Problema de equação racional

RKA - A Domingas da Dominga's Pizza assa a mesma quantidade de pizza todo dia. Ela gastava R$8,00 por dia com o gás do forno e R$1,50 com os ingredientes para cada pizza. R$8,00 por dia com o gás e R$1,50 com ingredientes por pizza. Certa vez, o preço dos ingredientes aumentou de R$1,50 para R$2,00 por pizza. Domingas fez uns cálculos e descobriu que teria que assar mais 8 pizzas por dia para que os gastos por pizza continuassem os mesmos. Querem saber os gastos totais por pizza, porque o custo dos ingredientes não é o mesmo. É o total de ingredientes, então tem que incluir o preço do gás em todas as pizzas ou o custo total de gás por dia, tem que dividir isso pelo número de pizzas. Escreva uma equação para descobrir quantas pizzas Domingas assava por dia antes da mudança de preço. Use ''p'' para representar o número de pizzas. Vamos pensar no custo total por pizza antes e no custo total por pizza depois se ela assar mais 8 pizzas. Antes, vamos usar "p" para achar o número de pizzas que ela assava por dia antes da mudança de preço. Antes da mudança de preço, por dia, ela gastava R$8,00 com gás e R$1,50 com ingredientes em cada pizza (portanto, "1,5" vezes o número de pizzas). Esse seria o custo total de pizzas por dia (o custo do gás mais o custo dos ingredientes). Se quiser saber o custo por pizza, dividimos isso pelo número de pizzas. Agora, vamos pensar no que acontece depois da mudança de preço. Após a mudança, o custo por dia com o gás continua sendo R$8,00, mas, agora, ela tem que gastar R$2,00 por pizza com ingredientes (R$2,00 por pizza). Em vez de dizer que ela está assando "p" pizzas, agora, ela está assando mais 8 pizzas por dia, vai ser "p + 8". Esse vai ser o custo total para todas as pizzas. Se quiser saber o custo por pizza, ela está assando agora "p + 8", dividimos por "p + 8". E o problema diz que essas duas coisas são equivalentes, aqui tem um custo maior de ingredientes por pizza, mas, como assamos mais pizzas, estamos dividindo o custo do gás entre mais pizzas. Vamos pensar no valor de "p". "p" tem que ser um certo número de pizzas para que essas duas expressões sejam iguais. O custo total por pizza antes, quando ela só fazia "p", vai ser igual ao custo total por pizza quando ela fizer "p + 8" pizzas. Essas duas coisas têm que ser iguais. Fizemos o que nos pediram. Escrevemos uma equação para saber quantas pizzas Domingas assava por dia antes da mudança de preço. Usamos "p" para representar o número de pizzas. Mas, agora, vamos encontrar o valor de "p". Então, vamos simplificar um pouco as coisas. Esta parte aqui... vamos multiplicar dos dois lados, ou seja, vamos multiplicar os dois lados por "p + 8" e por "p". Se multiplicar por "p + 8" e por "p"... multiplicamos por "p + 8" e multiplicamos por "p"... isso e isso se anulam, isso e isso se anulam. Do lado esquerdo... vamos ver... temos que fazer a propriedade distributiva duas vezes aqui. Quanto dá "p‧(8 + 1,5p)"? Vai dar "8p" (estou multiplicando o "p" por isso primeiro) mais "1,5p²". Agora, vamos multiplicar o 8 por esses termos... mais 64 mais... mais 8 vezes "1,5" dá 12... mais "12p". Isso vai ser igual a... vamos multiplicar "p" por tudo isto. Isso vai ser igual a "8p" (8 vezes "p" dá "8p")... e posso distribuir esses termos, e depois multiplicar por "p". 2 vezes "p" é "2p"... vezes "p" é "2p²"... e 2 vezes 8 dá 16... vezes "p" é "16p". Agora, a gente fica com uma equação de segundo grau, mas vamos simplificar para fatorar ou aplicar a fórmula de Bhaskara. Vamos subtrair "1,5p²" dos dois lados. Subtraio "1,5p²" (vou colocar tudo do lado esquerdo, que é mais intuitivo). Vamos subtrair "2p²" dos dois lados. Vamos subtrair "16p" dos dois lados. Tem... "8p" e "12p", e depois vamos subtrair "16p" dos dois lados. Aliás, vamos subtrair "8p" também dos dois lados. Tem "16p" e "8p"; então, vai funcionar bem. Subtraímos "8p" e "16p" dos dois lados (subtraímos tudo isso dos dois lados) e ficamos com... vejamos... vou fazer na ordem. "1,5p² - 2p²" dá "-0,5p²". Esses se anulam. "12p - 16p" dá "-4p". E tem mais 64. E isso tudo é igual a zero. Para simplificar um pouco, a gente vai multiplicar os dois lados da equação por -2. Quero que o coeficiente aqui seja 1. Então, ficamos com "p² + 8p". "p² + 8p" vai ser igual a... vejamos... vezes -2... -128... vai ser igual a zero. Vamos tentar fatorar isso. Quais dois números cujo produto é -128 e, se somasse os dois, daria 8? E eles terão sinais diferentes aqui. Se tivesse 12 vezes... vamos pensar quais números poderiam ser. 128 é a mesma coisa que 16... 128 dividido por 16... deixa eu calcular... o 16 cabe quantas vezes em 128? 8 vezes? 8 vezes 6, 48. 8 vezes 10 dá 80... mais 48 dá 128... 8 vezes! 16 e 8 parecem funcionar. Se pegar 16 e -8, o produto deles seria -128. Dá para fatorar isso como "(p + 16)‧(p - 8) = 0". Isso vai ser igual a zero se pelo menos um desses for igual a zero. Então, tem duas soluções: ou "p + 16" vai ser igual a zero ou "p - 8" é igual a zero. Aqui, subtraindo 16 dos dois lados, ficamos com "p = -16". Ficamos com "p = 8" se somar 8 aos dois lados. Estamos falando num número de pizza assadas, então, isto não se aplica. Só se a Domingas comesse 16 pizzas ou se 16 pizzas fossem destruídas; essa solução não interessa. Se quiser a solução para a pergunta original, o número de pizzas que ela fazia antes do aumento: ela fazia 8 pizzas por dia. "p", aqui, precisa ser igual a 8. Antes do aumento ela fazia 8 pizza por dia. Depois do aumento, Domingas passou a fazer mais 8, ou 16 pizzas por dia.