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Curso: Matemática 2 > Unidade 11

Lição 3: Comprimento de arco (a partir de graus)

Desafios: comprimento de arco 2

Resolva dois problemas desafiadores que pedem que você calcule a medida de um arco por meio do comprimento do arco.

Problema 1

Na figura abaixo, o raio do círculo

P

10

unidades. O comprimento do arco de

\overset{⌢}{A B C}

16 π

Qual é a medida do arco de $\overset{⌢}{A C}$ ‍, em graus?

Estamos tentando descobrir a medida do arco do arco que começa no ponto

A

e termina no ponto

C

Precisamos saber qual é a circunferência total para determinar a medida do arco de

\overset{⌢}{A B C}

$\begin{aligned} Circunferência & = 2 π r \\ = 2 π (10) \\ = 20 π \end{aligned}$ ‍

Sabemos qual é o comprimento de

\overset{⌢}{A B C}

, então definimos uma proporção para descobrir a medida de seu arco.

$\begin{aligned} \frac{comprimento do arco}{circunferência} & = \frac{medida do arco}{graus em um círculo} \\ \frac{16 π}{20 π} & = \frac{medida do arco}{360^{\circ}} \\ medida do arco & = 360^{\circ} \cdot \frac{16 π}{20 π} \\ = 288^{\circ} \end{aligned}$ ‍

A medida do arco de

\overset{⌢}{A B C}

288^{\circ}

Se combinarmos o maior arco

\overset{⌢}{A B C}

e o menor arco

\overset{⌢}{A C}

, teremos o círculo inteiro.

$\begin{array}{r} 288^{\circ} + m \overset{⌢}{A C} = 360^{\circ} \\ m \overset{⌢}{A C} = 72^{\circ} \end{array}$ ‍

A medida de $\overset{⌢}{A C}$ ‍ é $72^{\circ}$ ‍.

Problema 2

Na figura abaixo, o raio do círculo

P

mede

18

unidades. O comprimento do arco de

\overset{⌢}{B A}

14 π

Qual é a medida do arco de $\overset{⌢}{B C}$ ‍, em graus?

^{\circ}

Estamos tentando descobrir a medida do arco do arco que começa no ponto

B

e termina no ponto

C

Vamos calcular a circunferência total primeiro, depois resolver proporcionalmente para encontrar a medida do arco, com base no comprimento do arco.

$\begin{aligned} Circunferência & = 2 π r \\ = 2 π (18) \\ = 36 π \end{aligned}$ ‍

Sabemos qual é o comprimento de

\overset{⌢}{B A}

, então podemos definir uma proporção para descobrir a medida de seu arco.

$\begin{aligned} \frac{comprimento do arco}{circunferência} & = \frac{medida do arco}{graus em um círculo} \\ \frac{14 π}{36 π} & = \frac{medida do arco}{360^{\circ}} \\ medida do arco & = \frac{14 π}{36 π} \cdot 360^{\circ} \\ = 140^{\circ} \end{aligned}$ ‍

A soma das medidas de

\overset{⌢}{B C}

\overset{⌢}{C A}

resulta na medida de

\overset{⌢}{B A}

$m \overset{⌢}{B C} + 76^{\circ} = 140^{\circ}$ ‍

A medida do arco de $\overset{⌢}{B C}$ ‍ é $64^{\circ}$ ‍.

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