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Reescrita de expressões irracionais e exponenciais

Reescrevendo (r^(2/3)s^3)^2*√(20r^4s^5) uma vez como expressão exponencial e outra, como expressão irracional. Criado por Sal Khan e Instituto de Tecnologia e Educação de Monterey.

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Transcrição de vídeo

RKA - Temos que simplificar o "r" elevado a 2/3 vezes "s³", tudo elevado ao quadrado, vezes a raiz quadrada de "20r⁴ ‧ s⁵". Isso parece meio intimidador, mas acredito que, se fizermos passo a passo, não será tão difícil. Primeiramente, vamos olhar para essa primeira expressão aqui, em que vamos levar esse produto ao quadrado. Sabemos que, em vez disso, podemos elevar cada um dos termos do produto ao quadrado e depois elevar o produto. Portanto, será a mesma coisa que "r" elevado a 2/3, tudo ao quadrado, vezes "(s³)²". Agora, vejamos esse radical. Temos a raiz quadrada, mas isso é exatamente a mesma coisa que elevar algo a 1/2. É igual a... vezes essa parte... (vou utilizar uma cor diferente)... essa parte bem aqui, que é a mesma coisa que... 20... bom, em vez de apenas escrever 20, vou escrever 20 como o produto de um quadrado perfeito e de um quadrado não perfeito. 20 é a mesma coisa que 4 vezes 5 (essa é a parte do 20)... vezes "r⁴" e "s⁵". Deixa eu escrever "s⁵" também como um produto de um quadrado perfeito e de um quadrado não perfeito. "r⁴" é obviamente um quadrado perfeito, sua raiz quadrada é "r²". Mas vamos escrever "s⁵" de uma forma semelhante. Podemos reescrever como "s⁴" vezes "s", certo? "s⁴" vezes "s¹" é "s⁵". E, claro, tudo isso deve ser elevado a 1/2. Vamos simplificar ainda mais: se estamos elevando alguma coisa a 2/3 e, depois, ao quadrado, a gente pode multiplicar os expoentes. Então, podemos simplificar esse termo como "r" elevado a 4/3. Somente como uma breve revisão: ao elevar alguma coisa a 4/3 será possível visualizar como elevar, encontrar a sua raiz cúbica, elevando-a a 1/3 e depois elevar a sua raiz cúbica elevada a 4; ou poderá visualizar como elevar a 4 e depois encontrar a raiz cúbica disso. As duas formas são legítimas de fazer com que algo seja elevado a 4/3. Então, temos "r" elevado a 4/3 vezes "s" elevado a "3 vezes 2" (vezes "s⁶"). Em seguida poderemos fazer com que cada um desses termos fosse elevado a 1/2. Vezes... (deixa eu alterar as cores aqui... não vamos precisar dos parênteses por estarmos fazendo isso)... vezes 4 elevado a 1/2, vezes 5 elevado a 1/2 (aquele termo bem ali) vezes "r⁴" elevado a 1/2 vezes... (acho que as cores estão acabando)... "s⁴" elevado a 1/2... (estamos elevando cada um desses termos a 1/2)... vezes "s" elevado a 1/2. Tem várias formas de fazer isso, mas uma coisa que pode ficar evidente é que existem alguns quadrados perfeitos aqui, e estamos os elevando a 1/2. Estamos obtendo as suas raízes quadradas, então a gente vai simplificar. Aqui é 4 elevado a 1/2, que é a mesma coisa que 2. Estamos obtendo a raiz principal de 4. 