Deve dar o mesmo resultado se for resolvido usando a fórmula de bhaskara? Porque o meu está dando resultados com sinais trocados... Ex: x²-8x-9 Δ=(-8)²-4.1(-9) Δ= 64+36 Δ=100 x=-(-8)+-√100 ----------------- ********2******** x¹= 9 x²= -1 Não deveria dar (-9, 1) como da usando esse outro método? Ou foi erro meu? Desde já, grata!

A conta está certa, mas a equação não terá raízes reais, pois não existe raiz quadrada de número negativo(-1).

Constelações podem sumir por completo?Ou isso levaria milhões de anos?

Podem sumir, mas levaria mais tempo que apenas milhões de anos... Para a vida de uma estrela de quarta ou maior geração, milhões de anos é nada :)

por que quando olhamos de longe a lua fica maior

Talvez porque você nunca á viu de perto.

(x+5)(x+4) é diferente de (x+4)(x+5)??

Não, essa é uma das propriedades da multiplicação. Comutativa.

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Matemática 2

Curso: Matemática 2 > Unidade 2

Lição 5: Introdução à fatoração de expressões do segundo grau

Fatoração de equações do segundo grau: coeficiente principal = 1

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Aprenda a fatorar expressões do segundo grau como o produto de dois binômios lineares. Por exemplo, x²+5x+6=(x+2)(x+3).

Com o que você deve estar familiarizado antes dessa lição

Fatorar um polinômio envolve escrevê-lo como o produto de dois ou mais polinômios. Isso inverte o processo de multiplicar polinômios. Para saber mais, confira nosso artigo anterior sobre como colocar fatores comuns em evidência.

O que você vai aprender nessa lição

Nesta lição, você aprenderá como fatorar um polinômio na forma

x^{2} + b x + c

como um produto de dois binômios.

Revisão: multiplicação de binômios

Vamos considerar a expressão

(x + 2) (x + 4)

Podemos encontrar o produto aplicando a propriedade distributiva várias vezes.

\begin{aligned} (x + 2) (x + 4) & = (x + 2) (x) + (x + 2) (4) \\ = x^{2} + 2 x + 4 x + 8 \\ = x^{2} + 6 x + 8 \end{aligned}

[Aqui está outra explicação de como multiplicar os dois binômios.]

Então, temos que

(x + 2) (x + 4) = x^{2} + 6 x + 8

A partir disso, vemos que

x + 2

x + 4

são fatores de

x^{2} + 6 x + 8

, mas como podemos encontrar estes fatores se não começamos com eles?

Fatoração de trinômios

Nós podemos reverter o processo de multiplicação de binômios mostrado acima para fatorar um trinômio (que é um polinômio com

3

termos ).

Em outras palavras, se começarmos com o polinômio

x^{2} + 6 x + 8

, podemos usar a fatoração para escrevê-lo como um produto de dois binômios,

(x + 2) (x + 4)

Vamos dar uma olhada em alguns exemplos para ver como isso é feito.

Exemplo 1: fatoração de $x^{2} + 5 x + 6$ ‍

Para fatorar

x^{2} + 5 x + 6

, precisamos primeiro encontrar dois números cujo produto seja

6

(a constante) e cuja soma seja

5

(o coeficiente de

x

Esses dois números são

2

3

, uma vez que

2 \cdot 3 = 6

2 + 3 = 5

[Como encontramos esses valores?]

Podemos então somar cada um destes números a

x

para formar os dois fatores binomiais:

(x + 2)

(x + 3)

Concluindo, fatoramos o trinômio assim:

$x^{2} + 5 x + 6 = (x + 2) (x + 3)$ ‍

Para verificar a fatoração, basta multiplicar os dois binômios:

$\begin{aligned} (x + 2) (x + 3) & = (x + 2) (x) + (x + 2) (3) \\ = x^{2} + 2 x + 3 x + 6 \\ = x^{2} + 5 x + 6 \end{aligned}$ ‍

O produto de

x + 2

x + 3

é de fato

x^{2} + 5 x + 6

. Nossa fatoração está correta!

Teste seu conhecimento

1) Fatore $x^{2} + 7 x + 10$ ‍.

[Preciso de ajuda!]

1) Fatore $x^{2} + 9 x + 20$ ‍.

[Preciso de ajuda!]

Vamos dar uma olhada em mais alguns exemplos e ver o que podemos aprender com eles.

Exemplo 2: fatoração de $x^{2} - 5 x + 6$ ‍

Para fatorar

x^{2} - 5 x + 6

, vamos primeiro encontrar dois números cujo produto seja

6

e a soma seja

- 5

Esses dois números são

- 2

- 3

, uma vez que

(- 2) \cdot (- 3) = 6

(- 2) + (- 3) = - 5

[Como encontramos esses valores?]

