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Curso: Matemática 2 > Unidade 11

Lição 8: Resolução de problemas com formas inscritas

Desafios: formas inscritas

Resolva três problemas desafiadores que aplicam propriedades de formas inscritas para calcular o comprimento de um arco ou a medida de um ângulo que está faltando.

Problema 1

Na figura abaixo, o comprimento de

\overset{―}{P B}

15

unidades.

Qual é o comprimento exato de $\overset{⌢}{A B}$ ‍ no círculo $P$ ‍?

Estamos tentando descobrir o comprimento da parte da circunferência do círculo

P

que começa no ponto

A

e termina no ponto

B

Vamos calcular a circunferência total primeiro, e então resolver proporcionalmente para encontrar o comprimento do arco com base nos graus da medida do arco.

Sabemos que o círculo

P

tem um raio de

15

unidades, pois

\overset{―}{P B}

é um raio.

$\begin{aligned} Circunferência & = 2 π r \\ = 2 π (15) \\ = 30 π \end{aligned}$ ‍

Os lados

\overset{―}{A P}

\overset{―}{P B}

do triângulo são congruentes, pois são os raios do mesmo círculo.

Então,

△ A P B

é isósceles, e os ângulos opostos nos lados congruentes são congruentes entre si.

A soma dos ângulos internos de um triângulo deve ser igual a

180^{\circ}

$\begin{aligned} m ∠ A P B + 38^{\circ} + 38^{\circ} & = 180^{\circ} \\ m ∠ A P B & = 104^{\circ} \end{aligned}$ ‍

A medida de um arco é igual à medida do ângulo central que o cruza. Sendo assim, a medida de

\overset{⌢}{A B}

104^{\circ}

Por fim, podemos definir uma proporção para encontrar a parte da circunferência cruzada por esse ângulo.

$\begin{aligned} \frac{comprimento do arco}{circunferência} & = \frac{medida do arco}{graus em um círculo} \\ \frac{comprimento do arco}{30 π} & = \frac{104^{\circ}}{360^{\circ}} \\ comprimento do arco & = \frac{104^{\circ}}{360^{\circ}} \cdot 30 π \\ = \frac{26}{3} π \end{aligned}$ ‍

O comprimento de $\overset{⌢}{A B}$ ‍ é $\frac{26}{3} π$ ‍.

Problema 2

Na figura abaixo, o quadrilátero

A B C D

está inscrito no círculo

P

. O raio do círculo

P

5

unidades.

Qual é o comprimento de $\overset{⌢}{B C D}$ ‍?
Dê uma resposta exata em função de $π$ ‍ ou use $3, 14$ ‍ para $π$ ‍ e insira sua resposta na forma decimal.

Estamos tentando descobrir o comprimento da parte da circunferência do círculo

P

que começa no ponto

B

, passa pelo ponto

C

e termina no ponto

D

Vamos calcular a circunferência completa primeiro, depois resolver proporcionalmente para encontrar o comprimento do arco, com base nos radianos na medida do arco.

$\begin{aligned} Circunferência & = 2 π r \\ = 2 π (5) \\ = 10 π \end{aligned}$ ‍

Os ângulos opostos de QUALQUER quadrilátero inscrito são complementares.

Então, a soma de suas medidas resulta em

π

$\begin{aligned} m ∠ B A D + \frac{9}{20} π & = π \\ m ∠ B A D & = \frac{11}{20} π \end{aligned}$ ‍

A medida de um ângulo inscrito é metade da medida do arco que ele cruza. Se

m ∠ B A D = \frac{11}{20} π

radianos, então

m \overset{⌢}{B C D} = \frac{11}{10} π

radianos.

Por fim, podemos definir uma proporção para encontrar a parte da circunferência cruzada por esse ângulo.

$\begin{aligned} \frac{comprimento do arco}{circunferência} & = \frac{medida do arco}{radianos em um círculo} \\ \frac{comprimento do arco}{10 π} & = \frac{(\frac{11}{10} π)}{2 π} \\ comprimento do arco & = \frac{11 π}{10} \cdot \frac{10 π}{2 π} \\ = \frac{11}{2} π \end{aligned}$ ‍

O comprimento de $\overset{⌢}{B C D}$ ‍ é $\frac{11}{2} π$ ‍.

Problema 3

Na figura abaixo, os ângulos

∠ C B D

∠ B C A

estão inscritos no círculo

P

. O raio do círculo

P

5

unidades. O comprimento do arco de

\overset{⌢}{B A}

π

, e o comprimento do arco de

\overset{⌢}{C D}

3 π

Qual é a medida exata de $∠ A E D$ ‍, em radianos?
Dê uma resposta exata em função de $π$ ‍ ou use $3, 14$ ‍ para $π$ ‍ e insira sua resposta na forma decimal, arredondada para duas casas decimais.

radianos

Precisamos saber qual é a circunferência total para determinar as medidas do arco de

\overset{⌢}{B A}

\overset{⌢}{C D}

$\begin{aligned} Circunferência & = 2 π r \\ = 2 π (5) \\ = 10 π \end{aligned}$ ‍

Sabemos qual é o comprimento de

\overset{⌢}{B A}

, então podemos definir uma proporção para descobrir a medida de seu arco.

$\begin{aligned} \frac{comprimento do arco}{circunferência} & = \frac{medida do arco}{radianos em um círculo} \\ \frac{π}{10 π} & = \frac{medida do arco}{2 π} \\ medida do arco & = 2 π \cdot \frac{π}{10 π} \\ = \frac{1}{5} π \end{aligned}$ ‍

A medida do arco de

\overset{⌢}{B A}

\frac{1}{5} π

Com o mesmo raciocínio, conseguimos determinar que a medida do arco de

\overset{⌢}{C D}

\frac{3}{5} π

A medida de um ângulo inscrito é metade da medida do arco que ele cruza. Se

m \overset{⌢}{B A} = \frac{1}{5} π

, então

m ∠ B C A = \frac{1}{10} π

De maneira semelhante, se

m \overset{⌢}{C D} = \frac{3}{5} π

, então

m ∠ C B D = \frac{3}{10} π

A soma dos ângulos internos de

△ B C E

deve ser igual a

π

radianos.

$\begin{aligned} 0, 3 π + 0, 1 π + m ∠ B E C & = π \\ m ∠ B E C & = 0, 6 π \end{aligned}$ ‍

As medidas de

∠ B E C

∠ A E D

são congruentes porque eles são ângulos verticais.

A medida de $∠ A E D$ ‍ é $\frac{3}{5} π$ ‍.

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Paulo Vinicius Moreira da Costa Menezes
Publicado há há 4 anos. Link direto para a postagem “Boa noite! Tenho a impres...” de Paulo Vinicius Moreira da Costa Menezes
Boa noite! Tenho a impressão de que a lição aprendida neste artigo de que "os ângulos opostos de QUALQUER quadrilátero inscrito são complementares, isto é, a soma de suas medidas resulta em π\piπpi" não foi abordada anteriormente em video.
Muito bom saber!
Isto quer dizer então que a soma dos angulos opostos de quadrilateros inscritos são equivalentes à 180 graus?! Esta afirmação é valida para todos os quadriláteros? Me confirmem por gentileza. Muito obrigado!
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