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Exemplo resolvido: domínio e imagem de funções lineares definidas por partes

Transcrição de vídeo

aqui nós temos uma função de venda por partes que a função gtx que é toda ela uma função linear netos aqui são retas sim ou não e cada reta que está definida em um determinado intervalo neste vídeo aqui nós vamos pensar um pouco sobre o domínio e depois sobre a imagem dessa função aqui tudo isso é uma revisão não vamos lá vamos botar que o domínio o domínio nada mais é que o conjunto de valores aí do xx quando você joga um xis aqui na função neves tem um determinado valor g sim ou não que a função gd x beleza então são todos os valores possíveis para o xis aqui eu tenho que saber em que intervalos essa função aqui é definida para esses valores de x beleza tão domínio aqui o mais é o seguinte a primeira coisa que eu percebo é que se o x ele for menor do que o menos seis né se for menos seis em diante para baixo essa funciona não está definida ao menos seis aqui o chile não pode nem assumir esse valor vai chegar 5,99 999 mas não vai chegar no menos seis porque o xis aqui tem que ser maior que menos seis está claro o valor no caso pelo menos seis para baixo ele não está definido nenhum desses três intervalos eu não consigo falar quando chegou ao menos 6 faça isso e aquilo que esse valor não consigo dizer aqui nessa função então menor valor possível aqui vai ser esse xis maior do que menos seis esse valor que vai ser o meu limite inferior é definir o domínio então vou escrever assim ó eu vou dizer que o x ele pertence ao conjunto dos números reais certo tal que o menos seis ele vai ser menor do que o xv vai ser meu limite inferior aqui não fiz ele não pode nunca encostava -6 pode chegar bem perto a gente encostar e ele vai ser aqui ó menor ou igual a seis eu tenho que perceber aqui agora se eu estou preenchido todos os buracos aí até chegar nos 6 aqui por exemplo x o ele é menor ou igual a menos três beleza aqui taiwan - 3 e aqui ele já está maior que menos três preencher o buraco tranqüilo aquele vai ser menor do que 4 e aqui vai ser maior ou igual a 4 perceba que o quarto também está nesse intervalo então consigo preencher certinho do menos seis até os 6 ac o x menor ou igual a seis vai ter que ser um valor entre menos seis e os seis incluindo esses aqui mas não incluindo o - sei se não a função ela vai estar indefinida a não está definida o ponto x igual - se está claro então se tem que ser menor ou igual aqui ó que seis para pegar esse limite superior lesante daqui vai ser o nosso domínio e eu poderia escrever isso daqui de uma maneira menos matemática da seguinte maneira posso colocar aqui ao xx pode ser qualquer número real thaw que aqui o tal que o nosso x ali olha vai ter que está entre o menos 65 e -6 ele vai ter que ser menor ou igual a seis aqui a sua maneira - matemática de escrever essa sentença e escrever aqui linguagem matemática de ter e dos conjuntos beleza agora vamos pensar sobre a imagem dessa função a imagem é todos os valores ali aquela função pode assumir beleza ou seja vou jogar um valor x ali e ela vai retornar um valor geneco vai ser o valor da função que vai ser a minha imagem vai fazer parte da imagem aqui beleza então pra esses três casos aqui eu vou ver em quais valores aqui a minha gtx vai situar então pra cá por exemplo a minha gtx ela vai estar entre quais valores aqui aqui pra baixo a minha gtx a estar entre quais valores e aqui a minha gente x vai está entre quais valores então vamos lá pra esse primeiro intervalo aqui de cima não considerar essa função x + 7 qual vai ser o valor mínimo é essa a minha função aqui x ele não pode ser igual a menos seis mas eu vou usar menos seis aqui só para efeito de cálculo então vou colocar menos seis mais sete que vai dar igual amigos só que você percebe que a função não vai dar igual a 1 ela vai ser aqui