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Curso: Geometria intermediária > Unidade 8

Lição 10: Propriedades das tangentes

Como determinar as retas tangentes: comprimentos

Resolva dois problemas que aplicam propriedades de tangentes para determinar se uma reta é tangente a um círculo.

Problema 1

O segmento

\overset{―}{O C}

é um raio do círculo

O

Observação: a imagem não está, necessariamente, em escala.

A reta $\overset{\leftrightarrow}{A C}$ ‍ é tangente ao círculo $O$ ‍?

(Escolha A)
Sim, porque $\overset{―}{A C}$ ‍ cruza o círculo $O$ ‍ no ponto $C$ ‍
(Escolha B)
Sim, porque $\overset{―}{A C}$ ‍ é perpendicular a $\overset{―}{O C}$ ‍
(Escolha C)
Não, porque $\overset{―}{A C}$ ‍ não é perpendicular a $\overset{―}{O C}$ ‍
(Escolha D)
Não, porque $△ A O C$ ‍ cruza o círculo $O$ ‍ em mais de um ponto

Uma

reta

tangente a um círculo em um determinado ponto é perpendicular ao

raio

nesse ponto.

Vamos ver se

\overset{\leftrightarrow}{A C}

é tangente usando o teorema de Pitágoras inverso para determinar se

△ A O C

é um triângulo retângulo.

Teremos que descobrir a medida de

\overset{―}{A O}

B O = 5

porque ele é um raio, assim como

C O

, então:

$A O = 8 + 5 = 13$ ‍

Agora podemos usar o teorema de Pitágoras para determinar se

△ A O C

forma um triângulo retângulo.

\begin{aligned} {A C}^{2} + {O C}^{2} & \overset{?}{=} A O^{2} \\ 11^{2} + 5^{2} & \overset{?}{=} 13^{2} \\ 146 & \neq 169 \end{aligned}

Então,

△ A O C

não é um triângulo retângulo.

Não, $\overset{\leftrightarrow}{A C}$ ‍ não é tangente ao círculo $O$ ‍, porque $\overset{―}{A C}$ ‍ não é perpendicular a $\overset{―}{O C}$ ‍.

Problema 2

O segmento

\overset{―}{O C}

é um raio do círculo

O

Observação: a imagem não está, necessariamente, em escala.

A reta $\overset{\leftrightarrow}{A C}$ ‍ é tangente ao círculo $O$ ‍?

(Escolha A)
Sim, porque $\overset{―}{A C}$ ‍ cruza o círculo $O$ ‍ no ponto $C$ ‍
(Escolha B)
Sim, porque $\overset{―}{A C}$ ‍ é perpendicular a $\overset{―}{O C}$ ‍
(Escolha C)
Não, porque $\overset{―}{A C}$ ‍ não é perpendicular a $\overset{―}{O C}$ ‍
(Escolha D)
Não, porque $△ A B C$ ‍ cruza o círculo $O$ ‍ em mais de um ponto

Uma

reta

tangente a um círculo em um determinado ponto é perpendicular ao

raio

nesse ponto.

Vamos ver se

\overset{\leftrightarrow}{A C}

é tangente usando o teorema de Pitágoras inverso para determinar se

△ A O C

é um triângulo retângulo.

Teremos que descobrir a medida de

\overset{―}{A O}

B O = 12

porque ele é um raio, assim como

C O

, então:

$A O = 8 + 12 = 20$ ‍

Agora podemos usar o teorema de Pitágoras para determinar se

△ A O C

forma um triângulo retângulo.

\begin{aligned} {A C}^{2} + {O C}^{2} & \overset{?}{=} A O^{2} \\ 16^{2} + 12^{2} & \overset{?}{=} 20^{2} \\ 400 & = 400 \end{aligned}

Então,

△ A O C

é um triângulo retângulo.

Sim, $\overset{\leftrightarrow}{A C}$ ‍ é tangente ao círculo $O$ ‍, porque $\overset{―}{A C}$ ‍ é perpendicular a $\overset{―}{O C}$ ‍.

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