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Matemática 2
Curso: Matemática 2 > Unidade 12
Lição 5: Foco e diretriz de uma parábola- Introdução ao foco e à diretriz
- Equação de uma parábola a partir do foco e da diretriz
- Equação de uma parábola a partir do foco e da diretriz
- Foco e diretriz de uma parábola a partir da equação
- Revisão do foco e diretriz da parábola
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Revisão do foco e diretriz da parábola
Revise seus conhecimentos sobre o foco e a diretriz das parábolas.
O que são o foco e a diretriz de uma parábola?
Parábolas são normalmente conhecidas como gráficos de funções do segundo grau. Elas também podem ser vistas como o conjunto de todos os pontos cuja distância de um certo ponto (o foco) é igual à sua distância de uma determinada reta (a diretriz).
Quer saber mais sobre foco e diretriz de uma parábola? Confira este vídeo.
Equação da parábola a partir do foco e da diretriz
Dado o foco e a diretriz de uma parábola, podemos encontrar a equação da parábola. Considere, por exemplo, a parábola cujo foco está em left parenthesis, minus, 2, comma, 5, right parenthesis e a diretriz é y, equals, 3. Começamos definindo um ponto geral na parábola left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis.
Usando a fórmula da distância, descobrimos que a distância entre left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis e o foco left parenthesis, minus, 2, comma, 5, right parenthesis é square root of, left parenthesis, x, plus, 2, right parenthesis, squared, plus, left parenthesis, y, minus, 5, right parenthesis, squared, end square root, e que a distância entre left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis e a diretriz y, equals, 3 é square root of, left parenthesis, y, minus, 3, right parenthesis, squared, end square root. Na parábola, essas distâncias são iguais a:
Quer saber mais sobre como encontrar a equação da parábola a partir do foco e da diretriz? Confira este vídeo.
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não entendi pq a distância entre o ponto geral e a diretriz da raiz de (y-3)^2 :((1 voto)
Isso acontece pq o ponto geral é sempre perpendicular à diretriz, então a distância no eixo entre a diretriz e qualquer ponto da parábola é 0, tendo variação somente no eixo Y.
nesse caso então:
(y-3)^2 + 0^2 = (x+2)^2 + (y-5)^2(1 voto)
Mostre que, para que a reta ax + by + c = 0 seja tangente à parábola y = k², devemos ter 4ac = kb²(1 voto)
Tem alguma coisa de errado com sua proposta, ao que parece. k é uma constante. Pois deve-se ter 4ac = kb², logo k = 4ac/b². Mas a, b e c são coeficientes da reta. Ou seja, são constantes. Portanto k é constante e y = k² não pode ser uma parábola. Isso é uma reta horizontal em y = k'. Se alguém souber reformular isso e deixar aqui como resposta fico grato. O problema parece interessante.(1 voto)
- Sobre a parábola: x² + 2x + 4 = y(0 votos)
- Dada a equação da parabola 4y²-16y+8=x. determine o vertice, o foco e a diretriz. Por favor me ajudem nesse exercicio. Obrigado(0 votos)
- Bom, para resolver esse tipo de questão você precisa saber uma outra equação que usa somente o vértice da parábola e um certo P que chamaremos de parâmetro.
Quando a equação determina x, significa que sua diretriz é vertical. Note que sua equação determina x. Já concluímos que estamos no caso de uma diretriz vertical. Por meio de completamento de quadrado, você deve ser capaz de reescrever a sua equação dada como algo do tipo,
(y - y0)² = 4P(x - x0), onde V = (x0, y0).
Esse P nos diz pra que lado a concavidade ficará em relação a diretriz. Sentido convencional, se negativo, pra esquerda, se positivo pra direita. O mesmo caso diretriz horizontal, se positivo então a concavidade será pra cima. Se negativo, será para baixo.(Importante para esboço gráfico)
Vamos fazer o completamento de quadrado em
4y² - 16y + 8 = x e tentar fazer aparecer a equação mensionada. "(y - y0)² = 4P(x - x0)"
4y² - 16y + 8 = x é o mesmo que,
4(y² - 4y + 2) = x. Para tornar o lado esquerdo um quadrado perfeito, lembre-se do quadrado da diferença.
