Introdução ao Teorema do Resto Polinomial

RKA - Sejamos, agora, apresentados então ao "teorema do resto polinomial". Primeiramente, vamos apresentar isso daqui como se fosse uma mágica. Você sabe que na matemática tudo tem que ser demonstrado, mas aqui eu só vou dar um exemplo e, aí, você considera isso como uma verdade. Depois, eu vou demonstrar isso daqui bonitinho, mas olha só. Considere "f(x)" um polinômio, então isso daqui é um polinômio. E nós vamos fazer o quê? Nós vamos pegar esse "f(x)" aqui e vamos dividir por "x - a". O que o teorema do resto polinomial diz é o seguinte: se eu pegar o polinômio "f(x)" e dividir por "x - a", então o resto dessa divisão é a própria "f(a)"; então, o resto vai ser o "f(a)". Olha aí. Então, é como se eu pegasse esse valor de "a" aqui, substituísse no polinômio e o valor do polinômio para aquele valor "x = a" fosse, então, o resto da minha divisão. Vamos ver se isso vai dar certo mesmo. Eu vou pegar aqui um exemplo qualquer. Digamos "f(x)"... vou pegar um do segundo grau aqui (né?)... polinômio do segundo grau: "f(x) = 3x² - 4x + 7". E o que eu quero fazer aqui é dividir por "x - 1". Então, eu vou dividir por "x - 1" aqui. E, aí, você percebe o seguinte: que o meu "a", nesse caso, é igual a quanto? É igual a 1, beleza? E, aí, eu vou tentar ver se, realmente, se eu dividir esse polinômio aqui por "x - 1", se isso vai dar igual a "f(1)" lá no resto. Se o resto for igual a "f(1)", beleza; está mostrado aqui (não demonstrado, está mostrado) que isso é verdadeiro. Então, eu sugiro que você pause o vídeo, tente primeiro fazer, verificar se isso realmente é verdade, que agora eu vou vir com a resposta. Portanto, vamos lá. Vamos efetuar essa divisão. Eu vou ter "3x² - 4x + 7" dividido por "x - 1". Então, aqui, dividido por "x - 1", e, agora, vamos efetuar essa divisão aí. E, bem, como começa divisão aqui então? Ora, eu vou olhar para o maior grau daqui, que, no caso, é o "x¹" (primeiro grau), e ver quantas vezes isso daqui cabe no maior grau desse polinômio. Quantas vezes o "x" cabe em "3x²". Ora, cabe exatamente "3x", né? Então, vou colocar aqui "3x". Quanto é, então, "3x" vezes "x - 1"? O resultado dessa multiplicação aqui eu vou subtrair. É como se fosse uma divisão, realmente, com números; só que aqui a gente está trabalhando com polinômios, mas vamos lá. Ora, "3x" vezes "x" vai dar "3x²". E "3x" vezes -1 vai dar "-3x". E o que a gente vai fazer aqui é o quê? É subtrair, né? É assim que a gente faz numa divisão. Quanto vai dar essa subtração aqui? Bem, como eu estou subtraindo, "3x² - 3x²" vai dar zero. Aí, eu tenho esse "menos" aqui com esse "menos", que vai dar positivo. E, então, "-4x + 3x" vai me dar "-x". E esse "+7" ali (né?), fiz nada com ele, simplesmente baixo. E, agora, eu tenho "-x + 7" dividido por "x - 1". Deixa eu só colocar numa cor diferente aqui, só para a gente ter a diferenciação. Então, aqui, eu vou ter "-x + 7", que é esse 7 aqui (que eu baixei, né?). Então, tudo que eu fiz aqui primeiro foi pegar esse polinômio e dividir por "x - 1". Isso deu "3x", porque, aí, eu consigo simplificar esse "3x²" (né?)... vai dar zero. E aí, agora, eu fiquei com um resto aqui de um polinômio do primeiro grau. Logo, agora, eu vou dividir por quanto aqui? Ora, "-x + 7" dividido por "x - 1", agora vai dar "-1" aqui. Porque, quando eu fizer "-1" vezes "x", isso vai dar "-x". E, aí, como você sabe, eu tenho que subtrair. Então, vou subtrair aqui; vai dar "-x" (-1 vezes "x" dá "-x"), e -1 vezes -1 vai dar +1. E, aí, quando eu subtrair isso daqui vai dar quanto? Bem, como aqui eu vou ter "-x + x" (porque menos com menos aqui vai dar mais), isso aqui vai dar zero. E, aqui, eu vou ter "7 - 1" (menos com esse mais aqui vai dar menos), então "7 - 1" vai dar 6, que vai ser, então, o nosso resto. Não dá mais para eu efetuar a divisão aqui. Acabou aqui, deu "3x - 1" com o resto 6. Agora, vamos verificar se realmente esse resto aqui vai ser igual a "f(1)". Bem, como acabei de ver, esse meu 6 aqui é o meu resto. E uma maneira de pensar sobre o resto é você perceber que esse resto aqui tem um grau menor do que aquele divisor ali, né? O divisor tem grau 1 e esse 6 aqui é como se fosse o grau zero ("x⁰", que é 1). Então, quando eu chego num grau menor que o divisor, isso quer dizer, então, que esse é o resto. E, agora, pelo nosso teorema do resto polinomial, se ele realmente for verdade, ele está me dizendo que esse resto 6 aqui vai ser igual à minha "f(1)", certo? É o que está dizendo aqui o teorema do resto polinomial. Então, vamos ver. Eu vou calcular aqui agora, só para verificar, a "f(1)". Vamos ver quanto vai dar isso daqui, a "f(1)". Bom, isso vai ser igual, então, a quanto? Olha só. Se eu substituir o 1 aqui nesse polinômio, no lugar do "x", eu vou ter 3 vezes 1². 1² é igual a 1, e 3 vezes 1 dá igual a 3. Isso vai dar, então, igual a 3. Depois, eu vou ter -4 vezes 1. 4 vezes 1 vai dar 4, com esse negativo aqui vai dar -4. Então, "3 - 4"; mais aquele 7 ali, então mais o 7. Quanto vai dar isso daqui, então? "3 - 4" dá menos -1. E "-1 + 7" dá quanto? Magicamente, dá igual ao nosso 6. Então, eu vou ter aqui "3 - 4" dá -1. "-1 + 7" vai dar igual a quanto? Vai dar igual, exatamente, àquele nosso resto; dá igual a 6. Exatamente como o teorema do resto polinomial previu para a gente. E aí, então, você verificou que funcionou, só que você pergunta assim: mas qual é a utilidade desse teorema de resto polinomial? Ora, se você tem uma questão aí que te pergunta qual é o resto da divisão desse polinômio por "x - 1", por exemplo, ele não está perguntando nada sobre o quociente, não está perguntando nada sobre nenhuma outra particularidade da conta, apenas sobre o resto, você nem precisa fazer a divisão. Você vai fazer o quê? Você vai pegar assim esse 1 (no caso, aqui, né?) e vai plugar naquele polinômio no lugar da variável (daquele valor variável "x" ali, no caso), você vai colocar o 1, e, aí, o resultado da "f(1)" vai ser exatamente o valor do resto. E aí, então, você nem precisa fazer essa conta toda que eu fiz aqui. É só jogar o valor lá, calcular, e pronto. Vai estar feito. Esse vai ser o valor do resto da conta. Então, por esse vídeo aqui é só. Até o próximo vídeo.