Podemos então somar cada um destes números a

x

para formar os dois fatores binomiais:

(x + (- 2))

(x + (- 3))

A fatoração é dada abaixo:

$\begin{aligned} x^{2} - 5 x + 6 & = (x + (- 2)) (x + (- 3)) \\ = (x - 2) (x - 3) \end{aligned}$ ‍

[Gostaria de verificar, por favor!]

Padrão de fatoração: Observe que os números necessários para fatorar

x^{2} - 5 x + 6

são ambos negativos

(- 2

- 3)

. Isso ocorre porque seu produto deverá ser positivo

(6)

e sua soma, negativa

(- 5)

Em geral, quando fatoramos

x^{2} + b x + c

, se

c

for positivo e

b

for negativo, então os dois fatores serão negativos!

Exemplo 3: fatoração de $x^{2} - x - 6$ ‍

Podemos escrever

x^{2} - x - 6

como

x^{2} - 1 x - 6

Para fatorar

x^{2} - 1 x - 6

, vamos primeiro encontrar dois números cujo produto seja

- 6

e a soma seja

- 1

Esses dois números são

2

- 3

, uma vez que

(2) \cdot (- 3) = - 6

2 + (- 3) = - 1

[Como encontramos esses valores?]

Podemos então somar cada um destes números a

x

para formar os dois fatores binomiais:

(x + 2)

(x + (- 3))

A fatoração é dada abaixo:

$\begin{aligned} x^{2} - x - 6 & = (x + 2) (x + (- 3)) \\ = (x + 2) (x - 3) \end{aligned}$ ‍

[Gostaria de verificar, por favor!]

Padrões de fatoração: Observe que para fatorar

x^{2} - x - 6

, nós precisamos de um número positivo

(2)

e um número negativo

(- 3)

. Isso porque o produto deles deve ser negativo

(- 6)

Em geral, ao fatorar

x^{2} + b x + c

, se

c

é negativo, então um fator será positivo e um fator será negativo.

Resumo

Em geral, para fatorar um trinômio na forma

x^{2} + b x + c

, precisamos encontrar os fatores de

c

cuja soma seja

b

Suponhamos que esses dois números sejam

m

n

, sendo que

c = m n

b = m + n

, então

x^{2} + b x + c = (x + m) (x + n)

Teste seu conhecimento

3) Fatore $x^{2} - 8 x - 9$ ‍.

[Preciso de ajuda!]

4) Fatore $x^{2} - 10 x + 24$ ‍.

[Preciso de ajuda!]

5) Fatore $x^{2} + 7 x - 30$ ‍.

[Preciso de ajuda!]

Por que isso dá certo?

Para entender por que este método de fatoração funciona, vamos voltar ao exemplo original, no qual fatoramos

x^{2} + 5 x + 6

como

(x + 2) (x + 3)

Se voltarmos e multiplicarmos os dois fatores do binômio, podemos ver o efeito que feito que o

2

e o

3

têm na formação do produto

x^{2} + 5 x + 6

$\begin{aligned} (x + 2) (x + 3) & = (x + 2) (x) + (x + 2) (3) \\ = x^{2} + 2 x + 3 x + 2 \cdot 3 \\ = x^{2} + (2 + 3) x + 2 \cdot 3 \end{aligned}$ ‍

Nós vemos que o coeficiente do termo

x

é a soma de

2

3

, e o termo constante é o produto de

2

3

Padrão soma-produto

Vamos repetir o que acabamos de fazer com

(x + 2) (x + 3)

para

(x + m) (x + n)

$\begin{aligned} (x + m) (x + n) & = (x + m) (x) + (x + m) (n) \\ = x^{2} + m x + n x + m \cdot n \\ = x^{2} + (m + n) x + m \cdot n \end{aligned}$ ‍

Para resumir esse processo, nós pegamos a seguinte equação:

$(x + m) (x + n) = x^{2} + (m + n) x + m \cdot n$ ‍

Isso é chamado o padrão de soma-produto.

Isso mostra porque, uma vez que expressamos um trinômio

x^{2} + b x + c

como

x^{2} + (m + n) x + m \cdot n

(encontrando dois números

m

n

tais que

b = m + n

c = m \cdot n

), nós podemos fatorar o trinômio como

(x + m) (x + n)

Pergunta para reflexão

6) Esse método de fatoração pode ser usado para fatorar $2 x^{2} + 3 x + 1$ ‍?

[Preciso de ajuda!]

Quando podemos usar este método para fatorar?

Em geral, o método de soma-produto é aplicável apenas quando podemos realmente escrever um trinômio como

(x + m) (x + n)

para alguns números

m

n

inteiros.

