Estrutura de uma expressão exponencial

RKA - Nesta questão aqui, nós temos a seguinte situação: nós temos uma função, dessa vez exponencial, que também como no exercício anterior, se você assistiu os últimos vídeos, descreve o movimento de uma partícula em função do tempo "t", deixa eu marcar o tempo "t" aqui, em função do tempo "t". Então, eu quero fazer três perguntas para vocês, só que ao invés de escrever as três perguntas aqui, eu vou fazendo e vou respondendo, porque eu acho que assim vai ficar melhor de entender. E a primeira pergunta vai ser: qual é a posição da partícula quando for o instante inicial do movimento inicial dessa partícula? Então, antes de começar a responder, eu realmente sugiro que vocês pausem esse vídeo e tentem responder porque não está tão difícil. Mas, mesmo assim, se vocês não conseguirem não se desesperem porque funções exponenciais são bem mais complicadas do que funções normais. E então eu posso responder para vocês nesse vídeo aqui, quando eu fizer a questão já vai dar resposta. Então vamos começar. A partícula vai estar na posição inicial quando "t" for igual a zero, ou seja, P(0), "p" de zero, deixa eu fazer esse zero de outra cor, só para dar uma marcada ali. P(0) vai ser igual a "-d" elevado a -0 mais "c" elevado a 4, e isso tudo dividido por c² + 1. Então, agora eu posso pegar, por exemplo, esse zero aqui, eu vou marcar ele para deixar um pouco mais a vista aqui para vocês. E qualquer número, a gente sabe que esse "d" é maior que 1, e qualquer número maior que 1 elevado a zero dá o próprio 1, não importa se ele estava elevado a -0 ou +0, isso daqui vai dar 1. Então, aqui eu já posso marcar que o resultado disso, vou botar o 1 para trás, então vou trazer o "c" na quarta para frente. Então isso daqui vai dar "c" na quarta + 1 sobre "c²" + 1. E agora eu posso transformar isso aqui em (c²)² + 1² dividido por c² + 1. E isso daqui vocês podem enxergar como uma diferença de quadrados. Então, isso daqui vai ficar (c² + 1) · (c² - 1) dividido por c² + 1. Isso daqui é um "c", não é um parênteses, acho que eu fiz meio errado ali. E agora eu posso cortar essa parte aqui com essa parte aqui e o resultado, a função que descreve a posição da partícula no instante inicial P(0) é igual a c² - 1. Então, está aqui. E agora eu quero saber o movimento, como que é o movimento dessa partícula? Quero saber se ela vai e volta ou se ela vai para sempre e depois lá na frente ela começa a voltar. E a melhor maneira de saber isso é olhando para esse nosso componente da função aqui. A gente sabe que "c" e "d" são constantes, "c" e "d" são constantes, maiores do que 1. A única diferença, a única então coisa que vai mudar, vai fazer alguma mudança no movimento dessa partícula, vai ser o tempo. Então a gente só, como essa aqui é a constante, como "c" é constante, a gente só precisa analisar essa parte daqui, essa parte aqui que contém o tempo que é a nossa variável. Então, a melhor maneira de fazer isso seria traçando o gráfico de... eu vou até fazer um plano cartesiano aqui, fazer da maneira mais reta possível. Eu confesso que eu não sei fazer gráficos muito retos, mas linhas são difíceis de serem feitas. Mas, estão aí. Então, aqui eu vou botar "-d", ou melhor, vou botar "d" elevado a "-t" para a gente analisar o comportamento disso, e aqui eu botar em função de "t". Então, vamos supor, quando a gente pegue isso daqui sendo 1 e a gente vai ver que quando "t"... quando "d" elevado a "-t" for 1, a função vai valer zero porque "t" vai ser zero. A gente já viu, aqui, que quando "t" for zero o resultado vai ser 1. E quando a gente pegar, por exemplo, o t = 1, a gente vai ter "d" elevado a -1, que isso é 1 sobre "d". E como a gente não sabe o valor de "d", a gente não tem um valor fixo para "d", a gente pode chutar digamos que vai ficar mais ou menos aqui. Eu posso dizer mais ou menos aqui e aí vai ficar aqui esse ponto no gráfico, então aqui 1 sobre "d". E agora quando eu colocar um valor 2 para "t", por exemplo, vai ficar "d" elevado a -2 e isso é 1 sobre "d²", então vai descer mais ainda, vai ficar mais ou menos aqui. E com isso daqui a gente já pode prever um movimento para essa função, um gráfico para essa função, que vai ser alguma coisa parecida com essa curva daqui. Só que a gente não pode esquecer que tem esse sinal negativo aqui, ou seja, essa daqui, a curva com um sinal positivo. Para a gente fazer a curva com sinal negativo eu só vou precisar continuar meu gráfico aqui e traçar essa mesma coisa só que vindo aqui de baixo, então vai ficar mais ou menos uma coisa... deixa eu tentar fazer bem simétrica, vai ficar mais ou menos uma coisa assim. E, como a gente pode ver, o movimento da partícula vai ser bem descrito por essa curva daqui. E, agora, a nossa terceira pergunta que a gente pode fazer... só lembrando que eu esqueci de falar, isso daqui é característica de um movimento contínuo, ou seja, a partícula sempre vai estar em movimento e nunca vai voltar, ela só vai cada vez ficar um pouco mais próxima de não realizar nenhum movimento. E agora, aqui, a terceira pergunta, eu quero saber qual que é a cara dessa função daqui quando o "t"... qual o valor que essa partícula, que essa posição vai chegando mas nunca vai tocar nesse valor? Então a gente pode olhar aqui pelo gráfico, por exemplo, que essa curva vai fazer o seguinte: ela vai descer aqui, vai descendo, vai descendo, só que ela nunca vai encostar, ou melhor, aqui eu encostei, mas o certo, aqui, é ela nunca encostar no eixo "x" não importa o quão pequeno seja o valor, ela nunca é para encostar no eixo "x" aqui, ela sempre vai ter que passar, uma hora ela vai ficar quase paralela ao eixo "x" e nunca vai encostar ali. Eu quero saber, então, uma espécie de limite para essa função. Eu quero saber qual é o valor mais próximo aqui que ela vai chegar. E, para isso, a gente pode calcular o valor dessa... a expressão que descreve essa função P aqui quando "t", deixa eu escrever aqui, quando "t" estiver se aproximando do infinito. É isso mesmo, quando "t" estiver se aproximando de infinito. E isso daqui a gente pode verificar que quando "t" for infinito, esse termo aqui vai virar 1 sobre "d" elevado a alguma coisa bem grande, digamos, próximo de infinito. E isso daqui vai fazer esse número ficar cada vez menor, menor, menor, menor, menor, menor, ou seja, cada vez mais esse termo daqui, esse termo daqui, deixa eu fazer de outra cor, esse termo daqui vai se aproximar de zero. Então, vai ficar cada vez mais próximo de zero aqui, vai ficar cada vez mais próximo de zero, mas nunca vai encostar em zero. Então, a função, digamos a função limite, a função que descreve esse movimento quando "t" for, quando "t" estiver se aproximando do infinito, vai ser c⁴, sobre c² + 1.