Provas com transformações

RKA - Aqui nós temos um screenshot da tela do exercício da Khan Academy. E essa tela trata de retas e ângulos envolvendo demonstrações. Isso é só para a gente fazer os exercícios para mostrar para vocês como é a prática de ficar demonstrando coisas a respeito de retas e ângulos. Vamos lá, então. E nesses exercícios, vamos usar translações e reflexões para provar coisas a respeito de ângulos, beleza? Vamos ler o enunciado: aqui está falando que a reta "AB" e a reta "DE" são retas paralelas. Realize uma translação que prove que ângulos correspondentes são sempre iguais e selecione a opção que explica essa prova. Portanto, eles querem que a gente faça uma translação que prove que ângulos correspondentes são sempre iguais e depois selecione a opção. Vamos lá, vamos resolver. Aqui temos a nossa ferramenta. Você percebe que eles pegaram ângulos correspondentes. Nós temos, aqui esse ângulo "y" e esse ângulo "x". Como eles falaram no enunciado, a reta "AB" é uma reta paralela à reta "DE". E essa reta "F", que tem o ponto "F", a reta "FD", no caso, é transversal a essas duas paralelas. O que nós queremos fazer é provar que esses dois ângulos, "x" e "y", têm a mesma medida. Eu posso fazer essa demonstração de várias maneiras diferentes através da geometria, mas aqui, ele nos oferece a opção de fazer a translação, de transladar. Então, apertei esse botão aqui e agora eu posso mover. Olhe aí, que legal. É o seguinte: este meu ponto inicial, que eu peguei, ele estava aqui, sobre esse ponto "D", não é? Agora, se eu pegar esse ponto e transladá-lo, quer dizer, movimentá-lo até o ponto "B", perceba que eu transladei essas duas retas aqui e os ângulos não se modificaram. Não se modifica nada quando eu faço essa transação, eu estou preservando os ângulos, olhe aí. Você percebe que esse ângulo "x" é a medida desse ângulo "BDC", certo? E quando a gente movimenta esse ponto para cá, a gente percebe, exatamente, que essa medida do ângulo "y" vai ser essa medida do ângulo "AB"... Se tivesse um pontinho aqui, por exemplo, "G", "ABG", não é? Portanto, como você pode perceber, este ângulo não muda quando eu faço a translação, é exatamente a mesma coisa. Casou certinho, não é? Agora, o que nos resta fazer é ver qual opção melhor responde a essa situação. Vamos lá, vamos ler essa do meio primeiro. Vamos começar com essa aqui do meio. A translação que transforma o ponto "F" no ponto "D". Vamos lá. O ponto "F" no ponto "D". O ponto "F" no ponto "D", olhe aí. A gente não fez isso, então estou suspeitando que isso está errado. Mas vamos lá, vamos continuar lendo. ...produz uma nova reta que é a bissetriz do segmento "DB". Não, não foi isso que a gente fez aqui, não é? Vamos ler a segunda, quer dizer, essa última opção. Como a imagem de uma reta depois de uma translação é paralela à reta original, a translação que transforma o ponto "D" no ponto "B" também transforma o ângulo "CDF" em ângulo "ABD". Repare, foi exatamente isso que nós fizemos. Nós transladamos o ponto "D" no ponto "B", não é? Ele está falando que transforma o ângulo "CDF", esse ângulo, aqui, no ângulo "ABD". É verdade. Esse ângulo aqui corresponde a esse daqui certinho, não é? E, portanto, essa alternativa está me parecendo razoável. Vamos ler agora a primeira, que a gente não leu ainda. A translação que transforma o ponto "D" no ponto "E" produz um paralelogramo. Então, vamos lá. O ponto "D" no ponto "E". Estava aqui, assim. Seria levar isso daqui para cá... Não foi isso que nós fizemos. Você percebe que, de fato, se eu mexer esse ponto aqui do ponto "D" ao ponto "E", isso vai produzir um paralelogramo, sim. Porém, não foi isso que nós fizemos. Nós fizemos isso aqui, o "D" no "B". Portanto, eu vou com essa última opção. Vamos ver se nós acertamos? Acertamos. Vamos fazer mais um agora. Neste