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Matemática 2
Curso: Matemática 2 > Unidade 2
Lição 7: Fatoração de expressões do segundo grau com diferença de dois quadrados- Introdução à diferença de dois quadrados
- Fatoração de expressões do segundo grau: diferença de dois quadrados
- Introdução à diferença de dois quadrados
- Fatoração da diferença de dois quadrados: coeficiente principal ≠ 1
- Fatoração da diferença de dois quadrados: análise da fatoração
- Fatoração da diferença de dois quadrados: fatores compartilhados
- Diferença de dois quadrados
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Introdução à diferença de dois quadrados
Quando uma expressão pode ser vista como a diferença de dois quadrados perfeitos, isto é, a²-b², significa que podemos fatorá-la como (a+b)(a-b). Por exemplo, x²-25 pode ser fatorada como (x+5)(x-5). Este método é baseado no padrão (a+b)(a-b)=a²-b², que pode ser verificado ao expandirmos os parênteses em (a+b)(a-b).
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É necessário memorizar essa tal: "diferença de quadrados"? Sei que na math existem os algoritmos que simplificam a vida do caboclo, mas tenho medo de memorizar e esquecer isso depois de muito tempo, mesmo tendo dedicado horas a memorizar.
O que você me dizem pessoal?(1 voto)- Sinceramente considero que seja bem importante, mas também estou começando nestes estudos :b(1 voto)
Transcrição de vídeo
RKA - Nós vamos agora explorar um tipo especial
de fatoração chamado diferença de quadrados. Esse nome se dá porque as suas expressões se parecem um pouco com isto aqui, que é, exatamente, o mesmo que x² menos 3². Veja que esta expressão representa
a diferença, isto é, a subtração entre duas quantidades
que estão elevadas ao quadrado. Antes de mostrar como isso funciona, vamos lembrar um pouco sobre a multiplicação de binômios. Vamos multiplicar (x + a) por (x - a), sendo "a" um número qualquer. Geralmente, resolvemos isso
pelo método que chamamos de distributiva, em que pegamos um lado desta fatoração e multiplicamos pelos elementos
individuais do outro lado. Então, a partir desta distributiva, nós teremos que "x" vezes "x" dá x², "x" vezes +a dá ax, menos "a" vezes "x" dá -ax,
menos "a" vezes "a" dá -a². Ainda desta expressão, temos que
estes dois fatores irão se anular, sobrando x² menos a², que é
uma diferença de quadrados. Temos um resultado interessante,
onde vemos que x² menos a² é igual a "x" mais "a" vezes "x" menos "a", que é a mesma expressão inicial. E nós podemos usar esse padrão para qualquer "a", inclusive para fatorar esta
expressão à esquerda: o "a" é 3, então, fatorando através do nosso padrão, nós
temos que x² menos 9 é igual a "x" mais o "a" vezes "x" menos o "a". Como no
nosso caso, o "a" é 3, vamos substituir e teremos: x² menos 9
é igual a "x" mais 3 vezes "x" menos 3. Vamos para um exemplo com outros números. Suponha y² menos 25. Veja que temos um "y", e não um "x", mas é uma incógnita da mesma forma, e vamos aplicar o nosso padrão da mesma forma também. Então, aplicando o nosso padrão,
teremos que y² menos 25 é igual a "y" mais alguma coisa, vezes "y" menos alguma coisa. Esse 'alguma coisa' seria o "a" do exemplo acima. Veja que o "a" é uma expressão que
está ao quadrado de um lado da igualdade, e ela estará em sua forma não ao quadrado do outro lado da igualdade, dentro dos parênteses. Aqui, o ao quadrado é 25. Temos de pensar qual número ao quadrado é 25, e chegamos a 5. Logo, teremos que y² menos 25, sendo que 25 é 5², é igual a "y" mais 5, vezes "y" menos 5. Outro exemplo: você pode escrever
121 menos b², que dá no mesmo, porque 121 é a mesma coisa que 11², de modo que teremos 121 menos b² igual a 11 mais "b", vezes 11 menos "b". De modo geral, temos um elemento ao quadrado sendo subtraído de outro elemento ao quadrado, sendo
que esses elementos podem ser definidos como: 1, 4, 9, 16 e assim por diante; podem
ser indefinidos, como "a", "b", "c", "d", ou podem ser variáveis, tais como "x", "y", "z". O importante é que haja uma subtração entre dois elementos elevados ao quadrado. Agora, um erro comum que
eu vejo as pessoas cometerem, inclusive eu quando estava aprendendo
isso, é que após reconhecer uma diferença de quadrados, como y²
menos 25, iguala esta expressão a "y" mais 25 vezes "y" menos 25;
está incorreto. É importante prestar atenção no que está ao quadrado e no que não está. Note que, neste caso, o "y" está ao quadrado, mas o 25 é 5², logo, o número que deve
ser fatorado não é o 25, e sim o 5. Portanto, fiquem atentos para não cometer esse erro. Encorajo você a tentar praticar isso. Há uma seção de prática no site da Khan Academy
onde você pode praticar muitos exemplos até tudo isso se tornar familiar.