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Prova: o raio é perpendicular à reta tangente

Transcrição de vídeo

temos uma circunferência de centro ó e vamos traçar por essa circunferência uma tangente l qual que é bom aqui vamos traçar nossa tangente roupa beleza então essa é a nossa reta tangente l ela toca às referência em um único ponto esse ponto vamos chamar de a é a interseção entre os pontos da circunferência e os da reta tangente ou seja a intercessão é um conjunto unitário onde o ponto de interseção eo ponto a nesse vídeo vamos provar que a reta que liga o ponto a que é o nosso raio é perpendicular à reta tangente l como vamos provar isso vamos fazer através de duas hipóteses portanto vamos escrever a primeira hipótese a menor distância distância entre o centro da circunferência o centro da circunferência fé em si o e a reta tangente tangente l é ó vamos verificar se essa hipótese é verdadeira ou falsa todos os pontos que são externos a circunferência tem uma distância maior do que o raio da própria circunferência portanto se pegarmos qualquer ponto da reta tangente que não seja o ponto há porque é o único que pertence à circunferência é único da interseção qualquer ponto diferente de ar será um ponto externo ou seja se eu ligar a a um determinado ponto b eu tenho que vencer o tamanho de r mais um determinado segmento significa que a ua é e então o b é maior do que ó ele vai diminuindo à medida que eu vou me aproximando dos pontos de ar ou seja se eu pegar um pontos e essa diferença vai diminuindo mas nunca vai ser tão próximo quanto à quando eu passar de ar por exemplo se eu pegar um ponto de do outro lado do ponto de tangência nós vamos ter que essa reta vai ser mais uma determinada a diferença que faz com que o de seja maior do que ó portanto a primeira hipótese a primeira premissa estava ainda está correta vamos partir agora para a segunda hipótese porque nós provamos que o segmento ou a é a menor distância entre o centro da circunferência e à tangente a circunferência l não provamos que esse ano é de 90 graus portanto vamos para a segunda hipótese e qual é a nossa segunda hipótese a nossa segunda hipótese é uma hipótese que vamos chamar de prova pelo absurdo ou pela contradição vamos afirmar que se tivermos uma reta qualquer r temos uma reta qualquer r e um ponto que não pertence a essa reta r 1 ponto de o segmento que forma a menor distância entre o bb ea reta r não forma um ângulo de 90 graus ou seja diferente de 90 graus então chamamos esse segmento vamos chamar esse segmento de ser esse segmento de ser segundo nossa hipótese é o menor possível seja o menor segmento possível portanto vamos escrever na segunda hipótese o menor segmento de reta para ligar um ponto não pertencente não pertencente à é não é um ângulo reto ou seja o que estamos afirmando é que você é o menor trajeto possível c é o menor segmento de reta entre b e vamos chamar isso aqui de a entre beal seja o segmento bea é o menor segmento possível entre o ponto b ea reta r ora sabemos que podemos traçar uma perpendicular à reta r e que passe por b se nós temos aqui um ângulo reto nós temos um triângulo retângulo onde esse lado eu vou chamar de bebê pequeno e esse lado eu vou chamar de a pequeno e temos que ser cautelosos ao quadrado é igual a a que é um cateto ao quadrado mais b que é o outro quarteto ao quadrado isso significa que ao quadrado é igual a seu quadrado - b ao quadrado ora se b o quadrado é um valor positivo que está elevada ao quadrado e estamos tratando de segmentos então são valores positivos e temos que a s - alguma coisa se essa coisa existisse essa coisa tem um determinado valor isso significa que o modo de ar tem que ser menor do que o modo de ser pela nossa hipótese nós afirmamos ao contrário nós afirmamos que como ser é o menor segmento possível nós afirmamos que o segmento c ou seja o módulo de ser é menor do que qualquer outro ou seja é menor do que essa ligação é menor do que o modo de a o que criam contradição um ele afirma que a tem que ser maior do que esse o desculpa 1 ele afirma que a tem que ser menor do que ser e pela hipótese afirma que tem que ser menor do que é ou seja se a tem que ser maior do que ser ea tem que ser menor do que se ao mesmo tempo cria um paradoxo uma contradição ou um absurdo e vemos que ao se aproximar ou diminuir o tamanho de b se pegarmos o segmento cada vez mais próximos de ar ou seja com b tendendo a zero vamos pegar aqui um bebê linha e aqui vamos ter um selinho vemos que os 70 se aproximando de ar e à medida que ele se aproxima de a esse ângulo que era menor vai se tornando cada vez maior até que se torna 90 graus quando passa dessa ligação de bebê com a reta r através de ar vamos pegar outro segmento qualquer que vai ser maior também ou seja ela é simétrica dos dois lados portanto o menor segmento de reta entre o ponto b ea reta r forma um ângulo de 90 graus se mostramos isso vamos passar para o nosso problema inicial já demonstramos pela primeira hipótese que a menor distância entre ó ea reta tangente l é o ponto é o segmento de reta ou a essa é a menor distância e agora vemos que sendo esta a menor distância o ângulo formado entre o segmento de reta ou a que é o nosso r é perpendicular à tangente l portanto o a que é o nosso raio é perpendicular à tangente l como queremos demonstrar