Teorema de Pitágoras II

RKA - Prometi que passaria mais alguns problemas sobre o teorema de Pitágoras, então, vou te mostrar mais alguns problemas com ele. Mais uma vez, tudo isso aqui é questão de prática. Digamos que eu tenha um triângulo. Digamos que... bom, deixa eu desenhar um triângulo retângulo. Esse aqui ficou meio feio. Ah, deixa eu desenhar outro. Pronto, desenhei outro igualmente feio. E um dos lados que eu tenho é 7 e o outro lado vale 6. E quero saber quanto mede esse lado. Aprendemos na última apresentação qual desses lados é a hipotenusa. Aqui está o ângulo reto, portanto, o lado oposto ao ângulo reto é a hipotenusa. O que queremos fazer é, na verdade, encontrar o valor da hipotenusa. Sabemos que "6² + 7²" é igual à hipotenusa ao quadrado. No teorema de Pitágoras, usamos "c" para representar a hipotenusa; portanto, usaremos "c" aqui também. É igual a "c²" ("c" é o comprimento da hipotenusa). "36 + 49 = c²", "85 = c²" ou "c" é igual à raiz quadrada de 85. Essa é a parte na qual a maior parte das pessoas tem dificuldades, que é, justamente, simplificar o radical. A raiz quadrada de 85. Posso fatorar 85 para que seja um produto de um quadrado perfeito e outro número? 85 não é divisível por 4... não será divisível por 6... ou qualquer um dos múltiplos de 4... 5 cabe em 85 quantas vezes? Não, também, não é um quadrado perfeito. Não creio que 85 possa ser fatorado como um produto de um quadrado perfeito por outro número. Então, você pode me corrigir; talvez eu esteja errado. Esse poderá ser um bom exercício para você praticar depois; mas, até onde eu posso te dizer, creio que chegamos à nossa resposta, que é a raiz quadrada de 85. Se realmente quiséssemos estimar quanto isso é, vamos pensar sobre isso. A raiz quadrada de 81 é 9, a raiz quadrada de 100 é 10. Então, está em algum lugar entre 9 e 10; e está, provavelmente, um pouco mais perto de 9. Então, deve ser 9 vírgula alguns números quebrados. E, se parece ser uma indicação válida, vamos ver se faz sentido. Se esse lado é 6, esse lado é 7... 9 vírgula alguma coisa... esses números quebrados explicam esse comprimento extra. Deixa eu te mostrar outro problema. Suponha que esse lado vale 10, esse vale 3; quanto é esse lado? Antes, vamos identificar nossa hipotenusa. Temos nosso triângulo retângulo aqui; portanto, o lado oposto ao ângulo reto é a hipotenusa; também é o lado maior, que é igual a 10. Então, 10² é igual à soma dos quadrados dos dois outros lados. Esse é igual a 3²... vamos chamá-lo de "A" (escolha arbitrariamente)... mais "A²". Bom, esse é 100; é igual a "9 + A²" ou "A² = 100 - 9", "A² = 91", "A" é igual à raiz quadrada de 91. Não creio que possa ser simplificado ainda mais (3 não serve). Eu me pergunto: 91 é um número primo? Não sei direito; até onde eu sei, a gente terminou esse problema. Deixa eu te mostrar outro problema. Nesse, eu pretendo incluir outra etapa, uma etapa a mais, apenas para tentar te confundir, porque eu penso que já deve achar um pouco fácil isso aqui. Digamos que eu tenha um triângulo. De novo, estamos lidando com triângulos retângulos. Nunca tente utilizar o teorema de Pitágoras a menos que você saiba que está lidando com um triângulo retângulo. Porém, nesse exemplo, sabemos que esse é um triângulo retângulo. Se eu te dissesse que o comprimento desse lado é 5 e que esse ângulo é de 45 graus, será que podemos encontrar os outros dois lados desse triângulo? Bom, não podemos utilizar o teorema de Pitágoras diretamente porque o teorema de Pitágoras nos diz que, se tem um triângulo e conhecemos dois dos lados, podemos descobrir o valor do terceiro lado. Aqui temos um triângulo retângulo e apenas sabemos um dos lados, então, não podemos descobrir os outros dois ainda. Mas podemos utilizar essa informação extra aqui, esse valor de 45 graus, para encontrar o outro lado. E a gente poderia utilizar, então, o teorema de Pitágoras. Sabemos que a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180 graus. Espero que já saiba que os ângulos internos de um triângulo somam 180 graus. Se não sabe, deve ser falha minha porque ainda não ensinei essa parte. Mas vamos descobrir qual é o valor da soma dos ângulos internos desse triângulo. Bom, supondo que sabemos que somados valem 180 graus, utilizando essa informação, poderemos encontrar o valor desse ângulo porque sabemos que esse ângulo vale 90 e esse ângulo vale 45. Esse valendo 45, vamos chamar esse ângulo de "x". 