos somando ao lado direito. Sabemos que isso é igual a isso. Então, podemos somar isso no lado esquerdo e isso no lado direito. Vamos ver o que acontece. A parte boa é que a equação azul é multiplicada por -2 para que esses dois valores se anulem. Somando esses dois valores ficamos com 0m ou apenas "0". Temos -800w + 300w, isso é igual a -500w. No lado direito temos -2.200 + 1.200 que é igual a -1.000. Agora, é bastante simples, uma equação e uma incógnita. É uma equação bastante simples, dividimos os dois lados pelo coeficiente de w. Multiplicando w vamos dividir por -500 à esquerda e dividir por -500 à direita Ficamos com w igual a 2. Em média, as mulheres comeram 2 pacotes de batatas fritas nessas festas, cada uma. Estamos assumindo que esse valor seja constante em todas as festas. Vamos pensar em como podemos descobrir quantos pacotes em média cada homem comeu. Para fazer isso basta voltar a uma dessas equações. No último vídeo ou alguns vídeos atrás, fiz a primeira equação. Vou mostrar que a segunda equação também funciona. Qualquer uma vai funcionar. Vamos substituir os valores na segunda equação. Podemos pegar qualquer uma das duas versões dessa equação, mas vamos pegar a original. Temos 100 vezes "m", que estamos tentando descobrir, mais 400 vezes, agora sabemos que w é igual a 2, então, 400 vezes 2 é igual a 1.100. Temos então 100m + 800 igual a 1.100. Para resolver o "m" vamos subtrair 800 dos dois lados. Subtraímos 800 dos dois lados, e ficamos com 100m é igual a 300. Vamos dividir os dois lados por 100. 100 e 100. Ficamos com "m" que é o número de pacotes de batatas fritas que cada homem come em média, é igual a 3. Resolvemos o problema de Arbegla. O que ele pensava ser um problema difícil usando os poderes mágicos e místicos da álgebra. Agora, a gente pode dizer ao rei, enquanto ele planeja sua festa, que em média os homens vão comer 3 pacotes de batatas fritas cada um. E, em média, as mulheres vão comer 2 pacotes de batatas fritas cada uma.