exercício está dizendo que as retas "AOB"... Está aqui, "AOB". Ele poderia só dizer "AB", se quisesse. Mas ele colocou o "O" só para dizer que o "O" está realmente pertencendo a essa reta aqui. E a reta "COD" são linhas retas. Quais dessas afirmações provam que os ângulos opostos pelo vértice são sempre iguais? Então, ângulos opostos pelo vértice: esse ângulo θ (teta) e esse ângulo Φ (fi). São ângulos opostos pelo vértice. E aí, como vou provar que esse ângulo "AOC", que é esse ângulo θ, e o ângulo "DOB", que é esse ângulo Φ, são iguais? Vamos verificar o que ele está falando em cada uma das alternativas. Na primeira, ele fala que esse segmento "OA" é congruente ao segmento "OD". Eu não posso afirmar isso, porque ele não fala em nenhum momento que eles são congruentes. O enunciado não me diz isso, pois eu não sei, na verdade, o quão distante esse ponto de "D" está do "O" e nem quão distante esse "A" está do "O", certo? Então, não posso dizer que são congruentes. Então, eu nem vou continuar lendo essa primeira alternativa, porque ela já começou com uma afirmação que não tem como ter certeza se é válida ou não. Eu vou pular para a terceira agora. Depois a gente vai voltar para essa do meio. Ele está falando que se "OA", essa semirreta aqui, "OA", e "OC" forem rotacionadas em 180 graus ao redor do ponto "O", elas devem ser transformadas em "OB" e "OD", respectivamente. Se duas semirretas forem rotacionados pelo mesmo ângulo, o ângulo entre elas não mudará, então Φ deve ser igual a θ. Será que isso é verdade? É interessante isso aqui. Vamos ver, vamos digerir o que ele está falando nessa afirmação. Então, olha só: "OA" e "OC" vão ser rotacionados 180 graus. Se eu pegar "OA" e rotacionar 180 graus, ele vai cair exatamente em cima... Essa semirreta, "OA", ficar exatamente em cima dessa semirreta "OB", concorda comigo? Porque, como são linhas retas, 180 graus vai fazer exatamente isso, vai colocar essa daqui por cima dessa. E a mesma coisa vai acontecer com a outra, sim ou não? Se eu pegar "OC" e rotacionar 180 graus, vai ficar por cima de "OD". Então, essa primeira afirmação que ele faz: Se "OA" e "OC" forem rotacionados 180 graus ao redor do ponto "O", elas devem ser transformadas em "OB" e "OD", respectivamente. Sim, é verdadeira. Só lembrando que esse "respectivamente" está falando que é nessa ordem: "OA" tem que virar "OB" e "OC" tem que virar "OD", que é exatamente que acontece, não é? Agora, vamos ler a segunda parte: se duas semirretas forem rotacionados pelo mesmo ângulo, o ângulo entre elas não mudará. Beleza, eu concordo: 180 graus aqui, 180 graus aqui, rotacionei o mesmo ângulo e, então, não vai mudar mesmo, não é? Uma outra maneira de pensar sobre essa rotação de 180 graus é lembrar que esse ângulo θ vai ficar exatamente por cima desse ângulo Φ. Já que "OA" vai ficar por cima de "OB" e "OC" vai ficar por cima de "OD". Então, esses ângulos vão ficar um por cima do outro, perfeitamente. Portanto, gostei muito dessa afirmação aqui. Vamos analisar essa outra, que a gente não viu ainda. As rotações preservam os comprimentos e ângulos. "AB" é congruente de "CD", então, sabemos que Φ é igual a θ. Não posso afirmar que "AB" é congruente a "CD", não tenho essa informação. Eu não sei a distância do A para B e não sei a distância do C para D. Não posso dizer que isso é congruente. Portanto, estou suspeitando muito dessa afirmação. Não gostei, não. A que eu gostei mais, é claro, foi essa que a gente leu anteriormente, a última afirmação. Ficou perfeitinha a explicação, não é? Portanto, só lembrando essa última: nós rotacionamos 180 graus. Então, "OA" vai ficar em cima de "OB", "OC" vai ficar por cima de "OD" e esses ângulos vão se sobrepor perfeitamente um ao outro. Então, são iguais. Eu vou nessa alternativa, aqui. Vamos verificar. Acertamos. Até o próximo vídeo.