a maior do que esse um cara que eu sei tem que ser maior do que esse - eis aqui então vou colocar aqui um que vai ter que ser menor que a função gtx está claro exatamente por esse sinal de desigualdade aqui não conter o símbolo de igual e apenas um sinal de menor do que também vai continuar esse mesmo sinal por causa disso e o maior valor maior valor segundo x for igual ao menos três você sr pode ser igual porque é que o chileno ou igual a menos três então como colocar ao menos três aqui ó vai dar igual a quatro tá aí agora cuidado para essa função aqui de baixo hoje está em 3 - 3 e 14 e para que os x é que ele tem um sinal de menos na frente dele então que vai mudar um pouquinho a lógica tal aqui muda um pouquinho a lógica aqui acontece o seguinte essa função não atingiu seu valor mínimo quando x atingirá que o seu valor máximo é exatamente por esse sinal de menos aqui na frente da clara então quando isso vai acontecer bom valor mínimo nessa função mas é quando x for é vou e não pode ser igual a 4 aqui mas eu vou usar o 4 só para fins de cálculo então quando che por quatro aqui né vou ter um menos 4 que vai dar - 31 é que vai ter que ser menos três está claro e aqui a função vai atingir seu valor máximo quando x for o seu valor mínimo ou seja o menos três aqui quando aqui o x por menos três aqui vai ficar menos - 3 vai dar 3 positivo e três mais um é da quatro está claro para você então e é a lógica que mudou exatamente por esse sinal de menos na frente do x e novamente eu não posso usar o x igual a menos 3 e nem x igual a 4 eu coloquei o menos três e 14 aqui nessa forma dessa função aqui só pra gente calcular o seu limite mínimo seu limite máximo beleza aqui um x no caso está se aproximando do menos três e do quatro então aqui a função vai se aproximado menos três dos quatro mas nunca vai ser menos três e quatro por sinal de desigualdade é que não está com o sinal de igual da clara então beleza não é difícil compreender agora percebo daqui de baixo a perceber aqui embaixo x ele pode ser 4 também e pode ser seis também pode assumir esses valores porque eu tenho um sinal de desigualdade mas também tem um sinal de igualdade o xl é maior ou igual a 4 e ele é menor ou igual a seis está claro e neste caso aqui como a nossa função é positivo é crescente porque o 2 x ac no valor positivo tenho mais aqui na frente né apenas não está escrito ali então o essa função vadios o valor mínimo quando x for mínimo ou seja quando for igual a quatro nesse caso quando colocar 14 aqui vai dar oito dos 24 88 - 11 vai dar menos três beleza e ela vai atingir seu valor máximo quando x for o máximo ou seja quando for igual a 6 logo quando colocar aqui ou duas vezes 6 a 12 12 - 11 dá igual a 1 então posso escrever aqui a imagem como sendo que como sendo os valores de gt x que vão pertencer aos números reais certo tal que agora vou analisar em que intervalo vai ter a imagem é só aqui você percebe que menos três ele não vai fazer parte da imagem mas aqui ele faz o então gerente x têm maior ou igual a menos três aqui eu vou colocar aqui ao menos três maior ou igual ao que a gtx e agora vou ver se tem algum buraco entre esse valor mínimo o valor máximo a que no caso parece que suspeitam que seja 4 aqui você percebe que a função mais ou menos três até um certo ela pode assumir esses valores - até 11 e aqui ou você percebe que ela vai do um mês sem incluir um só que já está incluído aqui né então vai de 1 até o quatro incluindo o valor 4 então está todo definido aí ela pode assumir esses valores que vão menos três até o quatro então gtx aqui pode ser menor ou igual a 4 essa vai ser a imagem da função então posso ler assim hoje de x pode ser qualquer número real thaw que o menos três e menor ou igual a gtx que é menor ou igual a 4 ou seja pode assumir valores que vão do menos três incluindo menos três até 14 incluindo quatro beleza até o próximo vídeo