Arcos, razões e radianos

Setores e círculos dilatados

Raciocínio sobre razões

Afirmações

1. O círculo 2 é uma dilatação do círculo 1.

   Como sabemos?

   Todos os círculos são semelhantes! Com uma única dilatação podemos:

   • Transformar o centro de um círculo no outro.
   • Fazer a escala da distância entre os pontos no círculo e o centro segundo um fator de ${\displaystyle \frac{r_2}{r_1}}$‍.
2. Se o fator de escala do círculo 1 ao círculo 2 é $k$‍, então $r_2=k{r}_1$‍.

   Como sabemos?

   As dilatações alteram todos os comprimentos, incluindo comprimentos de raios, segundo o fator de escala.
3. O comprimento de arco no círculo 1 é ${\ell }_1={\displaystyle \frac{\theta }{360\mathrm{°}}}\cdot 2\pi r_1$‍.

   Como sabemos?

   A circunferência inteira do círculo 1 tem um comprimento de $2\pi r_1$‍.

   Todos os graus do arco passam por ${\displaystyle \frac{1}{360}}$‍ do total da circunferência. O arco mede $\theta \mathrm{°}$‍.

   Então, o comprimento do arco é ${\displaystyle \frac{\theta }{360\mathrm{°}}}\cdot 2\pi r_1$‍.
4. Pelo mesmo raciocínio, o comprimento do arco no círculo 2 é ${\ell }_2={\displaystyle \frac{\theta }{360\mathrm{°}}}\cdot 2\pi r_2$‍.
5. Por substituição, podemos escrever isso como ${\ell }_2={\displaystyle \frac{\theta }{360\mathrm{°}}}\cdot 2\pi k{r}_1$‍.
6. Portanto, ${\ell }_2=k{\ell }_1$‍.

   Como sabemos?

   Já encontramos uma expressão para o comprimento do arco ${\ell }_1$‍. Vamos usar a propriedade comutativa da multiplicação para que isso fique mais claro.

   $\begin{array}{rl}{\ell }_2& ={\displaystyle \frac{\theta }{360\mathrm{°}}}\cdot 2\pi k{r}_1\\ \\ & =k\cdot {\displaystyle \frac{\theta }{360\mathrm{°}}}\cdot 2\pi r_1& \text{Propriedade comutativa}\\ \\ & =k{\ell }_1& \text{Substituição}\end{array}$‍

   O que essa equação significa em palavras?

   A medida de arco ${\ell }_2$‍ é $k$‍ vezes maior que a medida de arco ${\ell }_1$‍.

   Embora ${\ell }_1$‍ e ${\ell }_2$‍ sejam medidas de curvas, elas variam segundo o mesmo fator de escala com que variam os segmentos retos, como o raio!
7. Portanto, ${\displaystyle \frac{{\ell }_1}{r_1}}={\displaystyle \frac{{\ell }_2}{r_2}}$‍.

   Como sabemos?

   Multiplicar por ${\displaystyle \frac{k}{k}}$‍ é equivalente a multiplicar por $1$‍, portanto isso não altera o valor da expressão.

   $\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{{\ell }_1}{r_1}}& =1\cdot {\displaystyle \frac{{\ell }_1}{r_1}}\\ \\ & ={\displaystyle \frac{k}{k}}\cdot {\displaystyle \frac{{\ell }_1}{r_1}}\\ \\ & ={\displaystyle \frac{k{\ell }_1}{k{r}_1}}\\ \\ & ={\displaystyle \frac{{\ell }_2}{r_2}}\end{array}$‍

Conclusão

Uma nova razão e uma nova forma de medir ângulos

Mais formas de descrever radianos

Por que usar radianos em vez de graus?