Cálculo de expoentes fracionários

RKA - Já vimos como pensar sobre como 64 elevado a 1/3... a gente já viu que é exatamente a mesma coisa que pegar a raiz cúbica de 64. E porque sabemos que 4 vezes 4 vezes 4 (ou 4 à terceira potência) é igual a 64, se estiver olhando para a raiz cúbica de 64, estamos olhando para um número que aquele número vezes aquele número vezes aquele número vai ser igual a 64. A gente sabe que aquele número é 4; então, essa coisa será 4. Agora, vamos pensar um pouco mais em expoentes fracionários mais complexos, o que vimos tem 1 no numerador, agora vamos ver algo diferente. Quero pensar sobre o que é 64 à potência de 2/3. E, aqui, vou usar a propriedade de expoentes que vou estudar mais tarde, mas essa propriedade de expoentes é a ideia que, digamos... com um número simples... se eu aumentar alguma coisa à terceira potência e, então, fosse elevar aquilo à quarta potência, será a mesma coisa que elevar a 2 a 3 vezes à potência de 4, ou 2 à 12ª potência, o que pode também escrever como: elevar à quarta potência e à terceira potência. O que tudo isso diz é: se eu elevar alguma coisa à potência de "a" e elevar aquela coisa à potência é a mesma coisa que multiplicar os dois expoentes, é a mesma coisa que 2 à 12ª. Dá para usar aquela propriedade para dizer: bom, 2/3 é a mesma coisa que 1/3 vezes 2, então, podemos ir a outra direção. Dá para falar: olha, vai ser a mesma coisa que 64 elevado a 1/3 e, então, tudo isso elevado ao quadrado. Note: estou elevando alguma coisa a uma potência, aumentando aquilo a uma potência; se eu fosse multiplicar essas duas coisas, teria 64 elevado a 2/3. Por que eu faço isso? A gente já sabe quanto é 64 elevado a 1/3, acabamos de calcular isso. É igual a 4. Dá para falar que... (vou escrever daquela mesma cor amarela)... isto é igual a 4 ao quadrado, que é igual a 16. 64 à potência de 2/3 é igual a 16. A maneira que penso nisso... deixa eu pensar na raiz cúbica de 64, que é 4... e deixe-me enquadrar isso... isso vai me dar 16. Agora, vou te dar um problema ainda mais difícil. Te aconselho a tentar sozinho antes de trabalhar nisso. Vamos trabalhar com 8/27 e vamos elevar esta coisa a... (vou tentar uma cor para codificar)... -2/3... elevado a -2/3. Te aconselho a pausar o vídeo e tentar sozinho. Bom, a primeira coisa a fazer quando quer que eu veja um expoente negativo é dizer: como posso eliminar os expoentes negativos? Só quero lembrar que o expoente negativo diz: pega o inverso para o expoente positivo ou, em outras palavras, pegue o inverso da base e troque o sinal do expoente. (Estou usando uma cor diferente... vou usar aquela cor rosa). O inverso da base será igual a 27/8. Apenas peguei o inverso. É igual a 27/8 elevado a +2/3. Note, tudo o que fiz foi me livrar do expoente negativo e pegar o inverso da base. 8/27 é a base, 2/3 negativo é o expoente. Como lidar com isto? A gente já viu que, se tem um numerador elevado a alguma potência sobre o denominador a alguma potência (e é outra poderosa propriedade das potências), vai ser exatamente a mesma coisa que elevar 27 elevado a +2/3 sobre 8 elevado a +2/3. Essa é outra propriedade de expoente muito poderosa. Note: se tenho alguma coisa dividida por alguma coisa e elevar tudo a uma potência, posso, essencialmente, elevar o numerador àquela potência sobre o denominador elevado àquela mesma potência. Melhor pensar mais sobre isso. Como a gente viu antes, vai ser a mesma coisa. Será a mesma coisa que 27 elevado a 1/3. E, então, tudo elevado ao quadrado, porque 1/3 vezes 2 é 2/3. Então, irei elevar 27 à potência de 1/3 e enquadrar o que quer que seja. (Todo esse código de cores está fazendo eu ter que trocar muitas cores). Isso será 8 elevado a 1/3 e será elevado ao quadrado. A mesma coisa que estávamos fazendo no denominador. A gente eleva 1/3, e, então, elevamos ao quadrado; o que vai ser? 27 elevado a 1/3 é igual à raiz cúbica de 27. É algum número que o número vezes aquele número vezes aquele mesmo número será igual a 27. Deve aparecer que 3 elevado ao cubo é igual a 27 ou que 27 elevado a 1/3 é igual a 3. No numerador, vamos terminar com 3 ao quadrado; e, no denominador, a gente vai terminar com... bom, o que é 8 elevado a 1/3? 2 vezes 2 vezes 2 é 8. Isso é 8 elevado a 1/3; é 2. (Vou fazer da mesma cor laranja). 8 elevado a 1/3 é 2. E, então, vamos elevar ao quadrado, isso será simplificado a 3 ao quadrado sobre 2 ao quadrado, que será igual a 9/4. E, se quebrar isto passo a passo, não vai ser muito assustador.