Isso significa que o termo principal do trinômio deve ser

x^{2}

(e não, por exemplo,

2 x^{2}

) para que esse método seja considerado. Isso porque o produto de

(x + m)

(x + n)

sempre será um polinômio com termo principal de

x^{2}

No entanto, nem todos os trinômios com termo principal

x^{2}

podem ser fatorados. Por exemplo,

x^{2} + 2 x + 2

não pode ser fatorado porque não existem dois inteiros cuja soma seja

2

e cujo produto seja

2

Em lições futuras iremos aprender outras formas de fatorar mais tipos de polinômios.

Desafios

7*) Fatore $x^{2} + 5 x y + 6 y^{2}$ ‍.

[Preciso de ajuda!]

8*) Fatore $x^{4} - 5 x^{2} + 6$ ‍.

[Preciso de ajuda!]

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aninha.000silva
Publicado há há 3 anos. Link direto para a postagem “Deve dar o mesmo resultad...” de aninha.000silva
Deve dar o mesmo resultado se for resolvido usando a fórmula de bhaskara? Porque o meu está dando resultados com sinais trocados...

Ex: x²-8x-9
Δ=(-8)²-4.1(-9)
Δ= 64+36
Δ=100
x=-(-8)+-√100
-----------------
*******2*******
x¹= 9
x²= -1

Não deveria dar (-9, 1) como da usando esse outro método? Ou foi erro meu?
Desde já, grata!
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- Lindembergson Moreno
  Publicado há há um ano. Link direto para a postagem “A conta está certa, mas a...” de Lindembergson Moreno
  A conta está certa, mas a equação não terá raízes reais, pois não existe raiz quadrada de número negativo(-1).
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Alex Barros
Publicado há há 4 anos. Link direto para a postagem “(x+5)(x+4) é diferente de...” de Alex Barros
(x+5)(x+4) é diferente de (x+4)(x+5)??
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- Daniel
  Publicado há há 4 anos. Link direto para a postagem “Não, essa é uma das propr...” de Daniel
  Não, essa é uma das propriedades da multiplicação. Comutativa.
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Eduardo Saldanha
Publicado há há 6 anos. Link direto para a postagem “Constelações podem sumir ...” de Eduardo Saldanha
Constelações podem sumir por completo?Ou isso levaria milhões de anos?
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- Luiz Portella
  Publicado há há 6 anos. Link direto para a postagem “Podem sumir, mas levaria ...” de Luiz Portella
  Podem sumir, mas levaria mais tempo que apenas milhões de anos... Para a vida de uma estrela de quarta ou maior geração, milhões de anos é nada :)
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jessicaoliveira13
Publicado há há 7 anos. Link direto para a postagem “por que quando olhamos de...” de jessicaoliveira13
por que quando olhamos de longe a lua fica maior
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- Jorge Luis
  Publicado há há 3 anos. Link direto para a postagem “Talvez porque você nunca ...” de Jorge Luis
  Talvez porque você nunca á viu de perto.
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Lalita Upadhyay
Publicado há há 3 meses. Link direto para a postagem “Socorro entendi quase nad...” de Lalita Upadhyay
Socorro entendi quase nada, será que isso vai ser muito importante para minha vida ??
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- Gabriel Carlos
  Publicado há há um mês. Link direto para a postagem “Se você não planeja traba...” de Gabriel Carlos
  Se você não planeja trabalhar em um campo que exija conhecimento matemático avançado, esses conceitos matemáticos específicos podem ter uma importância limitada em sua vida diária. A matemática é uma disciplina ampla, e muitos tópicos matemáticos são mais relevantes para algumas pessoas do que para outras.
  
  No entanto, a capacidade de raciocínio lógico, solução de problemas e pensamento crítico que a matemática ajuda a desenvolver pode ser valiosa em muitos aspectos da vida, independentemente da área de atuação. Portanto, mesmo que você não use conceitos matemáticos avançados em seu dia a dia, os benefícios do pensamento matemático podem ser aplicados em diversos contextos.
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kauane.padilha.barbosa
Publicado há há 5 meses. Link direto para a postagem “como é que eu faço isso m...” de kauane.padilha.barbosa
como é que eu faço isso me ajuda por favor
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renan.davide.castro
Publicado há há 6 meses. Link direto para a postagem “mds laila lindaaaaaaaa” de renan.davide.castro
mds laila lindaaaaaaaa
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julia.nascimento.padilha
Publicado há há 6 meses. Link direto para a postagem “xxmxmeejfn xifn vrjv inio...” de julia.nascimento.padilha
xxmxmeejfn xifn vrjv iniojjwfnegnreugbnugberjnknknskjkkkkjjkkkhkhjhgghffdsaasdfghjmnbvcdrtyuikbvcvbnkkkjjkjkjkjhjguygyugyu
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