5 elevado a 1/2... bom, não podemos obter a raiz quadrada aqui, por isso, a gente só vai escrever aquilo como a raiz quadrada de 5 elevado a 1/2. Há duas formas de pensar nisso: 4 vezes 1/2 é 2, portanto, aqui é "r²"; ou você poderia dizer que a raiz quadrada de "r⁴" é "r²". Aqui é "r²". De forma semelhante, a raiz quadrada de "s⁴", ou "s⁴" elevado a 1/2, também é "s²". Aqui é "s" elevado a 1/2. Vamos escrever como raiz quadrada de "s" dessa forma. Vejamos o que mais dá para fazer aqui. Vou escrever esses outros termos. Temos um "r" elevado a 4/3, vezes "s⁶", vezes 2, vezes a raiz quadrada de 5, vezes "r²", vezes "s²", vezes a raiz quadrada de "s". Vejamos outras coisas que podemos fazer aqui. Podemos combinar esses termos com "s". Vamos lá. Na verdade, é melhor colocar o 2 lá na frente primeiro. A gente vai colocar o 2 lá na frente, então temos 2 vezes... vamos analisar esses dois termos "s" aqui... temos "s⁶" vezes "s²". Quando alguém fala que vai simplificar, podemos interpretar de diversas formas; no entanto, vamos falar apenas "s⁶" vezes "s²". Isso é "s⁸"... (6 + 2)... vezes "s⁸"... vezes... bom, este aqui é interessante e talvez queiramos separá-lo, dependendo do que considerarmos ser uma simplificação verdadeira. Temos um "r" elevado a 4/3 vezes "r²". "r" elevado a 4/3 é a mesma coisa que "r" elevado a "1 ⅓". (4/3 é isso: "1 ⅓")... mais 2, é "3 ⅓". Podemos escrever isso vezes "r" elevado a "3 ⅓". Isso é um pouco inconsistente, aqui estou adicionando uma fração; aqui, com "s", meio que deixei o "s" elevado a 1/2 dos termos "s" aqui, mas podemos brincar com isso e todas essas poderiam ser expressões válidas, portanto já cuidamos do 2, já cuidamos desses dois termos "s", e cuidamos dos dois termos "r". Temos a raiz quadrada de 5, vezes a raiz quadrada de "s"... poderíamos juntá-las se quiséssemos, mas eu não quero fazer isso ainda... vezes a raiz quadrada de 5, vezes a raiz quadrada de "s". Tem duas formas de fazer isso: podemos não gostar de ter um expoente fracionário aqui, poderíamos separá-lo ou podemos querer pegar esse aqui e combinar com a oitava potência, porque sabemos que é a mesma coisa que "s" elevado a 1/2. Vamos fazer as duas coisas. Se quiséssemos combinar todos os expoentes, poderíamos escrever como 2 vezes "s⁸" vezes "s" elevado a 1/2. "s⁸" e "s" elevado a 1/2. Isso seria 2 vezes "s⁸"... posso até escrever como decimal: "8,5"... 8 mais... você pode imaginar que isso é "s" elevado a "0,5"... é "8,5" vezes "r" elevado a "3 ⅓" (estou meio que misturando as notações aqui; tenho apenas uma notação decimal, depois uma notação de fração de número misto) vezes a raiz quadrada de 5; temos aqui uma simplificação. Tenho meio que o menor número de termos possível. A outra simplificação, caso não queira ter esses expoentes fracionários aqui, poderia ser escrita como... (vou fazer de outra cor)... poderia escrevê-la... e todas essas formas são equivalentes, cabe debater o que "simplificado" realmente quer dizer. Você poderia escrever como 2 vezes "s⁸". Em vez de escrever "r" elevado a "3 ⅓", poderíamos escrever "r³" vezes a raiz cúbica de "r", que é a mesma coisa que "r" elevado a 1/3. Poderíamos escrever "r³" vezes "r" elevado a 1/3. "r" elevado a 1/3 é o mesmo que a raiz cúbica de "r". Agora temos a raiz quadrada desses dois termos aqui. Os dois estão sendo elevados a 1/2, a gente poderia dizer vezes a raiz quadrada de "5s". Gosto dessa forma um pouco mais, essa aqui da esquerda para mim. Isso é uma simplificação verdadeira: combinamos todas as bases, temos esses dois números, combinamos todos os termos "s", os termos "r". Essa aqui é um pouco mais complexa: a gente tem uma raiz cúbica, não separamos os termos "s" e os termos "r". Eu prefiro simplificar dessa forma.