4(y²-4y+2+2)-[2*4] = x. Repare que somei 2 internamente do parêntese, houve uma multiplicação por 4, logo o que somei foi 2*4 e por isso subtrai esse valor fora do parêntese. Nada mudou. Seguindo e desenvolvendo isso,
4(y²-4y+2+2)-[2*4] = x <=> 4(y-4)²-8 = x.
O quadrado perfeito fica isolado na equação que queremos chegar, então,
4(y-4)²-8 = x <=> (y-4)² = (x+8)/4
Vou explicitar o vértice para facilitar sua vizualização,
(y-4)² = (x-(-8))/4, v=(-8, 4). Atenção na variável que acompanha x0 e y0, ela que da a dica de quem é quem.
Com o vértice em mãos, quem é o foco? O foco, para esse caso(d vertical), será o próprio vérice acrescido sua componente x de P. Pois esse P é definido como a distância do vértice até a diretriz(Quase isso) logo se subtrair P ao invés de somar, terá a um ponto que passa na diretriz que só depende de x e que é uma reta constante, ou seja, é a própria diretriz.
O que foi dito;
Caso parabola "deitada", diretriz vertical,
d: x = Xv - P; onde Xv é o x do vértice.
F = (Xv + P, Yv).
Caso parabola "em pé", diretriz horizontal,
d: y = Yv - P; onde Yv é o y do vértice.
F = (Xv, Yv + P).
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Como encontrar P?
Tendo feito o completamento de quadrado, e isolado o quadrado perfeito, tanto pra horizontal quanto vertical, o procedimento é o mesmo. Basta igualar a constante que acompanha a parte sem o quadrado com o 4P. Você pode sempre se orientar pela equação referente ao caso em que está.
De volta ao caso particular, chegamos em (y-4)² = (x+8)/4.
A parte sem quadrado acompanha a constante 1/4. Logos 4P = 1/4, disso, P = 1/16.
Agora retornando para as definições que usam esse P. Sabendo que v=(-8, 4) e P = 1/16
Parabola "deitada", diretriz vertical,
d: x = Xv - P => d:x =-8 -(1/16):. d: x=-129/16
F = (Xv + P, Yv) => F = (-8+(1/16), 2):. F=(-127/16, 2).
De forma totalmente análoga você calcula no caso em que a parábola está "em pé" forçando o aparecimento da equação,
(x-x0)² = 4P(y - y0).
É uma boa você usar o Geogebra ou o Desmos para acompanhar se os elementos que você determinou estão batendo com a equação dada. Vale também para verificar se a sua manipulação da equação foi bem sucedida, ambas as curvas devem coincidir, pois são a mesma. Espero ter ajudado.(1 voto)
- determine a equação geral da parabola cuja diretriz e a reta y=0 e cujo foco e o ponto f(2, 2)(0 votos)
- determine a equação geral da parabola cuja diretriz e a reta y=0 e cujo foco e o ponto f(2, 2)(0 votos)
- . Reduzir cada uma das equações de forma a identificar a cônica que ela representa :
x^2 + y = 0(0 votos)- x² + y = 0 <=> y = -x².
Lembra da função y = x²? Quando o coeficiente líder de uma função quadrática é negativo, ela fica com a concavidade para baixo. Isso é justamente a x² só que espelhada no eixo x, ou seja, fica uma parábola virada pra baixo. As parábolas também são cônicas. Uma cônica é qualquer secção de um plano em uma espécie de cone pra cima e pra baixo.(Parece uma ampulheta, eu chamo de cone reverso). Elipses, círculos, parábolas, hipérboles e até uma curva estranha de retas concorrentes. Da pra pegar essa curva estranha passando um plano bem no meio do "cone reverso", perpendicularmente pegando o seu vértice. Essas retas acabam sendo as diretrizes da hipérbole. Tipo um contorno desse cone infinito se visto em 2D pela lateral.(1 voto)