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Prova: a soma e o produto de dois números racionais são números racionais

Transcrição de vídeo

RKA - Nesse vídeo, quero pensar se o produto da soma de números racionais com certeza vai ser racional. Então, vamos primeiro pensar sobre o produto dos números racionais. Se eu tiver um número racional... e, na verdade, ao invés de escrever a palavra racional, vou representar como uma proporção de dois inteiros. Tem um número racional aqui e posso representar como "a/b" e vou multiplicar isso vezes outro número racional, e ainda posso representar como uma razão de dois inteiros "m" e "n". Quanto vai ser esse produto? No numerador, vou ter "am" (terei "a" vezes "m"). E, no denominador, terei "b" vezes "n". "a" é um inteiro. "m" é um inteiro; você tem um inteiro no numerador. E "b" é um inteiro e "n" é um inteiro; você tem um inteiro no denominador. Agora, o produto é uma razão de dois inteiros. Então, o produto também é racional. Isso tudo também é racional. Se me der o produto de quaisquer dois números racionais, você irá terminar com um número racional. Vamos ver se a mesma coisa é verdade para a soma de dois números racionais. Digamos que meu primeiro número racional é "a/b" (ou pode ser representado como "a/b"). E meu segundo número racional pode ser representado como "m/n". Como eu somaria esses dois? Posso encontrar um denominador comum, e o mais fácil é "b‧(n)". Vou multiplicar essa fração. Multiplicamos isso vezes "n" no numerador e "n" no denominador. E vou multiplicar esse aqui vezes "b" no numerador e "b" no denominador. Agora, a gente escreve de forma que tem um denominador comum de "bn". E vai ser igual a "an + bm"... tudo sobre "b‧(n)". Já conversamos sobre isso. Com certeza, vai ser um inteiro. E o que tem aqui? Tem "a‧(n)", que é um inteiro. "b‧(m)" é outro inteiro. A soma de dois inteiros será um inteiro. Você tem um inteiro sobre um inteiro e tem a razão de dois inteiros. Então, a soma de dois números racionais vai dar outro. Esse aqui era racional, e esse que está aqui é racional. Dessa forma, você pega o produto de dois números racionais e obtém um número racional. E pega a soma de dois números racionais e obtém um número racional.