45 mais 90 (isso simboliza um ângulo de 90 graus) mais "x" é igual a 180 graus. E isso se deve ao fato de que os ângulos internos num triângulo sempre somam 180 graus. Se formos encontrar "x", temos "135 + x = 180". Subtraia 135 dos dois lados, temos que "x" é igual a 45 graus. Interessante! "x" também é 45 graus. Portanto, temos um ângulo de 90 graus e dois ângulos de 45 graus. Agora, eu vou te mostrar outro teorema que não tem um nome. Na verdade, é o fato que, se tenho outro triângulo... eu vou desenhar outro triângulo aqui, onde dois dos ângulos-base são os mesmos (quando digo ângulo-base ou ângulo da base, quero dizer que esses dois ângulos têm o mesmo valor); vamos chamá-los de "a" (os dois valem "a"). Então, os lados que eles não são comuns aos ângulos... esses ângulos compartilham esse lado, certo? Porém, se olharmos os lados que não são comuns a eles, a gente sabe que esses lados são iguais; então, esse triângulo se chama isósceles. E um triângulo isósceles possui dois ângulos da base iguais e também dois lados iguais, pois, se dois ângulos da base são iguais, os lados que não são comuns a eles serão iguais também, e vice-versa. Mas cheguei até aqui sem saber qual o nome desse teorema. E, faz sentido, você nem precisa que te diga isso. Como posso desenhar esse ângulo... se eu tivesse que mudar um desses ângulos, o comprimento também mudaria. Ou outra forma de pensar sobre isso... a única forma... eu não quero te confundir muito, mas você pode visualizar que, se esses dois lados têm a mesma medida, então, esses dois ângulos têm a mesma medida. Se alterasse o comprimento de um desses lados, então os ângulos também mudariam ou os ângulos não seriam mais iguais. Mas eu vou deixar que pense sobre isso. Por enquanto, acredite na minha palavra que: se dois ângulos em um triângulo são equivalentes, então os lados que eles não compartilham também são equivalentes (têm o mesmo comprimento). Tente se lembrar que não é o lado que eles compartilham, porque esse lado não pode ser igual a nenhum outro; mas, sim, os lados que eles não compartilham são iguais (com o mesmo comprimento). Portanto, aqui temos um exemplo onde temos dois ângulos iguais, os dois têm 45 graus. Isso significa que os lados que eles não compartilham... esse é o lado que eles compartilham, certo? Os dois ângulos compartilham esse lado. Então, isso significa que os lados que não compartilham são iguais. Então, esse lado é igual a esse lado. Agora, penso que poderá estar passando por um momento "eu sabia!". Bom, esse lado é igual a esse lado, que eu lhe disse no começo do problema que esse lado é igual a 5. Assim, sabemos que esse lado é igual a 5. Agora, podemos utilizar o teorema de Pitágoras. Sabemos que essa é a hipotenusa, certo? Podemos dizer que "5² + 5²" é igual a... digamos "c²" (onde "c" é o comprimento da hipotenusa). "5² + 5²", que é igual a 50, é igual a "c²". E chegamos a "c" é igual à raiz quadrada de 50. 50 é 2 vezes 25, portanto, "c" é igual a 5 vezes raiz quadrada de 2. Interessante! Pode estar pensando que vimos muita informação agora. Se se sentir confuso, talvez seja interessante rever esse vídeo. Porém, no próximo vídeo, eu vou passar mais informações sobre esse tipo de triângulo que, na verdade, é um tipo bastante comum de triângulo. Você vai vê-lo na geometria e trigonometria, chamado triângulo 45-45-90. Ter esse nome faz sentido já que esse triângulo tem ângulos de 45 graus, 45 graus e outro de 90 graus. Vou te mostrar um modo rápido de usar essa informação relacionada a esse tipo de triângulo para encontrar os lados se conhece até mesmo apenas um dos lados. Espero que eu não tenha te confundido muito. Até a próxima!